Группа Вейля

В математике , в частности в теории алгебр Ли , группа Вейля (названная в честь Германа Вейля ) корневой системы Φ является подгруппой этой группы изометрий корневой системы. В частности, это подгруппа, которая порождается отражениями через гиперплоскости, ортогональные корням , и как таковая является конечной группой отражений . Фактически оказывается, что большинство конечных групп отражений являются группами Вейля. Абстрактно группы Вейля являются конечными группами Кокстера и являются их важными примерами.

Группа Вейля полупростой группы Ли , полупростой алгебры Ли , полупростой линейной алгебраической группы и т. д. является группой Вейля корневой системы этой группы или алгебры .

Определение и примеры

Группа Вейля $A_{2}$ корневая система - группа симметрии равностороннего треугольника

Позволять $\Phi$ быть корневой системой в евклидовом пространстве $V$. Для каждого корня $\alpha \in \Phi$, позволять $s_{\alpha }$ обозначим отражение относительно гиперплоскости, перпендикулярной $\alpha$, что явно выражено как

$s_{\alpha }(v)=v-2{\frac {(v,\alpha )}{(\alpha ,\alpha )}}\alpha$,

где $(\cdot ,\cdot )$ является внутренним продуктом на $V$. Группа Вейля $W$ из $\Phi$ является подгруппой ортогональной группы $O(V)$ созданный всеми $s_{\alpha }$х. По определению корневой системы, каждая $s_{\alpha }$ сохраняет $\Phi$, откуда следует, что $W$ является конечной группой.

В случае $A_{2}$ корневая система, например, гиперплоскости, перпендикулярные корням, представляют собой просто линии, а группа Вейля — это группа симметрии равностороннего треугольника, как указано на рисунке. Как группа, $W$ изоморфна группе перестановок трех элементов, которые мы можем рассматривать как вершины треугольника. Обратите внимание, что в этом случае $W$ не является полной группой симметрии корневой системы; поворот на 60 градусов сохраняет $\Phi$ но не является элементом $W$.

Мы можем рассмотреть также $A_{n}$ корневая система. В этом случае, $V$ пространство всех векторов в $\mathbb {R} ^{n+1}$ сумма записей которых равна нулю. Корни состоят из векторов вида $e_{i}-e_{j},\,i\neq j$, где $e_{i}$ это $i$стандартный базовый элемент для $\mathbb {R} ^{n+1}$. Отражением, связанным с таким корнем, является преобразование $V$ полученный путем замены $i$й и $j$th записей каждого вектора. Группа Вейля для $A_{n}$ тогда группа перестановок на $n+1$ элементы.

Камеры Вейля

Смотрите также: группа Кокстера § Аффинные группы Кокстера

Заштрихованная область представляет собой основную камеру Вейля для основания. $\{\alpha _{1},\alpha _{2}\}$

Если $\Phi \subset V$ является корневой системой, мы можем рассматривать гиперплоскость, перпендикулярную каждому корню $\alpha$. Напомним, что $s_{\alpha }$ обозначает отражение относительно гиперплоскости и что группа Вейля — это группа преобразований $V$ созданный всеми $s_{\alpha }$х. Дополнение множества гиперплоскостей несвязно, и каждая компонента связности называется камерой Вейля . Если мы зафиксировали определенный набор простых корней ∆, мы можем определить фундаментальную камеру Вейля, связанную с ∆, как набор точек $v\in V$ такой, что $(\alpha ,v)>0$ для всех $\alpha \in \Delta$.

Поскольку размышления $s_{\alpha },\,\alpha \in \Phi$ сохранять $\Phi$, они также сохраняют множество гиперплоскостей, перпендикулярных корням. Таким образом, каждый элемент группы Вейля переставляет местами камеры Вейля.

На рисунке показан случай корневой системы А2. «Гиперплоскости» (в данном случае одномерные), ортогональные корням, обозначены пунктирными линиями. Шесть секторов по 60 градусов представляют собой камеры Вейля, а заштрихованная область — это основная камера Вейля, связанная с указанным основанием.

Основная общая теорема о камерах Вейля такова:

Теорема : Группа Вейля действует свободно и транзитивно в камерах Вейля. Таким образом, порядок группы Вейля равен числу камер Вейля.

Связанный результат:

Теорема : Зафиксируйте камеру Вейля. $C$. Тогда для всех $v\in V$, орбита Вейля $v$ содержит ровно одну точку замыкания ${\bar {C}}$ из $C$.

