Неравенство Либа – Тирринга

В математике и физике неравенства Либа – Тирринга обеспечивают верхнюю границу сумм степеней отрицательных собственных значений оператора Шредингера в терминах интегралов от потенциала. Они названы в честь Э. Х. Либа и В. Э. Тирринга .

Неравенства полезны при изучении квантовой механики и дифференциальных уравнений и, как следствие, подразумевают нижнюю границу энергии кинетической $N$ квантово-механические частицы, играющие важную роль в доказательстве стабильности материи . ^[1]

Формулировка неравенств

Для оператора Шрёдингера $-\Delta +V(x)=-\nabla ^{2}+V(x)$ на $\mathbb {R} ^{n}$ с реальным потенциалом $V(x):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ,$ цифры $\lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \dots \leq 0$ обозначают (не обязательно конечную) последовательность отрицательных собственных значений. Тогда для $\gamma$ и $n$ удовлетворяющее одному из условий

{\begin{aligned}\gamma \geq {\frac {1}{2}}&,\,n=1,\\\gamma >0&,\,n=2,\\\gamma \geq 0&,\,n\geq 3,\end{aligned}}

существует константа $L_{\gamma ,n}$ , что зависит только от $\gamma$ и $n$ , такой, что

\sum _{j\geq 1}|\lambda _{j}|^{\gamma }\leq L_{\gamma ,n}\int _{\mathbb {R} ^{n}}V(x)_{-}^{\gamma +{\frac {n}{2}}}\mathrm {d} ^{n}x

( 1 )

где $V(x)_{-}:=\max(-V(x),0)$ это отрицательная часть потенциала $V$ . Случаи $\gamma >1/2,n=1$ а также $\gamma >0,n\geq 2$ были доказаны Э. Х. Либом и В. Э. Тиррингом в 1976 г. ^[1] и использовано в их доказательстве стабильности материи. В случае $\gamma =0,n\geq 3$ левая часть - это просто количество отрицательных собственных значений, доказательства были предоставлены независимо М. Цвикелем, ^[2] ЭХ, дорогая ^[3] и Г. В. Розенблюм. ^[4] В результате $\gamma =0$ Таким образом, неравенство также называют границей Цвикеля – Либа – Розенблюма. Оставшийся критический случай $\gamma =1/2,n=1$ было доказано Т. Вейдлем ^[5]Условия на $\gamma$ и $n$ необходимы и не могут быть смягчены.

Константы Либа–Тирринга

Квазиклассическое приближение

Неравенства Либа – Тирринга можно сравнить с полуклассическим пределом. Классическое фазовое пространство состоит из пар $(p,x)\in \mathbb {R} ^{2n}.$ Определение оператора импульса $-\mathrm {i} \nabla$ с $p$ и предполагая, что каждое квантовое состояние содержится в объеме $(2\pi )^{n}$ в $2n$ -мерное фазовое пространство, квазиклассическое приближение

\sum _{j\geq 1}|\lambda _{j}|^{\gamma }\approx {\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\big (}p^{2}+V(x){\big )}_{-}^{\gamma }\mathrm {d} ^{n}p\mathrm {d} ^{n}x=L_{\gamma ,n}^{\mathrm {cl} }\int _{\mathbb {R} ^{n}}V(x)_{-}^{\gamma +{\frac {n}{2}}}\mathrm {d} ^{n}x

выводится с константой

L_{\gamma ,n}^{\mathrm {cl} }=(4\pi )^{-{\frac {n}{2}}}{\frac {\Gamma (\gamma +1)}{\Gamma (\gamma +1+{\frac {n}{2}})}}\,.

Хотя полуклассическое приближение не требует каких-либо предположений о $\gamma >0$ , неравенства Либа–Тирринга справедливы только для подходящих $\gamma$ .

