Стабильность материи

В физике стабильность материи относится к проблеме строгого доказательства того, что большое количество заряженных квантовых частиц может сосуществовать и образовывать макроскопические объекты, такие как обычная материя. Первое доказательство было предоставлено Фрименом Дайсоном и Эндрю Ленардом в 1967–1968 годах. ^[1]^[2] но более короткое и концептуальное доказательство было найдено позже Эллиотом Либом и Уолтером Тиррингом в 1975 году. ^[3]

Предыстория и история

В статистической механике существование макроскопических объектов обычно объясняется поведением энергии или свободной энергии по отношению к общему числу. $N$ частиц. Точнее, он должен вести себя линейно по $N$ для больших значений $N$ . ^[4] Действительно, если свободная энергия ведет себя как $N^{a}$ для некоторых $a\neq 1$ , то наливание двух стаканов воды даст энергию, пропорциональную $(2N)^{a}-2N^{a}=(2^{a}-2)N^{a}$ , что огромно для больших $N$ . Система называется устойчивой второго рода или термодинамически устойчивой , если (свободная) энергия ограничена снизу линейной функцией $N$ . Верхние границы обычно легко показать в приложениях, и именно поэтому люди больше работают над доказательством нижних границ.

Пренебрегая другими силами, разумно предположить, что обычная материя состоит из отрицательных и положительных нерелятивистских зарядов ( электронов и ядер ), взаимодействующих исключительно посредством кулоновской силы . Конечное число таких частиц всегда коллапсирует в классической механике из-за бесконечной глубины электрон-ядерного притяжения, но оно может существовать в квантовой механике благодаря принципу неопределенности Гейзенберга . Доказать, что такая система термодинамически стабильна, называется проблемой устойчивости материи , и это очень сложно из-за большого диапазона кулоновского потенциала. Стабильность должна быть следствием эффектов скрининга, но их трудно измерить количественно.

Обозначим через

H_{N,K}=-\sum _{i=1}^{N}{\frac {\Delta _{x_{i}}}{2}}-\sum _{k=1}^{K}{\frac {\Delta _{R_{k}}}{2M_{k}}}-\sum _{i=1}^{N}\sum _{k=1}^{K}{\frac {z_{k}}{|x_{i}-R_{k}|}}+\sum _{1\leq i<j\leq N}{\frac {1}{|x_{i}-x_{j}|}}+\sum _{1\leq k<m\leq K}{\frac {z_{k}z_{m}}{|R_{k}-R_{m}|}}

квантовый гамильтониан $N$ электроны и $K$ ядра зарядов $z_{1},...,z_{K}$ и массы $M_{1},...,M_{K}$ в атомных единицах. Здесь $\Delta =\nabla ^{2}=\sum _{j=1}^{3}\partial _{jj}$ обозначает лапласиан, который является оператором квантовой кинетической энергии. При нулевой температуре возникает вопрос, сохраняется ли энергия основного состояния (минимум спектра $H_{N,K}$ ) ограничено снизу константой, умноженной на общее число частиц:

E_{N,K}=\min \sigma (H_{N,K})\geq -C(N+K).

( 1 )

Константа $C$ может зависеть от наибольшего числа спиновых состояний каждой частицы, а также от наибольшего значения зарядов $z_{k}$ . В идеале оно не должно зависеть от масс. $M_{1},...,M_{K}$ чтобы иметь возможность рассмотреть предел бесконечной массы, то есть классические ядра.

Дайсон показал ^[5] в 1967 году, что если все частицы являются бозонами , то неравенство ( 1 ) не может быть верным и система термодинамически неустойчива. Фактически позже было доказано, что в этом случае энергия имеет вид $N^{7/5}$ вместо того, чтобы быть линейным по $N$ . ^[6]^[7]Поэтому важно, чтобы как положительные, так и отрицательные заряды были фермионами . Другими словами, устойчивость материи является следствием принципа запрета Паули . В реальной жизни электроны действительно являются фермионами, но найти правильный способ использовать принцип Паули и доказать стабильность оказалось чрезвычайно сложно. Майкл Фишер и Дэвид Рюэль формализовали эту гипотезу в 1966 году. ^[8] и предлагал бутылку шампанского тому, кто мог это доказать. ^[9] Дайсон и Ленард нашли доказательство ( 1 ) годом позже. ^[1]^[2] и поэтому получил бутылку.

