Разделенная алгебра Ли

В математической области теории Ли расщепляемая алгебра Ли — это пара $({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})$ где ${\mathfrak {g}}$ является алгеброй Ли и ${\mathfrak {h}}<{\mathfrak {g}}$ является расщепляющейся подалгеброй Картана , где «расщепление» означает, что для всех $x\in {\mathfrak {h}}$ , $\operatorname {ad} _{\mathfrak {g}}x$ является триангуляризуемым . Если алгебра Ли допускает расщепление, она называется расщепляемой алгеброй Ли . ^[1] Обратите внимание, что для редуктивных алгебр Ли подалгебра Картана должна содержать центр.

Над алгебраически замкнутым полем , таким как комплексные числа , все полупростые алгебры Ли расщепляемы (действительно, подалгебра Картана не только действует с помощью триангуляризуемых матриц, но, более того, она действует с помощью диагонализируемых матриц) и все расщепления сопряжены; таким образом, расщепляемые алгебры Ли представляют наибольший интерес для неалгебраически замкнутых полей.

Расщепляемые алгебры Ли представляют интерес как потому, что они формализуют расщепленную вещественную форму комплексной алгебры Ли, так и потому, что расщепляемые полупростые алгебры Ли (в более общем смысле, расщепляемые редуктивные алгебры Ли) над любым полем имеют много общих свойств с полупростыми алгебрами Ли над алгебраически замкнутыми полями - например, имея по существу ту же самую теорию представлений - расщепляющая подалгебра Картана играет ту же роль, которую подалгебра Картана играет над алгебраически замкнутыми полями. Именно такого подхода придерживаются ( Bourbaki 2005 , например, ).

Характеристики

Над алгебраически замкнутым полем все подалгебры Картана сопряжены. Над неалгебраически замкнутым полем не все подалгебры Картана вообще сопряжены; однако в расщепляемой полупростой алгебре Ли все расщепляющие алгебры Картана сопряжены.
Над алгебраически замкнутым полем все полупростые алгебры Ли расщепимы.
Над неалгебраически замкнутым полем существуют нерасщепимые полупростые алгебры Ли. ^[2]
В расщепляемой алгебре Ли могут существовать подалгебры Картана, которые не расщепляются. ^[3]
Прямые суммы расщепляемых алгебр Ли и идеалов в расщепляемых алгебрах Ли расщепимы.

Разделенные вещественные алгебры Ли

Для реальной алгебры Ли расщепляемость эквивалентна любому из этих условий: ^[4]

Действительный ранг равен комплексному рангу.
Диаграмма Сатаке не имеет ни черных вершин, ни стрелок.

Каждая комплексная полупростая алгебра Ли имеет единственную (с точностью до изоморфизма) расщепляемую вещественную алгебру Ли, которая также является полупростой и простой тогда и только тогда, когда таковой является комплексная алгебра Ли. ^[5]

Для реальных полупростых алгебр Ли расщепляемые алгебры Ли противоположны компактным алгебрам Ли - соответствующая группа Ли «насколько это возможно» от компактности.

Примеры

Расщепляемые вещественные формы комплексных полупростых алгебр Ли: ^[6]

$A_{n},{\mathfrak {sl}}_{n+1}(\mathbf {C} ):{\mathfrak {sl}}_{n+1}(\mathbf {R} )$
$B_{n},{\mathfrak {so}}_{2n+1}(\mathbf {C} ):{\mathfrak {so}}_{n,n+1}(\mathbf {R} )$
$C_{n},{\mathfrak {sp}}_{n}(\mathbf {C} ):{\mathfrak {sp}}_{n}(\mathbf {R} )$
$D_{n},{\mathfrak {so}}_{2n}(\mathbf {C} ):{\mathfrak {so}}_{n,n}(\mathbf {R} )$
Исключительные алгебры Ли: $E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}$ имеют расщепленные вещественные формы E I, E V, E VIII, F I, G .

Это алгебры Ли расщепляемых вещественных групп комплексных групп Ли.

Обратите внимание, что для ${\mathfrak {sl}}$ и ${\mathfrak {sp}}$ вещественная форма — это вещественные точки (алгебры Ли) той же алгебраической группы , а для ${\mathfrak {so}}$ необходимо использовать расщепляемые формы (максимально неопределенного индекса), так как группа SO компактна.

См. также

Ссылки

^ ( Бурбаки 2005 , Глава VIII, Раздел 2: Корневая система расщепленной полупростой алгебры Ли, стр. 77 )
^ ( Бурбаки 2005 , Глава VIII, Раздел 2: Корневая система расщепленной полупростой алгебры Ли, Упражнение 2, стр . 77 )
^ ( Бурбаки 2005 , Глава VIII, Раздел 2: Корневая система расщепленной полупростой алгебры Ли, Упражнение 2 b стр. 77 )
^ ( Онищик и Винберг 1994 , стр. 157)
^ ( Онищик и Винберг 1994 , Теорема 4.4 , стр. 158)
^ ( Онищик и Винберг 1994 , стр. 158)

Бурбаки, Николя (2005), «VIII: разделенные полупростые алгебры Ли» , Элементы математики: группы Ли и алгебры Ли: главы 7–9 , Springer, ISBN 978-3-540-43405-4
Онищик А.Л.; Винберг, Эрнест Борисович (1994), «4.4: Расщепляемые вещественные полупростые алгебры Ли» , Группы Ли и алгебры Ли III: структура групп Ли и алгебр Ли , Springer, стр. 157–158, ISBN 978-3-540-54683-2

[1] ( Бурбаки 2005 , Глава VIII, Раздел 2: Корневая система расщепленной полупростой алгебры Ли, стр. 77 )

[2] ( Бурбаки 2005 , Глава VIII, Раздел 2: Корневая система расщепленной полупростой алгебры Ли, Упражнение 2, стр . 77 )

[3] ( Бурбаки 2005 , Глава VIII, Раздел 2: Корневая система расщепленной полупростой алгебры Ли, Упражнение 2 b стр. 77 )

[4] ( Онищик и Винберг 1994 , стр. 157)

[5] ( Онищик и Винберг 1994 , Теорема 4.4 , стр. 158)

[6] ( Онищик и Винберг 1994 , стр. 158)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]