Диамагнитное неравенство

В математике и физике диамагнитное неравенство связывает норму Соболева абсолютной величины сечения линейного расслоения с его ковариантной производной . Диамагнитное неравенство имеет важную физическую интерпретацию: заряженная частица в магнитном поле имеет больше энергии в основном состоянии, чем в вакууме .

Чтобы точно сформулировать неравенство, пусть $L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ обозначают обычное гильбертово пространство функций, интегрируемых с квадратом , и $H^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ пространство Соболева интегрируемых с квадратом функций с интегрируемыми с квадратом производными. Позволять $f,A_{1},\dots ,A_{n}$ быть измеримыми функциями на $\mathbb {R} ^{n}$ и предположим, что $A_{j}\in L_{\text{loc}}^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ имеет реальную стоимость, $f$ является комплексным, и $f,(\partial _{1}+iA_{1})f,\dots ,(\partial _{n}+iA_{n})f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$. Тогда почти для каждого $x\in \mathbb {R} ^{n}$, $$|\nabla |f|(x)|\leq |(\nabla +iA)f(x)|.$$ В частности, $|f|\in H^{1}(\mathbb {R} ^{n})$.

Доказательство

В этом доказательстве мы следуем Эллиоту Х. Либу и Майклу Лоссу . Из предположений, $\partial _{j}|f|\in L_{\text{loc}}^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ если рассматривать их в смысле распределений и $$\partial _{j}|f|(x)=\operatorname {Re} \left({\frac {{\overline {f}}(x)}{|f(x)|}}\partial _{j}f(x)\right)$$ почти для каждого $x$ такой, что $f(x)\neq 0$ (и $\partial _{j}|f|(x)=0$ если $f(x)=0$). Более того, $$\operatorname {Re} \left({\frac {{\overline {f}}(x)}{|f(x)|}}iA_{j}f(x)\right)=\operatorname {Im} (A_{j}f)=0.$$ Так $$\nabla |f|(x)=\operatorname {Re} \left({\frac {{\overline {f}}(x)}{|f(x)|}}\mathbf {D} f(x)\right)\leq \left|{\frac {{\overline {f}}(x)}{|f(x)|}}\mathbf {D} f(x)\right|=|\mathbf {D} f(x)|$$ почти для каждого $x$ такой, что $f(x)\neq 0$. Дело в том, что $f(x)=0$ похож.

Применение к жгутам проводов

Позволять $p:L\to \mathbb {R} ^{n}$ — линейное расслоение U(1) , и пусть $A$ быть 1-формой связи для $L$. В этой ситуации $A$ имеет действительное значение, а ковариантная производная $\mathbf {D}$ удовлетворяет $\mathbf {D} f_{j}=(\partial _{j}+iA_{j})f$ для каждого раздела $f$. Здесь $\partial _{j}$ являются компонентами тривиальной связности для $L$. Если $A_{j}\in L_{\text{loc}}^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ и $f,(\partial _{1}+iA_{1})f,\dots ,(\partial _{n}+iA_{n})f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$, то почти для каждого $x\in \mathbb {R} ^{n}$, из диамагнитного неравенства следует, что $$|\nabla |f|(x)|\leq |\mathbf {D} f(x)|.$$

Рассмотренный случай представляет наибольший физический интерес. Мы рассматриваем $\mathbb {R} ^{n}$ как пространство-время Минковского . Поскольку группа электромагнетизма калибровочная равна $U(1)$, связь 1-формы для $L$ являются не чем иным, как действительными электромагнитными четырьмя потенциалами на $\mathbb {R} ^{n}$. Если $F=dA$ – электромагнитный тензор , то безмассовая система Максвелла – Клейна–Гордона для сечения $\phi$ из $L$ являются $${\begin{cases}\partial ^{\mu }F_{\mu \nu }=\operatorname {Im} (\phi \mathbf {D} _{\nu }\phi )\\\mathbf {D} ^{\mu }\mathbf {D} _{\mu }\phi =0\end{cases}}$$ и энергия этой физической системы равна $${\frac {||F(t)||_{L_{x}^{2}}^{2}}{2}}+{\frac {||\mathbf {D} \phi (t)||_{L_{x}^{2}}^{2}}{2}}.$$ Диамагнитное неравенство гарантирует, что энергия минимизирована в отсутствие электромагнетизма, таким образом $A=0$.

См. также

• Диамагнетизм - Магнитные свойства обычных материалов.