Как уже говорилось ранее, стабильность является необходимым условием существования макроскопических объектов, но она не предполагает непосредственно существования термодинамических функций. Действительно следует показать, что энергия действительно линейно зависит от числа частиц. На основе результата Дайсона-Ленарда эта задача была изобретательным образом решена Эллиотом Либом и Джоэлом Лебовицем в 1972 году. ^[10]

Доказательство Дайсона-Ленарда «чрезвычайно сложное и трудное». ^[9] и опирается на глубокие и утомительные аналитические рамки. Полученная константа $C$ в ( 1 ) также было очень большим. В 1975 году Эллиот Либ и Уолтер Тирринг нашли более простое и концептуальное доказательство, основанное на спектральном неравенстве, которое теперь называется неравенством Либа-Тирринга . ^[3]^[11] Они получили постоянную $C$ которая была на несколько порядков меньше постоянной Дайсона-Ленарда и имела реалистичное значение.Они пришли к окончательному неравенству

E_{N,K}\geq -0.231q^{\frac {2}{3}}N\left(1+2.16Z(K/N)^{\frac {1}{3}}\right)^{2}

( 2 )

где $Z=\max(z_{k})$ является крупнейшим ядерным зарядом и $q$ — число электронных спиновых состояний, равное 2. Поскольку $N^{1/3}K^{2/3}\leq N+K$ , это дает желаемую линейную нижнюю границу ( 1 ). Идея Либа-Тирринга заключалась в том, чтобы ограничить энергию квантов снизу через энергию Томаса-Ферми . Последний всегда стабилен благодаря теореме Эдварда Теллера , которая утверждает, что атомы никогда не могут связываться в теории Томаса-Ферми. ^[12]^[13]^[14] Новое неравенство Либа-Тирринга использовалось для ограничения квантовой кинетической энергии электронов через кинетическую энергию Томаса-Ферми. $\int _{\mathbb {R} ^{3}}\rho (x)^{\frac {5}{3}}d^{3}x$ . Теорема Теллера о отсутствии связи фактически также использовалась для оценки снизу полного кулоновского взаимодействия с точки зрения более простой энергии Хартри, появляющейся в теории Томаса-Ферми. Говоря о доказательстве Либа-Тирринга, позже Фримен Дайсон написал:

«Мы с Ленардом нашли доказательство стабильности материи в 1967 году. Наше доказательство было настолько сложным и бессодержательным, что побудило Либа и Тирринга найти первое достойное доказательство. (...) Почему наше доказательство было таким плохим, а их — таким хорошим? Причина проста. Ленард и я начали с математических трюков и пробрались через лес неравенств, не имея никакого физического понимания. Либ и Тирринг начали с физического понимания и продолжили поиск подходящего математического языка, чтобы сделать свое понимание строгим. Наше доказательство зашло в тупик. Это были ворота в новый мир идей». ^[15]^[16]

Подход Либа-Тирринга породил множество последующих работ и расширений. (Псевдо-)релятивистские системы ^[17]^[18]^[19], ^[20] магнитные поля ^[21]^[22] квантованные поля ^[23]^[24]^[25]и двумерная дробная статистика ( анионы ) ^[26]^[27]например, изучались после публикации статьи Либа-Тирринга. Форма оценки ( 1 ) также улучшалась с годами. Например, можно получить константу, не зависящую от числа $K$ ядер. ^[17]^[28]

Библиография

Стабильность материи: от атомов до звезд . Selecta Эллиота Х. Либа . Под редакцией В. Тирринга и с предисловием Ф. Дайсона. Четвертое издание. Шпрингер, Берлин, 2005 г.
Эллиот Х. Либ и Роберт Сейрингер , Стабильность материи в квантовой механике . Кембриджский университет. Пресс, 2010.
Эллиот Х. Либ , Стабильность материи: от атомов до звезд . Бык. амер. Математика. Соц. (НС) 22 (1990), вып. 1, 1-49.

