Модуль Юнга

Модуль Юнга — это наклон линейной части кривой растяжения-деформации материала, находящегося при растяжении или сжатии.

Модуль Юнга (или модуль Юнга ) — это механическое свойство твердых материалов, которое измеряет жесткость при растяжении или сжатии при приложении силы в продольном направлении. Это модуль упругости при растяжении или осевом сжатии . Модуль Юнга определяется как отношение напряжения ( силы на единицу площади), приложенного к объекту, и результирующей осевой деформации (перемещения или деформации) в линейно-упругой области материала.

Хотя модуль Юнга назван в честь британского учёного XIX века Томаса Янга , эта концепция была разработана в 1727 году Леонардом Эйлером . Первые эксперименты, в которых использовалась концепция модуля Юнга в ее современной форме, были проведены итальянским ученым Джордано Риккати в 1782 году, на 25 лет раньше работы Юнга. Термин модуль происходит от латинского корня modus , что означает мера .

Определение

модуль Юнга, $E$, количественно определяет взаимосвязь между растягивающим или сжимающим напряжением. $\sigma$ (сила на единицу площади) и осевая деформация $\varepsilon$ (пропорциональная деформация) в линейно-упругой области материала: $$E={\frac {\sigma }{\varepsilon }}$$

Модуль Юнга обычно измеряется в Международной системе единиц (СИ) в кратных паскалям (Па), а общие значения находятся в диапазоне гигапаскалей (ГПа).

Примеры:

• Резина (увеличение давления: длина быстро увеличивается, что означает низкую $E$)
• Алюминий (увеличение давления: длина увеличивается медленно, что означает высокую $E$)

Линейная эластичность

Основная статья: Линейная эластичность

Твердый материал подвергается упругой деформации при приложении к нему небольшой нагрузки при сжатии или растяжении. Упругая деформация обратима: после снятия нагрузки материал возвращается к исходной форме.

При почти нулевом напряжении и деформации кривая напряжение-деформация линейна , а взаимосвязь между напряжением и деформацией описывается законом Гука , который гласит, что напряжение пропорционально деформации. Коэффициент пропорциональности – модуль Юнга. Чем выше модуль, тем большее напряжение необходимо для создания такой же деформации; идеализированное твердое тело имело бы бесконечный модуль Юнга. И наоборот, очень мягкий материал (например, жидкость) будет деформироваться без силы и будет иметь нулевой модуль Юнга.

Связанные, но разные свойства

Жесткость материала отличается от следующих свойств:

• Прочность : максимальное напряжение, которое может выдержать материал, оставаясь в режиме упругой (обратимой) деформации;
• Геометрическая жесткость: глобальная характеристика тела, зависящая от его формы, а не только от локальных свойств материала; например, двутавровая балка имеет более высокую жесткость на изгиб, чем стержень из того же материала при заданной массе на длину;
• Твердость : относительное сопротивление поверхности материала проникновению более твердого тела;
• Прочность : количество энергии, которую материал может поглотить до разрушения.

Использование

Модуль Юнга позволяет рассчитать изменение размеров стержня из изотропного упругого материала под действием растягивающих или сжимающих нагрузок. Например, он предсказывает, насколько образец материала растягивается при растяжении или укорачивается при сжатии. Модуль Юнга напрямую применим к случаям одноосного напряжения; то есть растягивающее или сжимающее напряжение в одном направлении и отсутствие напряжения в других направлениях. Модуль Юнга также используется для прогнозирования прогиба, который произойдет в статически определенной балке , когда нагрузка прилагается в точке между опорами балки.

Другие упругие расчеты обычно требуют использования одного дополнительного упругого свойства, такого как модуль сдвига. $G$, объемный модуль $K$, и коэффициент Пуассона $\nu$. Любых двух из этих параметров достаточно, чтобы полностью описать упругость изотропного материала. Например, при расчете физических свойств раковой ткани кожи было измерено и установлено, что коэффициент Пуассона составляет 0,43±0,12, а средний модуль Юнга составляет 52 кПа. Определение эластических свойств кожи может стать первым шагом на пути превращения эластичности в клинический инструмент. Для однородных изотропных материалов между упругими константами существуют простые соотношения , позволяющие рассчитать их все, если известны две:

$E=2G(1+\nu )=3K(1-2\nu ).$

Линейное и нелинейное

Модуль Юнга представляет собой коэффициент пропорциональности в законе Гука , который связывает напряжение и деформацию. Однако закон Гука справедлив только в предположении упругого и линейного отклика. Любой реальный материал в конечном итоге выйдет из строя и сломается, если его растянуть на очень большое расстояние или с очень большой силой; однако все твердые материалы демонстрируют почти гуковское поведение при достаточно малых деформациях или напряжениях. Если диапазон, в котором действует закон Гука, достаточно велик по сравнению с типичным напряжением, которое ожидается приложить к материалу, материал называется линейным. В противном случае (если типичное приложенное напряжение находится за пределами линейного диапазона) материал считается нелинейным.

