Этот тест по подалгебре

В математике , подалгебра Картана часто сокращенно CSA , является нильпотентной подалгеброй. ${\mathfrak {h}}$ алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ то есть самонормализующийся (если $[X,Y]\in {\mathfrak {h}}$ для всех $X\in {\mathfrak {h}}$ , затем $Y\in {\mathfrak {h}}$ ). Они были представлены Эли Картаном в его докторской диссертации. Он управляет теорией представлений полупростой алгебры Ли. ${\mathfrak {g}}$ по полю характеристики $0$ .

В конечномерной полупростой алгебре Ли над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики (например, $\mathbb {C}$ ), подалгебра Картана — это то же самое, что максимальная абелева подалгебра, состоящая из элементов x таких, что присоединенный эндоморфизм $\operatorname {ad} (x):{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ является полупростым (т. е. диагонализируемым ). Иногда эту характеристику принимают просто за определение картановской подалгебры. ^[1]^{стр. 231}

Вообще говоря, подалгебра называется торической, если она состоит из полупростых элементов. Над алгебраически замкнутым полем торическая подалгебра автоматически абелева. Таким образом, над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики картановскую подалгебру можно определить и как максимальную торическую подалгебру.

Алгебры Каца–Муди и обобщенные алгебры Каца–Муди также имеют подалгебры, играющие ту же роль, что и подалгебры Картана полупростых алгебр Ли (над полем нулевой характеристики).

Существование и уникальность

Подалгебры Картана существуют для конечномерных алгебр Ли всякий раз, когда базовое поле бесконечно. Один из способов построить подалгебру Картана — использовать регулярный элемент . Над конечным полем вопрос о существовании остается открытым. ^{[ нужна ссылка ]}

Для конечномерной полупростой алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики существует более простой подход: по определению торическая подалгебра является подалгеброй ${\mathfrak {g}}$ состоящий из полупростых элементов (элемент называется полупростым, если присоединенный эндоморфизм индуцированный им диагонализуем ). Картановская подалгебра ${\mathfrak {g}}$ тогда это то же самое, что максимальная торическая подалгебра, и существование максимальной торической подалгебры легко увидеть.

В конечномерной алгебре Ли над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики все подалгебры Картана сопряжены относительно автоморфизмов алгебры и, в частности, все изоморфны . Общая размерность подалгебры Картана называется тогда рангом алгебры.

Для конечномерной комплексной полупростой алгебры Ли существование подалгебры Картана установить гораздо проще, если предположить существование компактной вещественной формы. ^[2] В этом случае ${\mathfrak {h}}$ можно рассматривать как комплексификацию алгебры Ли максимального тора компактной группы.

Если ${\mathfrak {g}}$ — линейная алгебра Ли (подалгебра Ли алгебры Ли эндоморфизмов конечномерного векторного пространства V ) над алгебраически замкнутым полем, то любая подалгебра Картана в ${\mathfrak {g}}$ является централизатором максимальной торической подалгебры в ${\mathfrak {g}}$ . ^{[ нужна ссылка ]} Если ${\mathfrak {g}}$ полупроста и поле имеет нулевую характеристику, то максимальная торическая подалгебра самонормализуется и, следовательно, равна соответствующей подалгебре Картана. Если вдобавок ${\mathfrak {g}}$ полупросто, то присоединенное представление представляет собой ${\mathfrak {g}}$ как линейная алгебра Ли, так что подалгебра ${\mathfrak {g}}$ картановская тогда и только тогда, когда она является максимальной торической подалгеброй.