Ссылки

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Дайсон, Фриман Дж.; Ленард, А. (март 1967 г.). «Стабильность Материи. I». Журнал математической физики . 8 (3): 423–434. Бибкод : 1967JMP.....8..423D . дои : 10.1063/1.1705209 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Ленард, А.; Дайсон, Фриман Дж. (май 1968 г.). «Стабильность материи. II» . Журнал математической физики . 9 (5): 698–711. Бибкод : 1968JMP.....9..698L . дои : 10.1063/1.1664631 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Либ, Эллиот Х.; Тирринг, Уолтер Э. (15 сентября 1975 г.). «Связана с кинетической энергией фермионов, доказывающей стабильность материи». Письма о физических отзывах . 35 (11): 687–689. Бибкод : 1975PhRvL..35..687L . doi : 10.1103/PhysRevLett.35.687 .
^ Рюэль, Дэвид (апрель 1999 г.). Статистическая механика: строгие результаты . Всемирная научная. Бибкод : 1999smrr.book.....R . дои : 10.1142/4090 . ISBN 978-981-02-3862-9 .
^ Дайсон, Фриман Дж. (август 1967 г.). «Энергия основного состояния конечной системы заряженных частиц». Журнал математической физики . 8 (8): 1538–1545. Бибкод : 1967JMP.....8.1538D . дои : 10.1063/1.1705389 .
^ Конлон, Джозеф Г.; Либ, Эллиот Х.; Яу, Хорнг-Цер (сентябрь 1988 г.). «Закон N 7/5 для заряженных бозонов» . Связь в математической физике . 116 (3): 417–448. Бибкод : 1988CMaPh.116..417C . дои : 10.1007/BF01229202 .
^ Либ, Эллиот Х.; Соловей, Ян Филип (декабрь 2004 г.). «Энергия основного состояния двухкомпонентного заряженного бозе-газа» . Связь в математической физике . 252 (1–3): 485–534. arXiv : math-ph/0311010 . Бибкод : 2004CMaPh.252..485L . дои : 10.1007/s00220-004-1144-1 .
^ Фишер, Майкл Э.; Рюэль, Дэвид (февраль 1966 г.). «Стабильность систем многих частиц». Журнал математической физики . 7 (2): 260–270. Бибкод : 1966JMP.....7..260F . дои : 10.1063/1.1704928 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Дайсон, Фриман. «Бутылка шампанского доказывает устойчивость материи» . Ютуб . Проверено 22 июня 2022 г.
^ Либ, Эллиот Х; Лебовиц, Джоэл Л. (декабрь 1972 г.). «Состав материи: существование термодинамики для систем, состоящих из электронов и ядер» . Достижения в математике . 9 (3): 316–398. дои : 10.1016/0001-8708(72)90023-0 .
^ Либ, Эллиот Х.; Тирринг, Уолтер Э. (31 декабря 2015 г.). «Неравенства для моментов собственных значений гамильтониана Шредингера и их связь с неравенствами Соболева». Исследования по математической физике: Очерки в честь Валентина Баргмана : 269–304. дои : 10.1515/9781400868940-014 . ISBN 978-1-4008-6894-0 .
^ Либ, Эллиот Х.; Саймон, Барри (10 сентября 1973 г.). «Возвращение к теории Томаса-Ферми» . Письма о физических отзывах . 31 (11): 681–683. Бибкод : 1973PhRvL..31..681L . дои : 10.1103/PhysRevLett.31.681 .
^ Либ, Эллиот Х; Саймон, Барри (январь 1977 г.). «Теория Томаса-Ферми атомов, молекул и твердых тел» . Достижения в математике . 23 (1): 22–116. дои : 10.1016/0001-8708(77)90108-6 .
^ Либ, Эллиот Х. (1 октября 1981 г.). «Томас-Ферми и родственные теории атомов и молекул». Обзоры современной физики . 53 (4): 603–641. Бибкод : 1981РвМП...53..603Л . дои : 10.1103/RevModPhys.53.603 .
^ Либ, Эллиот Х. (2005). Тирринг, Уолтер (ред.). Стабильность материи: от атомов до звезд: избранные Эллиотта Х. Либа . Спрингер. дои : 10.1007/b138553 . ISBN 978-3-540-22212-5 .
