Торальная подалгебра

В математике торическая подалгебра — это подалгебра Ли общей линейной алгебры Ли, все элементы которой полупросты (или диагонализуемы над алгебраически замкнутым полем). ^[1] Эквивалентно, алгебра Ли является торической, если она не содержит ненулевых нильпотентных элементов. Над алгебраически замкнутым полем каждая торическая алгебра Ли абелева ; ^[1]^[2] таким образом, его элементы одновременно диагонализуемы .

В полупростых и редуктивных алгебрах Ли

Подалгебра ${\mathfrak {h}}$ полупростой алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ называется торальным, если представление присоединенное ${\mathfrak {h}}$ на ${\mathfrak {g}}$ , $\operatorname {ad} ({\mathfrak {h}})\subset {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})$ является торической подалгеброй. Максимальная торальная подалгебра Ли конечномерной полупростой алгебры Ли или, в более общем смысле, конечномерной редуктивной алгебры Ли , ^{[ нужна ссылка ]} над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 является подалгеброй Картана и наоборот. ^[3] В частности, максимальная торальная подалгебра Ли в этом случае самонормализуется , совпадает со своим централизатором и Киллинга формой ${\mathfrak {g}}$ ограничено ${\mathfrak {h}}$ является невырожденным.

Для более общих алгебр Ли картановская подалгебра может отличаться от максимальной торической подалгебры.

В конечномерной полупростой алгебре Ли ${\mathfrak {g}}$ над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики существует торическая подалгебра. ^[1] Фактически, если ${\mathfrak {g}}$ имеет только нильпотентные элементы, то она нильпотентна ( теорема Энгеля ), но тогда ее форма Киллинга тождественно равна нулю, что противоречит полупростоте. Следовательно, ${\mathfrak {g}}$ должен иметь ненулевой полупростой элемент, скажем x ; тогда линейная оболочка x является торической подалгеброй.

См. также

Максимальный тор в теории групп Ли.

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Хамфрис 1972 , гл. II, § 8.1.
^ Доказательство (от Хамфриса): Пусть $x\in {\mathfrak {h}}$ . С $\operatorname {ad} (x)$ диагонализуема, достаточно указать собственные значения $\operatorname {ad} _{\mathfrak {h}}(x)$ все равны нулю. Позволять $y\in {\mathfrak {h}}$ быть собственным вектором $\operatorname {ad} _{\mathfrak {h}}(x)$ с собственным значением $\lambda$ . Затем $x$ представляет собой сумму собственных векторов $\operatorname {ad} _{\mathfrak {h}}(y)$ а потом $-\lambda y=\operatorname {ad} _{\mathfrak {h}}(y)x$ представляет собой линейную комбинацию собственных векторов $\operatorname {ad} _{\mathfrak {h}}(y)$ с ненулевыми собственными значениями. Но, если только $\lambda =0$ , у нас это есть $-\lambda y$ является собственным вектором $\operatorname {ad} _{\mathfrak {h}}(y)$ с нулевым собственным значением — противоречие. Таким образом, $\lambda =0$ . $\square$
^ Хамфрис 1972 , Гл. IV, § 15.3. Следствие