Примеры

Любая нильпотентная алгебра Ли является собственной подалгеброй Картана.
Подалгебра Картана ${\mathfrak {gl}}_{n}$ , алгебра Ли $n\times n$ матриц над полем — алгебра всех диагональных матриц. ^{[ нужна ссылка ]}
Для специальной алгебры Ли бесследовых $n\times n$ матрицы ${\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {C} )$ , она имеет подалгебру Картана ${\mathfrak {h}}=\left\{d(a_{1},\ldots ,a_{n})\mid a_{i}\in \mathbb {C} {\text{ and }}\sum _{i=1}^{n}a_{i}=0\right\}$ где $d(a_{1},\ldots ,a_{n})={\begin{pmatrix}a_{1}&0&\cdots &0\\0&\ddots &&0\\\vdots &&\ddots &\vdots \\0&\cdots &\cdots &a_{n}\end{pmatrix}}$ Например, в ${\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {C} )$ подалгебра Картана - это подалгебра матриц ${\mathfrak {h}}=\left\{{\begin{pmatrix}a&0\\0&-a\end{pmatrix}}:a\in \mathbb {C} \right\}$ со скобкой Ли, заданной матричным коммутатором.
Алгебра Ли ${\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {R} )$ из $2$ к $2$ матрицы следов $0$ имеет две несопряженные Картановские подалгебры. ^{[ нужна ссылка ]}
Размерность картановской подалгебры, вообще говоря, не является максимальной размерностью абелевой подалгебры, даже для сложных простых алгебр Ли. Например, алгебра Ли ${\mathfrak {sl}}_{2n}(\mathbb {C} )$ из $2n$ к $2n$ матрицы следов $0$ имеет картановскую подалгебру ранга $2n-1$ но имеет максимальную абелеву подалгебру размерности $n^{2}$ состоящая из всех матриц вида ${\begin{pmatrix}0&A\\0&0\end{pmatrix}}$ с $A$ любой $n$ к $n$ матрица. Непосредственно видно, что эта абелева подалгебра не является подалгеброй Картана, поскольку она содержится в нильпотентной алгебре строго верхнетреугольных матриц (или поскольку она нормируется диагональными матрицами).

Картановские подалгебры полупростых алгебр Ли

Для конечномерной полупростой алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 подалгебра Картана ${\mathfrak {h}}$ имеет следующие свойства:

${\mathfrak {h}}$ является абелевым ,
Для присоединенного представления $\operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})$ , изображение $\operatorname {ad} ({\mathfrak {h}})$ состоит из полупростых операторов (т. е. диагонализируемых матриц).

(Как отмечалось ранее, подалгебру Картана на самом деле можно охарактеризовать как подалгебру, максимальную среди подалгебр, обладающих двумя вышеуказанными свойствами.)

Эти два свойства говорят, что операторы в $\operatorname {ad} ({\mathfrak {h}})$ одновременно диагонализуемы и существует разложение в прямую сумму ${\mathfrak {g}}$ как

{\mathfrak {g}}=\bigoplus _{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}{\mathfrak {g}}_{\lambda }

где

{\mathfrak {g}}_{\lambda }=\{x\in {\mathfrak {g}}:{\text{ad}}(h)x=\lambda (h)x,{\text{ for }}h\in {\mathfrak {h}}\}

.

Позволять $\Phi =\{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}\setminus \{0\}|{\mathfrak {g}}_{\lambda }\neq \{0\}\}$ . Затем $\Phi$ представляет собой корневую систему и, кроме того, ${\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {h}}$ ; то есть централизатор ${\mathfrak {h}}$ совпадает с ${\mathfrak {h}}$ . Тогда приведенное выше разложение можно записать как:

{\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \left(\bigoplus _{\lambda \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\lambda }\right)

Как оказалось, для каждого $\lambda \in \Phi$ , ${\mathfrak {g}}_{\lambda }$ имеет размерность один и поэтому:

\dim {\mathfrak {g}}=\dim {\mathfrak {h}}+\#\Phi

.

См. также Полупростую алгебру Ли#Структура для получения дополнительной информации.

Разложение представлений с двойственной подалгеброй Картана

Дана алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ по полю характеристики $0$ , ^{[ нужны разъяснения ]} и представление алгебры Ли $\sigma :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)$ существует разложение, связанное с разложением алгебры Ли по ее подалгебре Картана. Если мы установим $V_{\lambda }=\{v\in V:(\sigma (h))(v)=\lambda (h)v{\text{ for }}h\in {\mathfrak {h}}\}$ с $\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}$ , называемое весовым пространством для веса $\lambda$ , происходит разложение представления в терминах этих весовых пространств $V=\bigoplus _{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}V_{\lambda }$ Кроме того, всякий раз, когда $V_{\lambda }\neq \{0\}$ мы звоним $\lambda$ вес ${\mathfrak {g}}$ -представительство $V$ .