Структура группы Коксетера

Генераторная установка

Ключевой результат о группе Вейля таков:

Теорема : Если $\Delta$ является основой для $\Phi$, то группа Вейля порождается отражениями $s_{\alpha }$ с $\alpha$ в $\Delta$.

То есть группа, порожденная размышлениями $s_{\alpha },\,\alpha \in \Delta ,$ то же самое, что группа, порожденная отражениями $s_{\alpha },\,\alpha \in \Phi$.

Отношения

Между тем, если $\alpha$ и $\beta$ находятся в $\Delta$, то диаграмма Дынкина для $\Phi$ относительно базы $\Delta$ рассказывает нам кое-что о том, как пара $\{s_{\alpha },s_{\beta }\}$ ведет себя. В частности, предположим $v$ и $v'$ — соответствующие вершины диаграммы Дынкина. Тогда мы имеем следующие результаты:

• Если нет связи между $v$ и $v'$, затем $s_{\alpha }$ и $s_{\beta }$ добираться. С $s_{\alpha }$ и $s_{\beta }$ каждый имеет второй порядок, это эквивалентно тому, что $(s_{\alpha }s_{\beta })^{2}=1$.
• Если между $v$ и $v'$, затем $(s_{\alpha }s_{\beta })^{3}=1$.
• Если между ними имеются две связи $v$ и $v'$, затем $(s_{\alpha }s_{\beta })^{4}=1$.
• Если между $v$ и $v'$, затем $(s_{\alpha }s_{\beta })^{6}=1$.

Предыдущее утверждение нетрудно проверить, если мы просто вспомним, что говорит нам диаграмма Дынкина об угле между каждой парой корней. Если, например, между двумя вершинами нет связи, то $\alpha$ и $\beta$ ортогональны, откуда легко следует, что соответствующие отражения коммутируют. В более общем смысле количество связей определяет угол $\theta$ между корнями. Тогда продукт двух отражений представляет собой поворот на угол. $2\theta$ в плоскости, охватываемой $\alpha$ и $\beta$, как может убедиться читатель, из чего легко следует приведенное выше утверждение.

Как группа Кокстера

Группы Вейля являются примерами конечных групп отражений, поскольку они порождены отражениями; абстрактные группы (не рассматриваемые как подгруппы линейной группы) соответственно являются конечными группами Кокстера , что позволяет их классифицировать по диаграмме Кокстера-Дынкина . Быть группой Кокстера означает, что группа Вейля имеет особый вид представления , в котором каждый генератор x _i имеет второй порядок, а отношения, отличные от x _i ² =1 имеют вид ( x _i x _j ) ^m_я =1. Генерирующими являются отражения, заданные простыми корнями, а m _ij равен 2, 3, 4 или 6 в зависимости от того, составляют ли корни i и j угол 90, 120, 135 или 150 градусов, т. е. в диаграмме Дынкина они не связаны, соединены простым ребром, соединены двойным ребром или соединены тройным ребром. Мы уже отметили эти отношения в пунктах выше, но сказать, что $W$ является группой Кокстера, мы говорим, что это единственные отношения в $W$.

группы Вейля имеют Брюа функцию порядка и длины В терминах этого представления : длина элемента группы Вейля — это длина кратчайшего слова, представляющего этот элемент в терминах этих стандартных генераторов. Существует единственный самый длинный элемент группы Кокстера , противоположный единице в порядке Брюа.

Группы Вейля в алгебраических, теоретико-групповых и геометрических установках

Выше группа Вейля была определена как подгруппа группы изометрии корневой системы. Существуют также различные определения групп Вейля, специфичные для различных теоретико-групповых и геометрических контекстов ( алгебра Ли , группа Ли , симметрическое пространство и т. д.). Для каждого из этих способов определения групп Вейля существует (обычно нетривиальная) теорема о том, что это группа Вейля в смысле определения, приведенного в начале этой статьи, а именно группа Вейля некоторой корневой системы, связанной с объектом. Конкретная реализация такой группы Вейля обычно зависит от выбора – например, подалгебры Картана для алгебры Ли или максимального тора для группы Ли.

Группа Вейля связной компактной группы Ли

Позволять $K$ — связная компактная группа Ли и пусть $T$ быть максимальным тором в $K$. Затем мы нормализатор вводим $T$ в $K$, обозначенный $N(T)$ и определяется как

$N(T)=\{x\in K|xtx^{-1}\in T,\,{\text{for all }}t\in T\}$.

Определим централизатор также $T$ в $K$, обозначенный $Z(T)$ и определяется как

$Z(T)=\{x\in K|xtx^{-1}=t\,{\text{for all }}t\in T\}$.

