Куча Ферми и дырка Ферми

Куча Ферми и дырка Ферми относятся к двум тесно связанным квантовым явлениям , которые происходят в многоэлектронных атомах. Они возникают из-за принципа запрета Паули , согласно которому никакие два электрона не могут находиться в одном и том же квантовом состоянии в системе (что с учетом спина может находиться до двух электронов электронов означает, что на одной орбитали ). Из-за неразличимости элементарных частиц вероятность измерения, дающего определенное собственное значение , должна быть инвариантной при обмене электронами, а это означает, что амплитуда вероятности должна либо оставаться прежней, либо менять знак. Например, рассмотрим возбужденное состояние атома гелия, в котором электрон 1 находится на 1s-орбитали, а электрон 2 возбужден на 2s-орбитали. Невозможно даже в принципе отличить электрон 1 от электрона 2. Другими словами, электрон 2 может находиться на 1s-орбитали, а электрон 1 — на 2s-орбитали. Поскольку они являются фермионами , электроны должны описываться антисимметричной волновой функцией, которая должна менять знак при электронном обмене, что приводит либо к Ферми- дырка (с меньшей вероятностью быть найденной близко друг к другу) или ферми- куча (с более высокой вероятностью быть найденной близко друг к другу). Поскольку электроны электрически отталкивают друг друга, ферми-дырки и ферми-кучи оказывают сильное влияние на энергию многоэлектронных атомов, хотя этот эффект можно проиллюстрировать на примере атома гелия .

Пренебрегая спин-орбитальным взаимодействием , волновую функцию двух электронов можно записать как $\Psi =\Psi _{0}\Psi _{s}$, где мы разделили волновую функцию на пространственную и спиновую части. Как упоминалось выше, $\Psi$ должен быть антисимметричным, и поэтому антисимметрия может возникать либо из спиновой части, либо из пространственной части. Для этой системы возможны 4 спиновых состояния:

$$\chi _{+}(1)\chi _{+}(2)$$$$\chi _{-}(1)\chi _{-}(2)$$$$\chi _{+}(1)\chi _{-}(2)$$$$\chi _{-}(1)\chi _{+}(2)$$

Однако только первые два симметричны или антисимметричны обмену электронами (что соответствует обмену 1 и 2). Последние два нужно переписать так:

$$\chi _{1,1}=\chi _{+}(1)\chi _{+}(2)$$$$\chi _{1,-1}=\chi _{-}(1)\chi _{-}(2)$$$$\chi _{1,0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\chi _{-}(1)\chi _{+}(2)+\chi _{+}(1)\chi _{-}(2))$$$$\chi _{0,0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\chi _{-}(1)\chi _{+}(2)-\chi _{+}(1)\chi _{-}(2))$$

Первые три симметричны, а последний антисимметричен. Скажем, один из электронов в атоме гелия переведен в состояние 2s. В этом случае его пространственная волновая функция должна быть либо антисимметричной (требующей симметричной спиновой волновой функции):

$$\Psi _{0}=\psi _{1s}({\vec {r}}_{1})\psi _{2s}({\vec {r}}_{2})-\psi _{2s}({\vec {r}}_{1})\psi _{1s}({\vec {r}}_{2})$$

Или симметричный (требующий антисимметричной спиновой волновой функции):

$$\Psi _{0}=\psi _{1s}({\vec {r}}_{1})\psi _{2s}({\vec {r}}_{2})+\psi _{2s}({\vec {r}}_{1})\psi _{1s}({\vec {r}}_{2})$$

В первом случае возможными спиновыми состояниями являются три симметричных состояния, перечисленные выше, и это состояние обычно называют триплетом . Триплетное состояние не допускается в основном состоянии атома гелия, поскольку пространственная функция в этом случае симметрична, а спиновая функция должна быть антисимметричной. Мы можем заметить, что если мы возьмем ${\vec {r}}_{1}\approx {\vec {r}}_{2}$, амплитуда вероятности стремится к нулю, а это означает, что электроны вряд ли будут находиться близко друг к другу, что называется ферми-дыркой и отвечает за объемные свойства материи.

Аналогично, во втором случае возможно только одно спиновое состояние: $\chi _{0,0}$и поэтому это состояние обычно называют синглетным . Мы также можем заметить, что амплитуда вероятности выше, когда электроны расположены близко друг к другу, а это означает, что вероятность того, что электроны будут наблюдаться вместе, немного выше. Это явление называется кучей Ферми и играет важную роль в химической связи , позволяя обоим электронам локализоваться в межъядерной области и, таким образом, защищая положительно заряженные ядра от электростатического отталкивания друг от друга.

Поскольку электроны отталкивают друг друга, ферми-дырки и ферми-кучи оказывают сильное влияние на энергию многоэлектронных атомов, например, на периодические свойства элементов. Поскольку объединение электронов требует совершения работы, ферми-кучи имеют более высокую энергию, чем ферми-дырки. Этот результат обобщается с точки зрения множественности правилом Хунда , которое гласит, что чем выше спиновая множественность состояния (количество спиновых состояний, которое оно может иметь в соответствии с принципом исключения), тем ниже будет его энергия.

Анимации ферми-дырок и ферми-кучек в атоме углерода находятся здесь. Здесь обсуждаются подробности происхождения и значения ферми-дырок и ферми-кучек в структуре атомов.

Библиография

• Дилл, Дэн (2006). Заметки по общей химии (2-е изд.), Глава 3.5, Многоэлектронные атомы: ферми-дырки и ферми-кучи . У. Х. Фриман. ISBN  0-393-97661-0 .
• Аткинс, Питер; Фридман, Рональд (2011). Молекулярная квантовая механика (5-е изд.). Оксфорд. п. 223. ИСБН  978-019954142-3 .