Классификация неприводимых представлений с использованием весов

Но оказывается, что эти веса можно использовать для классификации неприводимых представлений алгебры Ли. ${\mathfrak {g}}$ . Для конечномерного неприводимого ${\mathfrak {g}}$ -представительство $V$ , существует уникальный вес $\lambda \in \Phi$ в отношении частичного заказа на ${\mathfrak {h}}^{*}$ . Более того, учитывая $\lambda \in \Phi$ такой, что $\langle \alpha ,\lambda \rangle \in \mathbb {N}$ для каждого положительного корня $\alpha \in \Phi ^{+}$ , существует единственное неприводимое представление $L^{+}(\lambda )$ . Это означает, что корневая система $\Phi$ содержит всю информацию о теории представлений ${\mathfrak {g}}$ . ^[1]^{стр. 240}

Расщепление подалгебры Картана

Над неалгебраически замкнутыми полями не все подалгебры Картана сопряжены. Важным классом являются расщепляющиеся подалгебры Картана : если алгебра Ли допускает расщепляющую подалгебру Картана ${\mathfrak {h}}$ тогда она называется расщепляемой, а пара $({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})$ называется расщепляемой алгеброй Ли ; над алгебраически замкнутым полем всякая полупростая алгебра Ли расщепима. Любые две расщепляющиеся алгебры Картана сопряжены и выполняют ту же функцию, что и алгебры Картана в полупростых алгебрах Ли над алгебраически замкнутыми полями, поэтому расщепляемые полупростые алгебры Ли (действительно, расщепляемые редуктивные алгебры Ли) имеют много общих свойств с полупростыми алгебрами Ли над алгебраически замкнутыми полями. .

Однако над неалгебраически замкнутым полем не всякая полупростая алгебра Ли расщепима.

Картановая подгруппа

Подгруппа Картана группы Ли — это одна из подгрупп, алгебра Ли которой является подалгеброй Картана. Единичная компонента подгруппы имеет одну и ту же алгебру Ли. Не существует стандартного соглашения, согласно которому одна из подгрупп с этим свойством называется подгруппой Картана, особенно в случае несвязных групп. Подгруппа Картана группы компактной связной Ли — это максимальная связная абелева подгруппа ( максимальный тор ). Ее алгебра Ли является подалгеброй Картана.

Для несвязных компактных групп Ли существует несколько неэквивалентных определений подгруппы Картана. Наиболее распространенной, кажется, является предложенная Дэвидом Воганом , который определяет подгруппу Картана как группу элементов, которые нормализуют фиксированный максимальный тор и фиксируют фундаментальную камеру Вейля . Иногда ее называют большой подгруппой Картана . Существует также небольшая подгруппа Картана , определяемая как централизатор максимального тора. Эти картановские подгруппы вообще не обязательно должны быть абелевыми.

Примеры картановских подгрупп

Подгруппа в GL ₂ ( R ), состоящая из диагональных матриц.

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Хотта, Р. (Рёши) (2008). D-модули, перверсивные пучки и теория представлений . Такеучи, Киёси, 1967-, Танисаки, Тосиюки, 1955- (английское издание). Бостон: Биркхойзер. ISBN 978-0-8176-4363-8 . OCLC 316693861 .
↑ Зал 2015, Глава 7.

Примечания

Ссылки

Борель, Арманд (1991), Линейные алгебраические группы , Тексты для аспирантов по математике , вып. 126 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97370-8 , МР 1102012
Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN 978-3319134666
Джейкобсон, Натан (1979), Алгебры Ли , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-63832-4 , МР 0559927
Хамфрис, Джеймс Э. (1972), Введение в алгебры Ли и теорию представлений , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90053-7
Попов, В.Л. (2001) [1994], «Подалгебра Картана» , Энциклопедия Математики , EMS Press
Энтони Уильям Кнапп; Дэвид А. Воган (1995). Когомологическая индукция и унитарные представления . ISBN 978-0-691-03756-1 .

[:0-1] Jump up to: ^а ^б Хотта, Р. (Рёши) (2008). D-модули, перверсивные пучки и теория представлений . Такеучи, Киёси, 1967-, Танисаки, Тосиюки, 1955- (английское издание). Бостон: Биркхойзер. ISBN 978-0-8176-4363-8 . OCLC 316693861 .

[2] Зал 2015, Глава 7.

[1]

[2]