Группа Вейля $W$ из $K$ (относительно заданного максимального тора $T$) тогда первоначально определяется как

$W=N(T)/T$.

В конце концов, человек доказывает, что $Z(T)=T$, в этот момент появляется альтернативное описание группы Вейля как

$W=N(T)/Z(T)$.

Теперь можно определить корневую систему $\Phi$ связанный с парой $(K,T)$; корни — это ненулевые веса присоединенного действия $T$ на алгебре Ли $K$. Для каждого $\alpha \in \Phi$, можно построить элемент $x_{\alpha }$ из $N(T)$ чьи действия на $T$ имеет форму отражения. Приложив немного больше усилий, можно показать, что эти отражения порождают все $N(T)/Z(T)$. Таким образом, в конечном итоге группа Вейля, определенная как $N(T)/T$ или $N(T)/Z(T)$ изоморфна группе Вейля корневой системы $\Phi$.

В других настройках

Для сложной полупростой алгебры Ли группа Вейля просто определяется как группа отражений, порожденная отражениями в корнях – конкретная реализация корневой системы, зависящая от выбора подалгебры Картана .

Для группы Ли G, удовлетворяющей определенным условиям, для тора T < G ) группа Вейля относительно фактор нормализатора тора N = N ( T ) = NG _{этого тора определяется как} ( T ) по централизатору (который не обязательно должен быть максимальным тор Z = Z ( T ) = Z _G ( T ),

$W(T,G):=N(T)/Z(T).\$

Группа W конечна – имеет конечный индекс в N. Z Если T = T ₀ — максимальный тор (поэтому он равен своему централизатору: $Z(T_{0})=T_{0}$), то полученное частное N / Z = N / T называется группой Вейля группы G и обозначается W ( G ). Обратите внимание, что конкретный фактормножество зависит от выбора максимального тора , но все полученные группы изоморфны (в силу внутреннего автоморфизма G ), поскольку максимальные торы сопряжены.

Если G компактна и связна, а T — максимальный тор, то группа Вейля группы G изоморфна группе Вейля ее алгебры Ли, как обсуждалось выше.

Например, для общей линейной группы GL максимальным тором является подгруппа D обратимых диагональных матриц, нормализатором которой являются обобщенные матрицы перестановок (матрицы в виде матриц перестановок , но с любыми ненулевыми числами вместо ' 1-е), и чья группа Вейля является симметрической группой . В этом случае фактор-отображение N → N / T расщепляется (через матрицы перестановок), поэтому нормализатор N является полупрямым произведением тора и группы Вейля, а группа Вейля может быть выражена как подгруппа G . это не всегда так: фактор не всегда расщепляется, нормализатор N не всегда является полупрямым произведением W В общем , и Z, а группа Вейля не всегда может быть реализована как подгруппа G.

Разложение Брюа

Дополнительная информация: разложение Брюа.

Если B — борелевская подгруппа группы G , т. е. максимальная связная разрешимая максимальный тор T = T ₀ подгруппа и выбран , лежащий в B , то мы получаем разложение Брюа

$G=\bigcup _{w\in W}BwB$

что приводит к разложению многообразия флагов G / B на клетки Шуберта (см. Грассманиан ).

Структура диаграммы Хассе группы геометрически связана с когомологиями многообразия (вернее, действительных и комплексных форм группы), которые ограничены двойственностью Пуанкаре . Таким образом, алгебраические свойства группы Вейля соответствуют общим топологическим свойствам многообразий. Например, двойственность Пуанкаре дает пару между клетками в измерении k и в измерении n - k (где n - размерность многообразия): нижняя (0) размерная ячейка соответствует единичному элементу группы Вейля, а двойственная ячейка верхнего измерения соответствует самому длинному элементу группы Кокстера .

Аналогия с алгебраическими группами

Основная статья: q-аналог

См. также: Поле с одним элементом.

Существует ряд аналогий между алгебраическими группами и группами Вейля – например, число элементов симметрической группы равно n !, а число элементов общей линейной группы над конечным полем связано с q -факториалом. $[n]_{q}!$; таким образом, симметричная группа ведет себя так, как если бы она была линейной группой над «полем с одним элементом». Это формализуется полем с одним элементом , которое рассматривает группы Вейля как простые алгебраические группы над полем с одним элементом.