Сталь , углеродное волокно и стекло, среди прочих, обычно считаются линейными материалами, тогда как другие материалы, такие как резина и грунты, являются нелинейными. Однако это не абсолютная классификация: если к нелинейному материалу приложены очень небольшие напряжения или деформации, реакция будет линейной, но если к линейному материалу приложено очень высокое напряжение или деформация, линейная теория не будет достаточно. Например, поскольку линейная теория подразумевает обратимость , было бы абсурдно использовать линейную теорию для описания разрушения стального моста под высокой нагрузкой; хотя в большинстве случаев сталь является линейным материалом, в случае катастрофического отказа она не возникает.

В механике твердого тела наклон кривой растяжения в любой точке называется касательным модулем . Его можно определить экспериментально по наклону кривой растяжения, полученной в ходе испытаний на растяжение, проведенных на образце материала.

Направленные материалы

Модуль Юнга не всегда одинаков во всех направлениях материала. Большинство металлов и керамики, а также многих других материалов изотропны , и их механические свойства одинаковы во всех направлениях. Однако металлы и керамику можно обрабатывать определенными примесями, а металлы можно подвергать механической обработке, чтобы придать им направленную структуру зерен. Эти материалы затем становятся анизотропными , и модуль Юнга будет меняться в зависимости от направления вектора силы. Анизотропию можно увидеть и во многих композитах. Например, углеродное волокно имеет гораздо более высокий модуль Юнга (оно намного жестче), когда сила прикладывается параллельно волокнам (вдоль волокон). Другие такие материалы включают дерево и железобетон . Инженеры могут использовать это явление направленности в своих целях при создании конструкций.

Температурная зависимость

Модуль Юнга металлов меняется с температурой и может быть реализован через изменение межатомной связи атомов, следовательно, его изменение оказывается зависимым от изменения работы выхода металла. Хотя классически это изменение предсказывается путем подгонки и без четкого основного механизма (например, формулы Вочмана), модель Рахеми-Ли демонстрирует, как изменение работы выхода электрона приводит к изменению модуля Юнга металлов, и предсказывает это изменение с помощью вычисляемых параметров, используя обобщение потенциала Леннарда-Джонса на твердые тела. В общем, с повышением температуры модуль Юнга уменьшается за счет $E(T)=\beta (\varphi (T))^{6}$ где работа выхода электрона меняется с температурой как $\varphi (T)=\varphi _{0}-\gamma {\frac {(k_{B}T)^{2}}{\varphi _{0}}}$ и $\gamma$ — это вычисляемое свойство материала, которое зависит от кристаллической структуры (например, BCC, FCC). $\varphi _{0}$ - работа выхода электрона при T=0 и $\beta$ является постоянным на протяжении всего изменения.

Расчет

Модуль Юнга рассчитывается путем деления растягивающего напряжения , $\sigma (\varepsilon )$, посредством инженерной деформации растяжения , $\varepsilon$, на упругом (начальном, линейном) участке кривой физического напряжения :

$$E\equiv {\frac {\sigma (\varepsilon )}{\varepsilon }}={\frac {F/A}{\Delta L/L_{0}}}={\frac {FL_{0}}{A\,\Delta L}}$$где

• $E$ - модуль Юнга (модуль упругости)
• $F$ — сила, действующая на растянутый объект;
• $A$ – фактическая площадь поперечного сечения, равная площади поперечного сечения, перпендикулярного приложенной силе;
• $\Delta L$ — это величина, на которую изменяется длина объекта ( $\Delta L$ положителен, если материал растянут, и отрицателен, когда материал сжат);
• $L_{0}$ — исходная длина объекта.

Сила, действующая со стороны растянутого или сжатого материала

Модуль Юнга материала можно использовать для расчета силы, которую он оказывает при определенной деформации.