Асимптотики Вейля и точные константы

Было опубликовано множество результатов о наилучшей возможной константе. $L_{\gamma ,n}$ в ( 1 ), но эта проблема все еще частично открыта. Квазиклассическое приближение становится точным в пределе большой связи, то есть для потенциалов $\beta V$ Вейля асимптотика

\lim _{\beta \to \infty }{\frac {1}{\beta ^{\gamma +{\frac {n}{2}}}}}\mathrm {tr} (-\Delta +\beta V)_{-}^{\gamma }=L_{\gamma ,n}^{\mathrm {cl} }\int _{\mathbb {R} ^{n}}V(x)_{-}^{\gamma +{\frac {n}{2}}}\mathrm {d} ^{n}x

держать. Это означает, что $L_{\gamma ,n}^{\mathrm {cl} }\leq L_{\gamma ,n}$ . Либ и Тирринг ^[1] смогли это показать $L_{\gamma ,n}=L_{\gamma ,n}^{\mathrm {cl} }$ для $\gamma \geq 3/2,n=1$ . М. Айзенман и Э. Х. Либ ^[6] доказал, что для фиксированной размерности $n$ соотношение $L_{\gamma ,n}/L_{\gamma ,n}^{\mathrm {cl} }$ является монотонной невозрастающей функцией $\gamma$ . Впоследствии $L_{\gamma ,n}=L_{\gamma ,n}^{\mathrm {cl} }$ также было показано, что оно справедливо для всех $n$ когда $\gamma \geq 3/2$ А. Лаптева и Т. Вейдля. ^[7] Для $\gamma =1/2,\,n=1$ Д. Хундертмарк, Э. Х. Либ и Л. Е. Томас ^[8] доказал, что лучшая константа дается выражением $L_{1/2,1}=2L_{1/2,1}^{\mathrm {cl} }=1/2$ .

С другой стороны, известно, что $L_{\gamma ,n}^{\mathrm {cl} }<L_{\gamma ,n}$ для $1/2\leq \gamma <3/2,n=1$ ^[1] и для $\gamma <1,d\geq 1$ . ^[9] В первом случае Либ и Тирринг предположили, что точная константа определяется выражением

L_{\gamma ,1}=2L_{\gamma ,1}^{\mathrm {cl} }\left({\frac {\gamma -{\frac {1}{2}}}{\gamma +{\frac {1}{2}}}}\right)^{\gamma -{\frac {1}{2}}}.

Самое известное значение соответствующей физической константы $L_{1,3}$ является $1.456L_{1,3}^{\mathrm {cl} }$ ^[10] а наименьшая известная константа в неравенстве Цвикеля–Либа–Розенблюма равна $6.869L_{0,3}^{\mathrm {cl} }$ . ^[3] Полный обзор наиболее известных в настоящее время значений для $L_{\gamma ,n}$ можно найти в литературе. ^[11]

Неравенства кинетической энергии

Неравенство Либа–Тирринга для $\gamma =1$ эквивалентно нижней границе кинетической энергии данного нормированного $N$ частицы -волновая функция $\psi \in L^{2}(\mathbb {R} ^{Nn})$ в терминах однотельной плотности. Для антисимметричной волновой функции такой, что

\psi (x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots ,x_{N})=-\psi (x_{1},\dots ,x_{j},\dots ,x_{i},\dots ,x_{N})

для всех $1\leq i,j\leq N$ , однотельная плотность определяется как

\rho _{\psi }(x)=N\int _{\mathbb {R} ^{(N-1)n}}|\psi (x,x_{2}\dots ,x_{N})|^{2}\mathrm {d} ^{n}x_{2}\cdots \mathrm {d} ^{n}x_{N},\,x\in \mathbb {R} ^{n}.

Неравенство Либа–Тирринга ( 1 ) для $\gamma =1$ эквивалентно утверждению, что

\sum _{i=1}^{N}\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla _{i}\psi |^{2}\mathrm {d} ^{n}x_{i}\geq K_{n}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\rho _{\psi }(x)^{1+{\frac {2}{n}}}}\mathrm {d} ^{n}x

( 2 )

где острая константа $K_{n}$ определяется через

\left(\left(1+{\frac {2}{n}}\right)K_{n}\right)^{1+{\frac {n}{2}}}\left(\left(1+{\frac {n}{2}}\right)L_{1,n}\right)^{1+{\frac {2}{n}}}=1\,.