Когомологии

Для неабелевой связной компактной группы Ли G первые групповые когомологии группы Вейля W с коэффициентами в максимальном торе T, используемые для ее определения, связана с внешней группой автоморфизмов нормализатора $N=N_{G}(T),$ как:

$\operatorname {Out} (N)\cong H^{1}(W;T)\rtimes \operatorname {Out} (G).$

Внешние автоморфизмы группы Out( G ) по существу являются диаграммными автоморфизмами диаграммы Дынкина , тогда как групповые когомологии вычислены в Hämmerli, Matthey & Suter 2004 и являются конечной элементарной абелевой 2-группой ( $(\mathbf {Z} /2)^{k}$); для простых групп Ли он имеет порядок 1, 2 или 4. Когомологии 0-й и 2-й групп также тесно связаны с нормализатором.

См. также

• Аффинная группа Вейля
• Полупростая алгебра Ли # Подалгебры Картана и системы корней
• Максимальный тор
• Система корней полупростой алгебры Ли
• Диаграмма Хассе

Ссылки

• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN  978-3-319-13466-6
• Хяммерли, Ж.-Ф.; Мэтти, М.; Сутер, У. (2004), «Автоморфизмы нормализаторов максимальных торов и первые когомологии групп Вейля» (PDF) , Journal of Lie Theory , 14 , Heldermann Verlag: 583–617, Zbl   1092.22004
• Хамфрис, Джеймс Э. (1992) [1990], Группы отражения и группы Кокстера , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 29, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-43613-7 , Збл   0725.20028
• Попов, В.Л. ; Феденко А.С. (2001) [1994], «Группа Вейля» , Энциклопедия Математики , EMS Press

Дальнейшее чтение

• Бурбаки, Николя (2002), Группы Ли и алгебры Ли: главы 4–6 , Элементы математики, Springer, ISBN  978-3-540-42650-9 , Збл   0983.17001
• Бьёрнер, Андерс ; Бренти, Франческо (2005), Комбинаторика групп Кокстера , Тексты для аспирантов по математике , том. 231, Спрингер, ISBN  978-3-540-27596-1 , Збл   1110.05001
• Коксетер, HSM (1934), «Дискретные группы, порожденные отражениями», Ann. математики. , 35 (3): 588–621, CiteSeerX   10.1.1.128.471 , doi : 10.2307/1968753 , JSTOR   1968753
• Коксетер, HSM (1935), «Полное перечисление конечных групп вида $r_{i}^{2}=(r_{i}r_{j})^{k_{ij}}=1$", J. London Math. Soc. , 1, 10 (1): 21–25, doi : 10.1112/jlms/s1-10.37.21
• Дэвис, Майкл В. (2007), Геометрия и топология групп Кокстера (PDF) , Princeton University Press, ISBN  978-0-691-13138-2 , Збл   1142.20020
• Гроув, Ларри К.; Бенсон, Кларк Т. (1985), Группы конечного отражения , Тексты для аспирантов по математике, том. 99, Спрингер, ISBN  978-0-387-96082-1
• Хиллер, Ховард (1982), Геометрия групп Кокстера , Исследовательские заметки по математике, том. 54, Питмэн, ISBN  978-0-273-08517-1 , Збл   0483.57002
• Хоулетт, Роберт Б. (1988), «О множителях Шура групп Кокстера», J. London Math. Соц. , 2, 38 (2): 263–276, doi : 10.1112/jlms/s2-38.2.263 , Збл   0627.20019
• Ихара, С.; Йоконума, Такео (1965), «О вторых группах когомологий (мультипликаторах Шура) конечных групп отражений» (PDF) , J. Fac. наук. унив. Токио, разд. 1 , 11 : 155–171, Збл   0136,28802
• Кейн, Ричард (2001), Группы отражения и теория инвариантов , Книги CMS по математике, Springer, ISBN  978-0-387-98979-2 , Збл   0986.20038
• Кнапп, Энтони В. (2002), Группы Ли: помимо введения , Progress in Mathematics, vol. 140 (2-е изд.), Биркхойзер, ISBN  978-0-8176-4259-4
• Винберг, Е.Б. (1984), "Отсутствие кристаллографических групп отражений в пространствах Лобачевского большой размерности", Тр. Моск. Мат. Обще. , 47
• Йоконума, Такео (1965), «О вторых группах когомологий (мультипликаторах Шура) бесконечных дискретных групп отражений», J. Fac. наук. унив. Токио, разд. 1 , 11 : 173–186, hdl : 2261/6049 , Збл   0136.28803

Внешние ссылки

• «Группа Кокстера» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Группа Кокстера» . Математический мир .
• Программное обеспечение Jenn для визуализации графов Кэли конечных групп Кокстера с числом генераторов до четырех