Пучок Клиффорда

В математике расслоение Клиффорда — это расслоение алгебры , слои которого имеют структуру алгебры Клиффорда и чьи локальные тривиализации соответствуют структуре алгебры. Существует естественное расслоение Клиффорда, ассоциированное с любым ( псевдо ) римановым многообразием M которое называется расслоением Клиффорда многообразия M. ,

Общее строительство

Пусть V ( вещественное или комплексное ) — векторное пространство вместе с симметричной билинейной формой <·, ·>. Алгебра Клиффорда Cℓ ( V ) — естественная ( с единицей ассоциативная ) алгебра, порожденная V, подчиняющаяся только соотношению

v^{2}=\langle v,v\rangle

для всех v в V . ^[1] Можно построить Cℓ ( V ) как фактор тензорной алгебры V порожденному по идеалу, указанным выше соотношением.

Как и другие тензорные операции, эту конструкцию можно выполнить послойно на гладком векторном расслоении . Пусть E — гладкое векторное расслоение над гладким многообразием M , и пусть g — гладкая симметрическая билинейная форма E. на Расслоение Клиффорда E , слоями которого являются алгебры Клиффорда , — это расслоение порожденные слоями E :

C\ell (E)=\coprod _{x\in M}C\ell (E_{x},g_{x})

Топология Cℓ E E ( посредством определяется топологией ) соответствующей конструкции расслоения .

Чаще всего интересует случай, когда g или положительно определена , по крайней мере, невырождена ; то есть, когда ( E , g ) является римановым или псевдоримановым векторным расслоением. Для конкретности предположим, что ( E , g ) — риманово векторное расслоение. Расслоение Клиффорда E можно построить следующим образом. Пусть Cℓ _n R — алгебра Клиффорда, порожденная R ^н с евклидовой метрикой . Стандартное действие ортогональной группы O( n ) на R ^н градуированный автоморфизм Cℓ R _n . индуцирует Гомоморфизм

\rho :\mathrm {O} (n)\to \mathrm {Aut} (C\ell _{n}\mathbb {R} )

определяется

\rho (A)(v_{1}v_{2}\cdots v_{k})=(Av_{1})(Av_{2})\cdots (Av_{k})

где v _i — все векторы из R ^н. Тогда расслоение Клиффорда для E имеет вид

C\ell (E)=F(E)\times _{\rho }C\ell _{n}\mathbb {R}

где F ( E ) — ортонормированных E. реперов расслоение Из этой конструкции ясно, что группа структурная Cℓ ( E ) равна O( n ). Поскольку O( n ) действует градуированными автоморфизмами на Cℓ _n R, отсюда следует, что Cℓ ( E ) является расслоением Z ₂ -градуированных алгебр над M . Тогда расслоение Клиффорда Cℓ ( E ) можно разложить на четное и нечетное подрасслоения:

C\ell (E)=C\ell ^{0}(E)\oplus C\ell ^{1}(E).

Если векторное расслоение E ориентируемо , свести структурную группу Cℓ ( E ) от O( n ) к SO( n то можно естественным образом ).

Расслоение Клиффорда риманова многообразия

Если M — риманово многообразие с метрикой g , то расслоение Клиффорда M — это расслоение Клиффорда, порожденное касательным расслоением TM . Из кокасательного расслоения T * M также можно построить расслоение Клиффорда . Метрика индуцирует естественный изоморфизм TM = T * M и, следовательно, изоморфизм Cℓ ( TM ) = Cℓ ( T * M ).

существует естественный векторного расслоения Между расслоением Клиффорда M и внешним расслоением M изоморфизм :

C\ell (T^{*}M)\cong \Lambda (T^{*}M).

Это изоморфизм векторных расслоений, а не алгебраических расслоений. Изоморфизм индуцируется соответствующим изоморфизмом на каждом слое. Таким образом, можно думать о сечениях расслоения Клиффорда как о дифференциальных формах на M, оснащенных умножением Клиффорда, а не о клиновом произведении (которое не зависит от метрики).