Неравенство можно распространить на частицы со спиновыми состояниями, заменив однотельную плотность однотельной плотностью, суммированной по спину. Константа $K_{n}$ тогда его нужно заменить на $K_{n}/q^{2/n}$ где $q$ — число квантовых спиновых состояний, доступных каждой частице ( $q=2$ для электронов). Если волновая функция симметрична, а не антисимметрична, так что

\psi (x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots ,x_{n})=\psi (x_{1},\dots ,x_{j},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})

для всех $1\leq i,j\leq N$ , константа $K_{n}$ должен быть заменен на $K_{n}/N^{2/n}$ . Неравенство ( 2 ) описывает минимальную кинетическую энергию, необходимую для достижения заданной плотности. $\rho _{\psi }$ с $N$ частицы в $n$ размеры. Если $L_{1,3}=L_{1,3}^{\mathrm {cl} }$ было доказано, что правая часть ( 2 ) для $n=3$ будет в точности термином кинетической энергии в теории Томаса – Ферми .

Неравенство можно сравнить с неравенством Соболева . М. Рюмин ^[12] вывел неравенство кинетической энергии ( 2 ) (с меньшей константой) напрямую, без использования неравенства Либа–Тирринга.

Стабильность материи

(подробнее читайте на странице Стабильность материи )

Неравенство кинетической энергии играет важную роль в доказательстве стабильности материи , представленном Либом и Тиррингом. ^[1] гамильтониан описывает систему Рассматриваемый $N$ частицы с $q$ спиновые состояния и $M$ фиксированные ядра в местах $R_{j}\in \mathbb {R} ^{3}$ с обвинениями $Z_{j}>0$ . Частицы и ядра взаимодействуют друг с другом посредством электростатической силы Кулона произвольное магнитное поле , и можно ввести . Если рассматриваемые частицы являются фермионами (т.е. волновая функция $\psi$ антисимметрична), то выполняется неравенство кинетической энергии ( 2 ) с константой $K_{n}/q^{2/n}$ (нет $K_{n}/N^{2/n}$ ). Это важнейший ингредиент в доказательстве стабильности материи системы фермионов. Это гарантирует, что основного состояния энергия $E_{N,M}(Z_{1},\dots ,Z_{M})$ системы может быть ограничена снизу константой, зависящей только от максимума зарядов ядер: $Z_{\max }$ , умноженное на количество частиц,

E_{N,M}(Z_{1},\dots ,Z_{M})\geq -C(Z_{\max })(M+N)\,.

Тогда система устойчива первого рода, поскольку энергия основного состояния ограничена снизу, а также устойчива второго рода, т. е. энергия убывает линейно с числом частиц и ядер. Для сравнения, если предположить, что частицы являются бозонами (т.е. волновая функция $\psi$ симметрична), то неравенство кинетической энергии ( 2 ) выполняется только с константой $K_{n}/N^{2/n}$ а для энергии основного состояния только граница вида $-CN^{5/3}$ держит. Поскольку власть $5/3$ Можно показать, что система бозонов оптимальна: система бозонов стабильна первого рода, но нестабильна второго рода.

Обобщения

Если лапласиан $-\Delta =-\nabla ^{2}$ заменяется на $(\mathrm {i} \nabla +A(x))^{2}$ , где $A(x)$ – вектор-потенциал магнитного поля в $\mathbb {R} ^{n},$ неравенство Либа–Тирринга ( 1 ) остается верным. Для доказательства этого утверждения используется диамагнитное неравенство . Хотя все известные на сегодняшний день константы $L_{\gamma ,n}$ остаются неизменными, неизвестно, верно ли это вообще для наилучшей возможной константы.

Лапласиан также можно заменить другими степенями $-\Delta$ . В частности для оператора ${\sqrt {-\Delta }}$ , неравенство Либа–Тирринга, аналогичное ( 1 ), выполняется с другой константой $L_{\gamma ,n}$ и с силой на правой стороне, замененной на $\gamma +n$ . Аналогично имеет место кинетическое неравенство, подобное ( 2 ), при котором $1+2/n$ заменен на $1+1/n$ , что можно использовать для доказательства устойчивости материи для релятивистского оператора Шредингера при дополнительных предположениях на заряды $Z_{k}$ . ^[13]

По сути, неравенство Либа–Тирринга ( 1 ) дает верхнюю оценку расстояний собственных значений $\lambda _{j}$ к существенному спектру $[0,\infty )$ с точки зрения возмущения $V$ . Аналогичные неравенства можно доказать и для операторов Якоби . ^[14]