$F={\frac {EA\,\Delta L}{L_{0}}}$

где $F$ это сила, с которой материал сжимается или растягивается под действием $\Delta L$.

Закон Гука для натянутой проволоки можно вывести из этой формулы:

$F=\left({\frac {EA}{L_{0}}}\right)\,\Delta L=kx$

где это происходит по насыщенности

$k\equiv {\frac {EA}{L_{0}}}\,$ и $x\equiv \Delta L.$

Но обратите внимание, что эластичность спиральных пружин зависит от модуля сдвига , а не от модуля Юнга.

Упругая потенциальная энергия

Упругая потенциальная энергия, запасенная в линейно упругом материале, определяется интегралом закона Гука:

$U_{e}=\int {kx}\,dx={\frac {1}{2}}kx^{2}.$

теперь, объяснив интенсивные переменные:

$U_{e}=\int {\frac {EA\,\Delta L}{L_{0}}}\,d\Delta L={\frac {EA}{L_{0}}}\int \Delta L\,d\Delta L={\frac {EA\,{\Delta L}^{2}}{2L_{0}}}$

Это означает, что плотность упругой потенциальной энергии (т. е. на единицу объема) определяется выражением:

${\frac {U_{e}}{AL_{0}}}={\frac {E\,{\Delta L}^{2}}{2L_{0}^{2}}}={\frac {1}{2}}\times {\frac {E\,{\Delta L}}{L_{0}}}\times {\frac {\Delta L}{L_{0}}}={\frac {1}{2}}\times \sigma (\varepsilon )\times \varepsilon$

или, в простых обозначениях, для линейно-упругого материала: ${\textstyle u_{e}(\varepsilon )=\int {E\,\varepsilon }\,d\varepsilon ={\frac {1}{2}}E{\varepsilon }^{2}}$, поскольку деформация определяется ${\textstyle \varepsilon \equiv {\frac {\Delta L}{L_{0}}}}$.

В нелинейном упругом материале модуль Юнга является функцией деформации, поэтому вторая эквивалентность больше не выполняется, и упругая энергия не является квадратичной функцией деформации:

$u_{e}(\varepsilon )=\int E(\varepsilon )\,\varepsilon \,d\varepsilon \neq {\frac {1}{2}}E\varepsilon ^{2}$

Примеры

Влияние добавок отдельных компонентов стекла на модуль Юнга конкретного основного стекла

Модуль Юнга может несколько меняться из-за различий в составе образца и методе испытаний. Скорость деформации оказывает наибольшее влияние на собираемые данные, особенно для полимеров . Значения здесь являются приблизительными и предназначены только для относительного сравнения.