Приведенный выше изоморфизм учитывает градуировку в том смысле, что

{\begin{aligned}C\ell ^{0}(T^{*}M)&=\Lambda ^{\mathrm {even} }(T^{*}M)\\C\ell ^{1}(T^{*}M)&=\Lambda ^{\mathrm {odd} }(T^{*}M).\end{aligned}}

Местное описание

Для вектора $v\in T_{x}M$ в $x\in M$ и форма $\psi \in \Lambda (T_{x}M)$ умножение Клиффорда ^[2] определяется как

$v\psi =v\wedge \psi +v\lrcorner \psi$ ,

где метрическая двойственность для преобразования вектора в одну форму используется в первом члене.

Тогда внешняя производная $d$ и кодовая производная $\delta$ может быть связано с метрической связью $\nabla$ используя выбор ортонормированной базы $\{e_{a}\}$ к

$d=e^{a}\wedge \nabla _{e_{a}},\quad \delta =-e^{a}\lrcorner \nabla _{e_{a}}$ .

Используя эти определения, оператор Дирака-Келера ^[3]^[2] определяется

$D=e^{a}\nabla _{e_{a}}=d-\delta$ .

В звездной области оператор можно инвертировать, используя лемму Пуанкаре для внешней производной и ее звезду Ходжа двойственную для копроизводной . ^[4] Практический способ сделать это - использовать операторы гомотопии и когомотопии . ^[4]^[5]

См. также

Примечания

^ существует произвольный выбор знака В определении алгебры Клиффорда . В общем, можно взять v ² = ±< v , v >. В дифференциальной геометрии обычно используется соглашение о знаках (-).
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Бенн, Ян М.; Такер, Робин В. (1987). Введение в спиноры и геометрию с приложениями в физике . А. Хильгер. ISBN 978-0-85274-169-6 .
^ Граф, Вольфганг (1978). «Дифференциальные формы как спиноры» . Анналы Института Анри Пуанкаре А. 29 (1): 85–109. ISSN 2400-4863 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Кыча, Радослав Антоний (2022). «Лемма Пуанкаре для кодифференциальных, антикоточных форм и приложений к физике» . Результаты по математике . 77 (5): 182. arXiv : 2009.08542 . дои : 10.1007/s00025-022-01646-z . ISSN 1422-6383 . S2CID 221802588 .
^ Кыча, Радослав Антоний (2020). «Лемма Пуанкаре, антиточные формы и фермионный квантовый гармонический осциллятор» . Результаты по математике . 75 (3): 122. arXiv : 1908.02349 . дои : 10.1007/s00025-020-01247-8 . ISSN 1422-6383 . S2CID 253586364 .

Ссылки

Берлин, Николь ; Гетцлер, Эзра ; Вернь, Мишель (2004). Тепловые ядра и операторы Дирака . Текстовые издания «Основные доктрины» (изд. в мягкой обложке). Берлин, Нью-Йорк: Springer Verlag . ISBN 3-540-20062-2 . Збл 1037.58015 .
Лоусон, Х. Блейн ; Мишельсон, Мария-Луиза (1989). Спиновая геометрия . Принстонская математическая серия. Том. 38. Издательство Принстонского университета . ISBN 978-0-691-08542-5 . Збл 0688.57001 .

[1] существует произвольный выбор знака В определении алгебры Клиффорда . В общем, можно взять v ² = ±< v , v >. В дифференциальной геометрии обычно используется соглашение о знаках (-).

[:0-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Бенн, Ян М.; Такер, Робин В. (1987). Введение в спиноры и геометрию с приложениями в физике . А. Хильгер. ISBN 978-0-85274-169-6 .

[3] Граф, Вольфганг (1978). «Дифференциальные формы как спиноры» . Анналы Института Анри Пуанкаре А. 29 (1): 85–109. ISSN 2400-4863 .

[:1-4] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Кыча, Радослав Антоний (2022). «Лемма Пуанкаре для кодифференциальных, антикоточных форм и приложений к физике» . Результаты по математике . 77 (5): 182. arXiv : 2009.08542 . дои : 10.1007/s00025-022-01646-z . ISSN 1422-6383 . S2CID 221802588 .

[5] Кыча, Радослав Антоний (2020). «Лемма Пуанкаре, антиточные формы и фермионный квантовый гармонический осциллятор» . Результаты по математике . 75 (3): 122. arXiv : 1908.02349 . дои : 10.1007/s00025-020-01247-8 . ISSN 1422-6383 . S2CID 253586364 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]