^ Дайсон, Фриман. «Либ и Тирринг убирают мое доказательство стабильности материи» . ютуб . Проверено 22 июня 2022 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Либ, Эллиот Х.; Яу, Хорнг-Цер (июнь 1988 г.). «Устойчивость и неустойчивость релятивистской материи» . Связь в математической физике . 118 (2): 177–213. Бибкод : 1988CMaPh.118..177L . дои : 10.1007/BF01218577 .
^ Либ, Эллиот Х.; Зидентоп, Хайнц; Соловей, Ян Филип (октябрь 1997 г.). «Устойчивость и неустойчивость релятивистских электронов в классических электромагнитных полях» . Журнал статистической физики . 89 (1–2): 37–59. arXiv : cond-mat/9610195 . Бибкод : 1997JSP....89...37L . дои : 10.1007/BF02770753 .
^ Фрэнк, Руперт Л.; Либ, Эллиот Х.; Зейрингер, Роберт (20 августа 2007 г.). «Устойчивость релятивистской материи с магнитными полями для ядерных зарядов до критического значения» . Связь в математической физике . 275 (2): 479–489. arXiv : math-ph/0610062 . Бибкод : 2007CMaPh.275..479F . дои : 10.1007/s00220-007-0307-2 .
^ Либ, Эллиот Х.; Потеря, Майкл; Зидентоп, Хайнц (1 декабря 1996 г.). «Стабильность релятивистской материи через теорию Томаса-Ферми» . Гельветика Физика Акта . 69 (5–6): 974–984. arXiv : cond-mat/9608060 . Бибкод : 1996cond.mat..8060L . ISSN 0018-0238 .
^ Фефферман, К. (23 мая 1995 г.). «Устойчивость кулоновских систем в магнитном поле» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 92 (11): 5006–5007. Бибкод : 1995PNAS...92.5006F . дои : 10.1073/pnas.92.11.5006 . ПМК 41836 . ПМИД 11607547 .
^ Либ, Эллиот Х.; Потеря, Майкл; Соловей, Ян Филип (7 августа 1995 г.). «Устойчивость материи в магнитных полях». Письма о физических отзывах . 75 (6): 985–989. arXiv : cond-mat/9506047 . Бибкод : 1995PhRvL..75..985L . doi : 10.1103/PhysRevLett.75.985 . ПМИД 10060179 . S2CID 2794188 .
^ Бульяро, Лука; Фрелих, Юрг; Граф, Джан Мишель (21 октября 1996 г.). «Устойчивость квантовой электродинамики с нерелятивистской материей». Письма о физических отзывах . 77 (17): 3494–3497. Бибкод : 1996PhRvL..77.3494B . doi : 10.1103/PhysRevLett.77.3494 . ПМИД 10062234 .
^ Фефферман, Чарльз ; Фрелих, Юрг; Граф, Джан Мишель (1 декабря 1997 г.). «Устойчивость квантовой электродинамики с ультрафиолетовым обрезанием с нерелятивистской материей» . Связь в математической физике . 190 (2): 309–330. Бибкод : 1997CMaPh.190..309F . дои : 10.1007/s002200050243 .
^ Либ, Эллиот Х.; Потеря, Майкл (1 июля 2002 г.). «Устойчивость модели релятивистской квантовой электродинамики» . Связь в математической физике . 228 (3): 561–588. arXiv : math-ph/0109002 . Бибкод : 2002CMaPh.228..561L . дои : 10.1007/s002200200665 .
^ Лундхольм, Дуглас; Соловей, Ян Филип (июнь 2014 г.). «Локальное исключение и неравенства Либа – Тирринга для промежуточной и дробной статистики» . Анналы Анри Пуанкаре . 15 (6): 1061–1107. arXiv : 1301.3436 . Бибкод : 2014AnHP...15.1061L . дои : 10.1007/s00023-013-0273-5 .
^ Лундхольм, Дуглас; Соловей, Ян Филип (сентябрь 2013 г.). «Неравенства Харди и Либа-Тирринга для анионов» . Связь в математической физике . 322 (3): 883–908. arXiv : 1108.5129 . Бибкод : 2013CMaPh.322..883L . дои : 10.1007/s00220-013-1748-4 .
^ Хайнцль, Кристиан; Левин, Матье; Соловей, Ян Филип (июнь 2009 г.). «Термодинамический предел квантовых кулоновских систем. Часть II. Приложения» . Достижения в математике . 221 (2): 488–546. arXiv : 0806.1709 . дои : 10.1016/j.aim.2008.12.011 .

