Антикоммутативное свойство

В математике антикоммутативность — специфическое свойство некоторых некоммутативных математических операций . Замена местами двух аргументов антисимметричной операции дает результат, обратный результату с не поменянными местами аргументами. Понятие инверсия относится к групповой структуре операции в кодомене , возможно, с другой операцией. Вычитание является антикоммутативной операцией, поскольку коммутация операндов a - b дает b - a = -( a - b ); например, 2–10 = –(10–2) = –8. Другим ярким примером антикоммутативной операции является скобка Ли .

В математической физике , где симметрия имеет центральное значение, эти операции чаще всего называются антисимметричными операциями и расширяются в ассоциативной среде, чтобы охватить более двух аргументов .

Определение

Если $A,B$ две абелевы группы , билинейное отображение $f\colon A^{2}\to B$ антикоммутативен , если для всех $x,y\in A$ у нас есть

$f(x,y)=-f(y,x).$

В более общем смысле, многолинейная карта $g:A^{n}\to B$ антикоммутативен, если для всех $x_{1},\dots x_{n}\in A$ у нас есть

$g(x_{1},x_{2},\dots x_{n})={\text{sgn}}(\sigma )g(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},\dots x_{\sigma (n)})$

где ${\text{sgn}}(\sigma )$ это знак перестановки ​ $\sigma$.

Свойства

Если абелева группа $B$ не имеет 2- кручения , а это означает, что если $x=-x$ затем $x=0$, то любое антикоммутативное билинейное отображение $f\colon A^{2}\to B$ удовлетворяет

$f(x,x)=0.$

В более общем смысле, путем транспонирования двух элементов любое антикоммутативное полилинейное отображение $g\colon A^{n}\to B$ удовлетворяет

$g(x_{1},x_{2},\dots x_{n})=0$

если что-либо из $x_{i}$равны; такое отображение называется чередующимся . И наоборот, используя полилинейность, любое знакопеременное отображение является антикоммутативным. В двоичном случае это работает следующим образом: если $f\colon A^{2}\to B$ чередуется, то в силу билинейности имеем

$f(x+y,x+y)=f(x,x)+f(x,y)+f(y,x)+f(y,y)=f(x,y)+f(y,x)=0$

и доказательство в полилинейном случае такое же, но только для двух входных данных.

Примеры

Примеры антикоммутативных бинарных операций включают:

• Перекрестное произведение
• Скобка Ли алгебры Ли
• Скобка Ли кольца Ли
• Вычитание

См. также

• Коммутативность
• Коммутатор
• Внешняя алгебра
• Градуированно-коммутативное кольцо
• Операция (математика)
• Симметрия в математике
• Статистика частиц (об антикоммутативности в физике).

Ссылки

• Бурбаки, Николя (1989), "Глава III. Тензорные алгебры , внешние алгебры , симметрические алгебры ", Алгебра. Главы 1–3 , Элементы математики (2-е печатное изд.), Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк : Springer-Verlag , ISBN  3-540-64243-9 , МР   0979982 , Збл   0904.00001 .

Внешние ссылки

• Гаинов, А.Т. (2001) [1994], «Антикоммутативная алгебра» , Энциклопедия математики , EMS Press . Что отсылает к оригинальному русскому произведению
• Вайсштейн, Эрик В. «Антикоммутативный» . Математический мир .