Центратор и нормализатор

В математике , особенно в теории групп , централизатор (также называемый коммутантом) ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}) подмножества S в группе G — это множество $\operatorname {C} _{G}(S)$ элементов G , которые коммутируют с каждым элементом S или, что то же самое, такие, что сопряжение с помощью $g$ оставляет каждый элемент S фиксированным. Нормализатор S — в G это набор элементов $\mathrm {N} _{G}(S)$ группы G , удовлетворяющие более слабому условию выхода из множества $S\subseteq G$ фиксируется при конъюгации. Централизатор и нормализатор S являются подгруппами группы G. группы Многие методы теории групп основаны на изучении централизаторов и нормализаторов подходящих S. подмножеств

При соответствующей формулировке определения применимы и к полугруппам .

В теории колец централизатор подмножества кольца определяется относительно полугрупповой операции (умножения) кольца. Централизатор подмножества кольца R является подкольцом кольца R . В этой статье также рассматриваются централизаторы и нормализаторы в алгебре Ли .

Идеализатор . в полугруппе или кольце — это еще одна конструкция, построенная в том же духе, что и централизатор и нормализатор

Определения

Группа и полугруппа

Централизатор подмножества S определяется группы (или полугруппы) G как ^{[ 3 ]}

\mathrm {C} _{G}(S)=\left\{g\in G\mid gs=sg{\text{ for all }}s\in S\right\}=\left\{g\in G\mid gsg^{-1}=s{\text{ for all }}s\in S\right\},

где к полугруппам применимо только первое определение. Если нет никакой двусмысленности в отношении рассматриваемой группы, букву G можно исключить из обозначения. Когда S = { a } является одноэлементным множеством, мы пишем C _G ( a ) вместо C _G ({ a }). Другое менее распространенное обозначение централизатора — Z( a ), которое аналогично обозначению центра . С этим последним обозначением нужно быть осторожным, чтобы избежать путаницы между группы G , Z( G ), и централизатором элемента g центром в G , Z( g ).

Нормализатор G S определяется группе (или полугруппе) в как

\mathrm {N} _{G}(S)=\left\{g\in G\mid gS=Sg\right\}=\left\{g\in G\mid gSg^{-1}=S\right\},

где опять же к полугруппам применимо только первое определение. Если набор $S$ является подгруппой $G$ , то нормализатор $N_{G}(S)$ является самой крупной подгруппой $G'\subseteq G$ где $S$ является нормальной подгруппой $G'$ . Определения централизатора и нормализатора схожи, но не идентичны. Если g находится в централизаторе S , а s находится в S , то должно быть, что gs = sg , но если g находится в нормализаторе, то gs = tg для некоторого t в S , причем t , возможно, отличается от s . То есть элементы централизатора S должны поточечно коммутировать с S , но элементы нормализатора S должны коммутировать только с S как с множеством . Те же соглашения об обозначениях, упомянутые выше для централизаторов, также применимы и к нормализаторам. Нормализатор не следует путать с нормальным замыканием .

Четко $C_{G}(S)\subseteq N_{G}(S)$ и обе являются подгруппами $G$ .

Кольцо, алгебра над полем, кольцо Ли и алгебра Ли

Если R — кольцо или алгебра над полем , а S подмножество R , то централизатор S точно такой, как определено для групп, с R вместо G. —

Если ${\mathfrak {L}}$ — алгебра Ли (или кольцо Ли ) с произведением Ли [ x , y ], то централизатор подмножества S из ${\mathfrak {L}}$ определяется как ^{[ 4 ]}

\mathrm {C} _{\mathfrak {L}}(S)=\{x\in {\mathfrak {L}}\mid [x,s]=0{\text{ for all }}s\in S\}.

Определение централизаторов колец Ли связано с определением колец следующим образом. Если R — ассоциативное кольцо, то R можно задать скобочное произведение [ x , y ] = xy − yx . Конечно, тогда xy = yx тогда и только тогда, когда [ x , y ] = 0 . Если мы обозначим множество R со скобочным произведением как L _R , то очевидно, что централизатор S кольцевой в R равен кольцевому централизатору Ли S в L _R .

Нормализатор подмножества S алгебры Ли (или кольца Ли) ${\mathfrak {L}}$ дается ^{[ 4 ]}

\mathrm {N} _{\mathfrak {L}}(S)=\{x\in {\mathfrak {L}}\mid [x,s]\in S{\text{ for all }}s\in S\}.