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Либ, Эллиот Х.; Тирринг, Уолтер Э. (1991). «Неравенства для моментов собственных значений гамильтониана Шрёдингера и их связь с неравенствами Соболева». В Тирринге, Уолтер Э. (ред.). Стабильность материи: от атомов до звезд . Издательство Принстонского университета. стр. 135–169. дои : 10.1007/978-3-662-02725-7_13 . ISBN 978-3-662-02727-1 .
^ Цвикель, Майкл (1977). «Оценки слабого типа для сингулярных значений и количества связанных состояний операторов Шредингера». Анналы математики . 106 (1): 93–100. дои : 10.2307/1971160 . JSTOR 1971160 .
^ Jump up to: ^а ^б Либ, Эллиотт (1 августа 1976 г.). «Оценки собственных значений операторов Лапласа и Шрёдингера» . Бюллетень Американского математического общества . 82 (5): 751–754. дои : 10.1090/s0002-9904-1976-14149-3 .
^ Rozenbljum, G. V. (1976). "Distribution of the discrete spectrum of singular differential operators" . Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii Matematika (1): 75–86. MR 0430557 . Zbl 0342.35045 .
^ Вайдль, Тимо (1996). «О константах Либа-Тирринга $L_{\gamma ,1}$ для γ≧1/2». Communications in Mathematical Physics . 178 (1): 135–146. arXiv : quant-ph/9504013 . doi : 10.1007/bf02104912 . S2CID 117980716 .
^ Айзенман, Майкл; Либ, Эллиот Х. (1978). «О квазиклассических оценках собственных значений операторов Шрёдингера». Буквы по физике А. 66 (6): 427–429. Бибкод : 1978PhLA...66..427A . дои : 10.1016/0375-9601(78)90385-7 .
^ Лаптев, Ари; Вайдль, Тимо (2000). «Резкие неравенства Либа-Тирринга в больших размерностях» . Акта Математика . 184 (1): 87–111. arXiv : math-ph/9903007 . дои : 10.1007/bf02392782 .
^ Хундертмарк, Дирк; Либ, Эллиот Х.; Томас, Лоуренс Э. (1998). «Точная оценка момента собственного значения одномерного оператора Шрёдингера» . Успехи теоретической и математической физики . 2 (4): 719–731. дои : 10.4310/atmp.1998.v2.n4.a2 .
^ Хелффер, Б.; Роберт, Д. (1990). «Средства Рисса для ограниченных состояний и квазиклассического предела, связанные с гипотезой Либа – Тирринга. II» . Анналы Института Анри Пуанкаре А. 53 (2): 139–147. МР 1079775 . Збл 0728.35078 .
^ Фрэнк, Руперт; Хундертмарк, Дирк; Джекс, Михал; Нам, Фан Тхань (2021). «Возврат к неравенству Либа-Тирринга» . Журнал Европейского математического общества . 10 (4): 2583–2600. arXiv : 1808.09017 . дои : 10.4171/JEMS/1062 .
^ Лаптев, Ари. «Спектральные неравенства для уравнений в частных производных и их приложения». Исследования AMS/IP по высшей математике . 51 : 629–643.
^ Рюмин, Мишель (2011). «Сбалансированные неравенства распределения-энергии и связанные с ними границы энтропии». Математический журнал Дьюка . 160 (3): 567–597. arXiv : 1008.1674 . дои : 10.1215/00127094-1444305 . МР 2852369 . S2CID 638691 .
^ Фрэнк, Руперт Л.; Либ, Эллиот Х.; Зейрингер, Роберт (10 октября 2007 г.). «Неравенства Харди-Либа-Тирринга для дробных операторов Шредингера» (PDF) . Журнал Американского математического общества . 21 (4): 925–950. дои : 10.1090/s0894-0347-07-00582-6 .
^ Хундертмарк, Дирк; Саймон, Барри (2002). «Неравенства Либа – Тирринга для матриц Якоби» . Журнал теории приближения . 118 (1): 106–130. arXiv : math-ph/0112027 . дои : 10.1006/jath.2002.3704 .

Литература

Либ, Э.Х.; Зейрингер, Р. (2010). Устойчивость материи в квантовой механике (1-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521191180 .
Хундертмарк, Д. (2007). «Некоторые задачи связанного состояния в квантовой механике». У Фрица Гестеси; Перси Дейфт; Чери Гальвез; Питер Перри; Вильгельм Шлаг (ред.). Спектральная теория и математическая физика: праздничный сборник в честь 60-летия Барри Саймона . Труды симпозиумов по чистой математике. Том. 76. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. 463–496. Бибкод : 2007stmp.conf..463H . ISBN 978-0-8218-3783-2 .