Приблизительный модуль Юнга для различных материалов

Материал	Модуль Юнга ( ГПа )	Мегафунт на квадратный дюйм ( M psi )	Ссылка.
Алюминий ( 13 Ал)	68	9.86
аминокислот Молекулярные кристаллы	21–44	3.05–6.38
Арамид (например, Кевлар )	70.5–112.4	10.2–16.3
Ароматические пептиды-наносферы	230–275	33.4–39.9
Ароматические пептиды-нанотрубки	19–27	2.76–3.92
бактериофагов Капсиды	1–3	0.145–0.435
Бериллий ( 4 Be)	287	41.6
Кость , кортикальный слой человека	14	2.03
Латунь	106	15.4
Бронза	112	16.2
Нитрид углерода (CN 2 )	822	119
Пластик, армированный углеродным волокном (CFRP), волокно/матрица 50/50, двухосная ткань	30–50	4.35–7.25
Пластик, армированный углеродным волокном (CFRP), 70/30 волокно/матрица, однонаправленный, вдоль волокна	181	26.3
Кобальт-хром (CoCr)	230	33.4
Медь (Cu), отожженная	110	16
Алмаз (С), синтетический	1050–1210	152–175
Панцири диатомовых водорослей , в основном кремниевая кислота	0.35–2.77	0.051–0.058
Льняное волокно	58	8.41
Флоат-стекло	47.7–83.6	6.92–12.1
Полиэстер, армированный стекловолокном (GRP)	17.2	2.49
Золото	77.2	11.2
Графен	1050	152
Конопляное волокно	35	5.08
Полиэтилен высокой плотности (HDPE)	0.97–1.38	0.141–0.2
Высокопрочный бетон	30	4.35
Свинец ( 82 Pb), химический	13	1.89
Полиэтилен низкого давления (ПЭВД) формованный	0.228	0.0331
Магниевый сплав	45.2	6.56
ДВП средней плотности (МДФ)	4	0.58
Молибден (Mo), отожженный	330	47.9
Монель	180	26.1
Перламутр (в основном карбонат кальция )	70	10.2
Никель ( 28 Ni), технический	200	29
Нейлон 66	2.93	0.425
Осмий ( 76 Ос)	525–562	76.1–81.5
осмия Нитрид (OsN 2 )	194.99–396.44	28.3–57.5
Поликарбонат (ПК)	2.2	0.319
Полиэтилентерефталат (ПЭТ), неармированный	3.14	0.455
Полипропилен (ПП), формованный	1.68	0.244
Полистирол , хрусталь	2.5–3.5	0.363–0.508
Полистирол , пенопласт	0.0025–0.007	0.000363–0.00102
Политетрафторэтилен (ПТФЭ), формованный	0.564	0.0818
Резина , малая деформация	0.01–0.1	0.00145–0.0145
Кремний , монокристалл, разные направления	130–185	18.9–26.8
Карбид кремния (SiC)	90–137	13.1–19.9
Одностенная углеродная нанотрубка	$>$1000	$>$140
Сталь , А36	200	29
крапивы двудомной Волокно	87	12.6
Титан ( 22 Ти)	116	16.8
Титановый сплав , класс 5	114	16.5
Зубная эмаль , в основном фосфат кальция	83	12
Карбид вольфрама (WC)	600–686	87–99.5
Дерево , американский бук.	9.5–11.9	1.38–1.73
Дерево , черная вишня	9–10.3	1.31–1.49
Дерево , красный клен.	9.6–11.3	1.39–1.64
Кованое железо	193	28
Иттрий-железный гранат (YIG), поликристаллический	193	28
Иттрий-железный гранат (ЖИГ), монокристаллический	200	29
Цинк ( 30 Zn)	108	15.7
Цирконий ( 40 Zr), коммерческий	95	13.8

См. также

• Жесткость на изгиб
• Отклонение
• Деформация
• Модуль упругости при изгибе
• Техника импульсного возбуждения
• Список свойств материалов
• Выход (инжиниринг)

Дальнейшее чтение

• ASTM E 111, «Стандартный метод определения модуля Юнга, касательного модуля и модуля хорды»
• Справочник ASM (различные тома) содержит модуль Юнга для различных материалов и информацию по расчетам. Онлайн-версия (требуется подписка)

Внешние ссылки

• Matweb: бесплатная база данных инженерных свойств более чем 175 000 материалов.
• Модуль Юнга для групп материалов и их стоимость.