Хотя это стандартное использование термина «нормализатор» в алгебре Ли, на самом деле эта конструкция является идеализатором множества S в ${\mathfrak {L}}$ . Если S — аддитивная подгруппа группы ${\mathfrak {L}}$ , затем $\mathrm {N} _{\mathfrak {L}}(S)$ — наибольшее подкольцо Ли (или подалгебра Ли, в зависимости от обстоятельств), в котором S Ли — идеал . ^{[ 5 ]}

Пример

Рассмотрим группу

G=S_{3}=\{[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]\}

(симметричная группа перестановок трех элементов).

Возьмем подмножество H группы G:

H=\{[1,2,3],[1,3,2]\}.

Обратите внимание, что [1, 2, 3] — это тождественная перестановка в G, сохраняющая порядок каждого элемента, а [1, 3, 2] — это перестановка, которая фиксирует первый элемент и меняет местами второй и третий элементы.

Нормализатором H относительно группы G являются все элементы G, которые дают набор H (потенциально перестановочный) при применении групповой операции. Разработка примера для каждого элемента G:

[1,2,3]

применительно к H =>

\{[1,2,3],[1,3,2]\}=H

; следовательно, [1, 2, 3] находится в нормализаторе (H) относительно G.

[1,3,2]

применительно к H =>

\{[1,3,2],[1,2,3]\}=H

; следовательно, [1, 3, 2] находится в нормализаторе (H) относительно G.

[2,1,3]

применительно к H =>

\{[2,1,3],[3,1,2]\}!=H

; следовательно, [2, 1, 3] не входит в нормализатор (H) относительно G.

[2,3,1]

применительно к H =>

\{[2,3,1],[3,2,1]\}!=H

; следовательно, [2, 3, 1] не входит в нормализатор (H) относительно G.

[3,1,2]

применительно к H =>

\{[3,1,2],[2,1,3]\}!=H

; следовательно, [3, 1, 2] не входит в нормализатор (H) относительно G.

[3,2,1]

применительно к H =>

\{[3,2,1],[2,3,1]\}!=H

; следовательно, [3, 2, 2] не входит в нормализатор (H) относительно G.

Следовательно, нормализатор(H) относительно G равен $\{[1,2,3],[1,3,2]\}$ поскольку оба этих элемента группы сохраняют множество H.

Группа считается простой, если нормализатором по отношению к подмножеству всегда является единица и она сама. Здесь ясно, что S ₃ — непростая группа.

Централизатор группы G — это множество элементов, оставляющих неизменным каждый элемент группы H. Понятно, что единственным таким элементом в S3 _{является} единица [1, 2, 3].

Характеристики

Полугруппы

Позволять $S'$ обозначим централизатор $S$ в полугруппе $A$ ; то есть $S'=\{x\in A\mid sx=xs{\text{ for every }}s\in S\}.$ Затем $S'$ образует подполугруппу и $S'=S'''=S'''''$ ; т.е. коммутант является своим собственным бикоммутантом .

Группы

Источник: ^{[ 6 ]}

Централизатор и нормализатор группы S являются подгруппами G. группы
Очевидно, CG _S ( S ⊆ _NG ( ) ) . Фактически, CG ₍ S ) всегда является нормальной подгруппой в NG ₍ S ) гомоморфизма NG _S ( S ) → Bij( S ) и группы NG ₍ S ) / _CG ( , являясь ядром ) действует сопряжением как группа биекций на S . Например, группа Вейля компактной группы Ли G с тором T определяется как W ( G , T ) = NG ₍ T ) /C _G ( T ) , и особенно, если тор максимальный (т. е. C _G ( T ) = T ) это центральный инструмент теории групп Ли.
CG _CG (CG ₍ S ) ) содержит S , но ₍ S ) обязательно содержит S. не Удержание происходит именно тогда, когда S абелева.
Если H — подгруппа группы G , то _NG ( H содержит H. )
Если H — подгруппа группы G , то наибольшая подгруппа группы G , в которой H нормальна, — это подгруппа NG ₍ H).
Если S — такое подмножество группы G , что все элементы S коммутируют друг с другом, то наибольшая подгруппа группы G , центр которой содержит S, — это подгруппа C _G (S).
Подгруппа H группы G называется самонормализующаяся подгруппа группы G, если N _G ( H ) = H .
Центр группы G — это в точности CG ₍ G), и — абелева группа тогда и только тогда, когда ( _G G) = Z( G ) = G. CG
Для одноэлементных наборов C _G ( a ) = _NG ( a ) .
По симметрии, если S и T — два подмножества G , T ⊆ CG ₍ S ) тогда и только тогда, когда S ⊆ _CG ( T ) .
Для подгруппы H группы G теорема N/C утверждает, что группа NG ₎ ( H /C _G ( H ) изоморфна подгруппе Aut( H ), группе автоморфизмов H. фактор - Поскольку NG _G ( G ) = G и CG _G ( G ) = Z( G ) , из теоремы N/C также следует, что / Z( G ) изоморфна Inn( ) , подгруппе Aut( G ), состоящей из всех автоморфизмов G . внутренних
Если мы определим групповой гомоморфизм T : G → Inn( G ) как T ( x ) ( g ) = T _x ( g ) = xgx ⁻¹, то мы можем описать NG ₍ S ) и CG ₍ S ) в терминах группового действия Inn( G ) на G : стабилизатор S в Inn( G ) есть T ( _NG ( S )), и подгруппа группы Inn( G ), поточечно фиксирующая S , есть T (CG ₍ S ) ).
Подгруппа H группы G называется C-замкнутой или самобикоммутантной, если H = C _G ( S ) для некоторого подмножества S ⊆ G . Если это так, то на самом деле H = C _G (C _G ( H )) .