[LT1976-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Либ, Эллиот Х.; Тирринг, Уолтер Э. (1991). «Неравенства для моментов собственных значений гамильтониана Шрёдингера и их связь с неравенствами Соболева». В Тирринге, Уолтер Э. (ред.). Стабильность материи: от атомов до звезд . Издательство Принстонского университета. стр. 135–169. дои : 10.1007/978-3-662-02725-7_13 . ISBN 978-3-662-02727-1 .

[2] Цвикель, Майкл (1977). «Оценки слабого типа для сингулярных значений и количества связанных состояний операторов Шредингера». Анналы математики . 106 (1): 93–100. дои : 10.2307/1971160 . JSTOR 1971160 .

[L1976-3] Jump up to: ^а ^б Либ, Эллиотт (1 августа 1976 г.). «Оценки собственных значений операторов Лапласа и Шрёдингера» . Бюллетень Американского математического общества . 82 (5): 751–754. дои : 10.1090/s0002-9904-1976-14149-3 .

[4] Rozenbljum, G. V. (1976). "Distribution of the discrete spectrum of singular differential operators" . Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii Matematika (1): 75–86. MR 0430557 . Zbl 0342.35045 .

[5] Вайдль, Тимо (1996). «О константах Либа-Тирринга $L_{\gamma ,1}$ для γ≧1/2». Communications in Mathematical Physics . 178 (1): 135–146. arXiv : quant-ph/9504013 . doi : 10.1007/bf02104912 . S2CID 117980716 .

[6] Айзенман, Майкл; Либ, Эллиот Х. (1978). «О квазиклассических оценках собственных значений операторов Шрёдингера». Буквы по физике А. 66 (6): 427–429. Бибкод : 1978PhLA...66..427A . дои : 10.1016/0375-9601(78)90385-7 .

[7] Лаптев, Ари; Вайдль, Тимо (2000). «Резкие неравенства Либа-Тирринга в больших размерностях» . Акта Математика . 184 (1): 87–111. arXiv : math-ph/9903007 . дои : 10.1007/bf02392782 .

[8] Хундертмарк, Дирк; Либ, Эллиот Х.; Томас, Лоуренс Э. (1998). «Точная оценка момента собственного значения одномерного оператора Шрёдингера» . Успехи теоретической и математической физики . 2 (4): 719–731. дои : 10.4310/atmp.1998.v2.n4.a2 .

[9] Хелффер, Б.; Роберт, Д. (1990). «Средства Рисса для ограниченных состояний и квазиклассического предела, связанные с гипотезой Либа – Тирринга. II» . Анналы Института Анри Пуанкаре А. 53 (2): 139–147. МР 1079775 . Збл 0728.35078 .

[10] Фрэнк, Руперт; Хундертмарк, Дирк; Джекс, Михал; Нам, Фан Тхань (2021). «Возврат к неравенству Либа-Тирринга» . Журнал Европейского математического общества . 10 (4): 2583–2600. arXiv : 1808.09017 . дои : 10.4171/JEMS/1062 .

[11] Лаптев, Ари. «Спектральные неравенства для уравнений в частных производных и их приложения». Исследования AMS/IP по высшей математике . 51 : 629–643.

[12] Рюмин, Мишель (2011). «Сбалансированные неравенства распределения-энергии и связанные с ними границы энтропии». Математический журнал Дьюка . 160 (3): 567–597. arXiv : 1008.1674 . дои : 10.1215/00127094-1444305 . МР 2852369 . S2CID 638691 .

[13] Фрэнк, Руперт Л.; Либ, Эллиот Х.; Зейрингер, Роберт (10 октября 2007 г.). «Неравенства Харди-Либа-Тирринга для дробных операторов Шредингера» (PDF) . Журнал Американского математического общества . 21 (4): 925–950. дои : 10.1090/s0894-0347-07-00582-6 .

[14] Хундертмарк, Дирк; Саймон, Барри (2002). «Неравенства Либа – Тирринга для матриц Якоби» . Журнал теории приближения . 118 (1): 106–130. arXiv : math-ph/0112027 . дои : 10.1006/jath.2002.3704 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]