скрывать Формулы преобразования
Однородные изотропные линейно-упругие материалы имеют упругие свойства, однозначно определяемые любыми двумя модулями из них; таким образом, учитывая любые два, любой другой из модулей упругости можно рассчитать по этим формулам, приведенным как для 3D-материалов (первая часть таблицы), так и для 2D-материалов (вторая часть).
3D-формулы	$K=\,$	$E=\,$	$\lambda =\,$	$G=\,$	$\nu =\,$	$M=\,$	Примечания
$(K,\,E)$			${\tfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}$	${\tfrac {3KE}{9K-E}}$	${\tfrac {3K-E}{6K}}$	${\tfrac {3K(3K+E)}{9K-E}}$
$(K,\,\lambda )$		${\tfrac {9K(K-\lambda )}{3K-\lambda }}$		${\tfrac {3(K-\lambda )}{2}}$	${\tfrac {\lambda }{3K-\lambda }}$	$3K-2\lambda \,$
$(K,\,G)$		${\tfrac {9KG}{3K+G}}$	$K-{\tfrac {2G}{3}}$		${\tfrac {3K-2G}{2(3K+G)}}$	$K+{\tfrac {4G}{3}}$
$(K,\,\nu )$		$3K(1-2\nu )\,$	${\tfrac {3K\nu }{1+\nu }}$	${\tfrac {3K(1-2\nu )}{2(1+\nu )}}$		${\tfrac {3K(1-\nu )}{1+\nu }}$
$(K,\,M)$		${\tfrac {9K(M-K)}{3K+M}}$	${\tfrac {3K-M}{2}}$	${\tfrac {3(M-K)}{4}}$	${\tfrac {3K-M}{3K+M}}$
$(E,\,\lambda )$	${\tfrac {E+3\lambda +R}{6}}$			${\tfrac {E-3\lambda +R}{4}}$	${\tfrac {2\lambda }{E+\lambda +R}}$	${\tfrac {E-\lambda +R}{2}}$	$R={\sqrt {E^{2}+9\lambda ^{2}+2E\lambda }}$
$(E,\,G)$	${\tfrac {EG}{3(3G-E)}}$		${\tfrac {G(E-2G)}{3G-E}}$		${\tfrac {E}{2G}}-1$	${\tfrac {G(4G-E)}{3G-E}}$
$(E,\,\nu )$	${\tfrac {E}{3(1-2\nu )}}$		${\tfrac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}$	${\tfrac {E}{2(1+\nu )}}$		${\tfrac {E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}}$
$(E,\,M)$	${\tfrac {3M-E+S}{6}}$		${\tfrac {M-E+S}{4}}$	${\tfrac {3M+E-S}{8}}$	${\tfrac {E-M+S}{4M}}$		$S=\pm {\sqrt {E^{2}+9M^{2}-10EM}}$ Есть два верных решения. Знак плюс приводит к $\nu \geq 0$. Знак минус приводит к $\nu \leq 0$.
$(\lambda ,\,G)$	$\lambda +{\tfrac {2G}{3}}$	${\tfrac {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}$			${\tfrac {\lambda }{2(\lambda +G)}}$	$\lambda +2G\,$
$(\lambda ,\,\nu )$	${\tfrac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}$	${\tfrac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}$		${\tfrac {\lambda (1-2\nu )}{2\nu }}$		${\tfrac {\lambda (1-\nu )}{\nu }}$	Нельзя использовать, когда $\nu =0\Leftrightarrow \lambda =0$
$(\lambda ,\,M)$	${\tfrac {M+2\lambda }{3}}$	${\tfrac {(M-\lambda )(M+2\lambda )}{M+\lambda }}$		${\tfrac {M-\lambda }{2}}$	${\tfrac {\lambda }{M+\lambda }}$
$(G,\,\nu )$	${\tfrac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}$	$2G(1+\nu )\,$	${\tfrac {2G\nu }{1-2\nu }}$			${\tfrac {2G(1-\nu )}{1-2\nu }}$
$(G,\,M)$	$M-{\tfrac {4G}{3}}$	${\tfrac {G(3M-4G)}{M-G}}$	$M-2G\,$		${\tfrac {M-2G}{2M-2G}}$
$(\nu ,\,M)$	${\tfrac {M(1+\nu )}{3(1-\nu )}}$	${\tfrac {M(1+\nu )(1-2\nu )}{1-\nu }}$	${\tfrac {M\nu }{1-\nu }}$	${\tfrac {M(1-2\nu )}{2(1-\nu )}}$
2D-формулы	$K_{\mathrm {2D} }=\,$	$E_{\mathrm {2D} }=\,$	$\lambda _{\mathrm {2D} }=\,$	$G_{\mathrm {2D} }=\,$	$\nu _{\mathrm {2D} }=\,$	$M_{\mathrm {2D} }=\,$	Примечания
$(K_{\mathrm {2D} },\,E_{\mathrm {2D} })$			${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }(2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} })}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }E_{\mathrm {2D} }}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }^{2}}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$
$(K_{\mathrm {2D} },\,\lambda _{\mathrm {2D} })$		${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }(K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} })}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}$		$K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}$	$2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }$
$(K_{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$		${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}$	$K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }$		${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}$	$K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }$
$(K_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$		$2K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })\,$	${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$
$(E_{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }(E_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} })}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2G_{\mathrm {2D} }}}-1$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }^{2}}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$
$(E_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1+\nu _{\mathrm {2D} })}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$
$(\lambda _{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$	$\lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(\lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} })}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}$			${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}$	$\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }\,$
$(\lambda _{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\nu _{\mathrm {2D} }}}$	Нельзя использовать, когда $\nu _{\mathrm {2D} }=0\Leftrightarrow \lambda _{\mathrm {2D} }=0$
$(G_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$	$2G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })\,$	${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$			${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$
$(G_{\mathrm {2D} },\,M_{\mathrm {2D} })$	$M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} })}{M_{\mathrm {2D} }}}$	$M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }\,$		${\tfrac {M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }}{M_{\mathrm {2D} }}}$