[DysLen1-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Дайсон, Фриман Дж.; Ленард, А. (март 1967 г.). «Стабильность Материи. I». Журнал математической физики . 8 (3): 423–434. Бибкод : 1967JMP.....8..423D . дои : 10.1063/1.1705209 .

[DysLen2-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Ленард, А.; Дайсон, Фриман Дж. (май 1968 г.). «Стабильность материи. II» . Журнал математической физики . 9 (5): 698–711. Бибкод : 1968JMP.....9..698L . дои : 10.1063/1.1664631 .

[LT-3] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Либ, Эллиот Х.; Тирринг, Уолтер Э. (15 сентября 1975 г.). «Связана с кинетической энергией фермионов, доказывающей стабильность материи». Письма о физических отзывах . 35 (11): 687–689. Бибкод : 1975PhRvL..35..687L . doi : 10.1103/PhysRevLett.35.687 .

[4] Рюэль, Дэвид (апрель 1999 г.). Статистическая механика: строгие результаты . Всемирная научная. Бибкод : 1999smrr.book.....R . дои : 10.1142/4090 . ISBN 978-981-02-3862-9 .

[5] Дайсон, Фриман Дж. (август 1967 г.). «Энергия основного состояния конечной системы заряженных частиц». Журнал математической физики . 8 (8): 1538–1545. Бибкод : 1967JMP.....8.1538D . дои : 10.1063/1.1705389 .

[6] Конлон, Джозеф Г.; Либ, Эллиот Х.; Яу, Хорнг-Цер (сентябрь 1988 г.). «Закон N 7/5 для заряженных бозонов» . Связь в математической физике . 116 (3): 417–448. Бибкод : 1988CMaPh.116..417C . дои : 10.1007/BF01229202 .

[7] Либ, Эллиот Х.; Соловей, Ян Филип (декабрь 2004 г.). «Энергия основного состояния двухкомпонентного заряженного бозе-газа» . Связь в математической физике . 252 (1–3): 485–534. arXiv : math-ph/0311010 . Бибкод : 2004CMaPh.252..485L . дои : 10.1007/s00220-004-1144-1 .

[8] Фишер, Майкл Э.; Рюэль, Дэвид (февраль 1966 г.). «Стабильность систем многих частиц». Журнал математической физики . 7 (2): 260–270. Бибкод : 1966JMP.....7..260F . дои : 10.1063/1.1704928 .

[youtube1-9] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Дайсон, Фриман. «Бутылка шампанского доказывает устойчивость материи» . Ютуб . Проверено 22 июня 2022 г.

[10] Либ, Эллиот Х; Лебовиц, Джоэл Л. (декабрь 1972 г.). «Состав материи: существование термодинамики для систем, состоящих из электронов и ядер» . Достижения в математике . 9 (3): 316–398. дои : 10.1016/0001-8708(72)90023-0 .

[LT2-11] Либ, Эллиот Х.; Тирринг, Уолтер Э. (31 декабря 2015 г.). «Неравенства для моментов собственных значений гамильтониана Шредингера и их связь с неравенствами Соболева». Исследования по математической физике: Очерки в честь Валентина Баргмана : 269–304. дои : 10.1515/9781400868940-014 . ISBN 978-1-4008-6894-0 .

[12] Либ, Эллиот Х.; Саймон, Барри (10 сентября 1973 г.). «Возвращение к теории Томаса-Ферми» . Письма о физических отзывах . 31 (11): 681–683. Бибкод : 1973PhRvL..31..681L . дои : 10.1103/PhysRevLett.31.681 .

[13] Либ, Эллиот Х; Саймон, Барри (январь 1977 г.). «Теория Томаса-Ферми атомов, молекул и твердых тел» . Достижения в математике . 23 (1): 22–116. дои : 10.1016/0001-8708(77)90108-6 .

[14] Либ, Эллиот Х. (1 октября 1981 г.). «Томас-Ферми и родственные теории атомов и молекул». Обзоры современной физики . 53 (4): 603–641. Бибкод : 1981РвМП...53..603Л . дои : 10.1103/RevModPhys.53.603 .

[selecta-15] Либ, Эллиот Х. (2005). Тирринг, Уолтер (ред.). Стабильность материи: от атомов до звезд: избранные Эллиотта Х. Либа . Спрингер. дои : 10.1007/b138553 . ISBN 978-3-540-22212-5 .

[youtube2-16] Дайсон, Фриман. «Либ и Тирринг убирают мое доказательство стабильности материи» . ютуб . Проверено 22 июня 2022 г.