Кольца и алгебры над полем

Источник: ^{[ 4 ]}

Централизаторами в кольцах и в алгебрах над полем являются соответственно подкольца и подалгебры над полем; Централизаторами в кольцах Ли и в алгебрах Ли являются подкольца и подалгебры Ли соответственно.
Нормализатор S в кольце Ли содержит централизатор S .
CR _, (CR ₍ S ) ) содержит S но не обязательно равен. Теорема о двойном централизаторе касается ситуаций, когда имеет место равенство.
Если S — аддитивная подгруппа кольца Ли A , то NA ₍ S ) — наибольшее подкольцо Ли кольца A, в котором S — идеал Ли.
Если S — подкольцо Ли кольца Ли A , то S ⊆ _NA ( S ) .

См. также

Примечания

^ Кевин О'Мира; Джон Кларк; Чарльз Винсонхалер (2011). Продвинутые темы по линейной алгебре: переплетение матричных задач через форму Вейра . Издательство Оксфордского университета . п. 65. ИСБН 978-0-19-979373-0 .
^ Карл Генрих Хофманн; Сидни А. Моррис (2007). Теория Ли связных пролиевских групп: теория структуры для пролиевых алгебр, пролиевых групп и связных локально компактных групп . Европейское математическое общество . п. 30. ISBN 978-3-03719-032-6 .
^ Джейкобсон (2009), с. 41
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Джейкобсон 1979 , с. 28.
^ Джейкобсон 1979 , с. 57.
^ Айзекс 2009 , Главы 1–3.

Ссылки

Айзекс, И. Мартин (2009), Алгебра: аспирантура , Аспирантура по математике , вып. 100 (переиздание оригинального издания 1994 г.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , doi : 10.1090/gsm/100 , ISBN 978-0-8218-4799-2 , МР 2472787
Джейкобсон, Натан (2009), Основная алгебра , том. 1 (2-е изд.), Dover Publications , ISBN 978-0-486-47189-1
Джейкобсон, Натан (1979), Алгебры Ли (перепубликация оригинального издания 1962 года), Dover Publications , ISBN 0-486-63832-4 , МР 0559927

[O'MearaClark2011-1] Кевин О'Мира; Джон Кларк; Чарльз Винсонхалер (2011). Продвинутые темы по линейной алгебре: переплетение матричных задач через форму Вейра . Издательство Оксфордского университета . п. 65. ИСБН 978-0-19-979373-0 .

[HofmannMorris2007-2] Карл Генрих Хофманн; Сидни А. Моррис (2007). Теория Ли связных пролиевских групп: теория структуры для пролиевых алгебр, пролиевых групп и связных локально компактных групп . Европейское математическое общество . п. 30. ISBN 978-3-03719-032-6 .

[3] Джейкобсон (2009), с. 41

[FOOTNOTEJacobson1979p._28-4] Перейти обратно: ^а ^б ^с Джейкобсон 1979 , с. 28.

[FOOTNOTEJacobson1979p._57-5] Джейкобсон 1979 , с. 57.

[FOOTNOTEIsaacs2009Chapters_1−3-6] Айзекс 2009 , Главы 1–3.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]