[LieYau-17] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Либ, Эллиот Х.; Яу, Хорнг-Цер (июнь 1988 г.). «Устойчивость и неустойчивость релятивистской материи» . Связь в математической физике . 118 (2): 177–213. Бибкод : 1988CMaPh.118..177L . дои : 10.1007/BF01218577 .

[18] Либ, Эллиот Х.; Зидентоп, Хайнц; Соловей, Ян Филип (октябрь 1997 г.). «Устойчивость и неустойчивость релятивистских электронов в классических электромагнитных полях» . Журнал статистической физики . 89 (1–2): 37–59. arXiv : cond-mat/9610195 . Бибкод : 1997JSP....89...37L . дои : 10.1007/BF02770753 .

[19] Фрэнк, Руперт Л.; Либ, Эллиот Х.; Зейрингер, Роберт (20 августа 2007 г.). «Устойчивость релятивистской материи с магнитными полями для ядерных зарядов до критического значения» . Связь в математической физике . 275 (2): 479–489. arXiv : math-ph/0610062 . Бибкод : 2007CMaPh.275..479F . дои : 10.1007/s00220-007-0307-2 .

[20] Либ, Эллиот Х.; Потеря, Майкл; Зидентоп, Хайнц (1 декабря 1996 г.). «Стабильность релятивистской материи через теорию Томаса-Ферми» . Гельветика Физика Акта . 69 (5–6): 974–984. arXiv : cond-mat/9608060 . Бибкод : 1996cond.mat..8060L . ISSN 0018-0238 .

[21] Фефферман, К. (23 мая 1995 г.). «Устойчивость кулоновских систем в магнитном поле» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 92 (11): 5006–5007. Бибкод : 1995PNAS...92.5006F . дои : 10.1073/pnas.92.11.5006 . ПМК 41836 . ПМИД 11607547 .

[22] Либ, Эллиот Х.; Потеря, Майкл; Соловей, Ян Филип (7 августа 1995 г.). «Устойчивость материи в магнитных полях». Письма о физических отзывах . 75 (6): 985–989. arXiv : cond-mat/9506047 . Бибкод : 1995PhRvL..75..985L . doi : 10.1103/PhysRevLett.75.985 . ПМИД 10060179 . S2CID 2794188 .

[23] Бульяро, Лука; Фрелих, Юрг; Граф, Джан Мишель (21 октября 1996 г.). «Устойчивость квантовой электродинамики с нерелятивистской материей». Письма о физических отзывах . 77 (17): 3494–3497. Бибкод : 1996PhRvL..77.3494B . doi : 10.1103/PhysRevLett.77.3494 . ПМИД 10062234 .

[24] Фефферман, Чарльз ; Фрелих, Юрг; Граф, Джан Мишель (1 декабря 1997 г.). «Устойчивость квантовой электродинамики с ультрафиолетовым обрезанием с нерелятивистской материей» . Связь в математической физике . 190 (2): 309–330. Бибкод : 1997CMaPh.190..309F . дои : 10.1007/s002200050243 .

[25] Либ, Эллиот Х.; Потеря, Майкл (1 июля 2002 г.). «Устойчивость модели релятивистской квантовой электродинамики» . Связь в математической физике . 228 (3): 561–588. arXiv : math-ph/0109002 . Бибкод : 2002CMaPh.228..561L . дои : 10.1007/s002200200665 .

[26] Лундхольм, Дуглас; Соловей, Ян Филип (июнь 2014 г.). «Локальное исключение и неравенства Либа – Тирринга для промежуточной и дробной статистики» . Анналы Анри Пуанкаре . 15 (6): 1061–1107. arXiv : 1301.3436 . Бибкод : 2014AnHP...15.1061L . дои : 10.1007/s00023-013-0273-5 .

[27] Лундхольм, Дуглас; Соловей, Ян Филип (сентябрь 2013 г.). «Неравенства Харди и Либа-Тирринга для анионов» . Связь в математической физике . 322 (3): 883–908. arXiv : 1108.5129 . Бибкод : 2013CMaPh.322..883L . дои : 10.1007/s00220-013-1748-4 .

[28] Хайнцль, Кристиан; Левин, Матье; Соловей, Ян Филип (июнь 2009 г.). «Термодинамический предел квантовых кулоновских систем. Часть II. Приложения» . Достижения в математике . 221 (2): 488–546. arXiv : 0806.1709 . дои : 10.1016/j.aim.2008.12.011 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]