Система импримитивности

Понятие системы импримитивности используется в математике , особенно в алгебре и анализе , как в контексте теории групп представлений . Он был использован Джорджем Макки в качестве основы для его теории индуцированных унитарных представлений локально компактных групп .

Самый простой случай и контекст, в котором эта идея была впервые замечена, — это случай конечных групп (см. примитивную группу перестановок ). Рассмотрим группу G и подгруппы H и K , причем K в H. содержится Тогда каждый из левых классов класса H в G является объединением левых классов класса K . Более того, перенос (с одной стороны) любым элементом g из G учитывает это разложение. Связь с индуцированными представлениями состоит в том, что представление перестановок на смежных классах является частным случаем индуцированного представления, в котором представление индуцируется из тривиального представления . Структура, в данном случае комбинаторная, соблюдаемая при трансляции, показывает, что либо , либо существует система K является максимальной подгруппой G импримитивности (грубо говоря, отсутствие полного «перемешивания»). Чтобы обобщить это на другие случаи, концепция выражается заново: сначала через функции от G, константы на K -смежных классах, а затем через операторы проектирования (например, усреднение по K -смежным классам элементов группы алгебра ).

Макки также использовал эту идею для своего объяснения теории квантования, основанной на сохранении групп относительности, действующих в конфигурационном пространстве . Эту обобщенную работу Юджина Вигнера и других часто считают одной из новаторских идей в области канонического квантования .

Пример

Чтобы мотивировать общие определения, сначала формулируется определение в случае конечных групп и их представлений в конечномерных векторных пространствах .

Пусть G — конечная группа, а U — G в конечномерном комплексном векторном пространстве H. представление Действие G элементы H индуцирует действие G на на векторные подпространства W H : следующим образом

$U_{g}W=\{U_{g}w:w\in W\}.$

Пусть X — набор подпространств H такой, что

• элементы X переставляются действием G на подпространства и
• H — (внутренняя) алгебраическая прямая сумма элементов X , т. е.

$H=\bigoplus _{W\in X}W.$

Тогда ( U , X — система импримитивности для G. )

В приведенном выше определении должны выполняться два утверждения:

• пространства W для W ∈ X должны охватывать H и
• пространства W ∈ X должны быть линейно независимыми , т. е.

$\sum _{W\in X}c_{W}v_{W}=0,\quad v_{W}\in W\setminus \{0\}$

имеет место только тогда, когда все коэффициенты c _W равны нулю.

Если действие G на элементы X транзитивно , то мы говорим , что это транзитивная система импримитивности.

Пусть G конечная группа и G0 _— подгруппа в G. — Представление U группы G индуцируется из представления V группы G0 _: тогда и только тогда, когда существуют следующие условия

• транзитивная система импримитивности ( U , X ) и
• подпространство W0 _​ ∈ X

такой, что G ₀ является подгруппой стабилизатора группы W относительно действия G , т.е.

$G_{0}=\{g\in G:U_{g}W_{0}\subseteq W_{0}\}.$

и V эквивалентно представлению G ₀ на W _0, заданном U _h | W ₀ для часа ∈ G ₀ . Обратите внимание, что по этому определению индуцированное является отношением между представлениями. Нам хотелось бы показать, что на самом деле существует отображение представлений, соответствующее этому отношению.

Для конечных групп можно показать, что существует четко определенная индуцирующая конструкция эквивалентности представлений, рассматривая характер представления U , определенного формулой

$\chi _{U}(g)=\operatorname {tr} (U_{g}).$

представление U группы G индуцировано из представления V группы G0 _Если , то

$\chi _{U}(g)={\frac {1}{|G_{0}|}}\sum _{\{x\in G:{x}^{-1}\,g\,x\in G_{0}\}}\chi _{V}({x}^{-1}\ g\ x),\quad \forall g\in G.$

Таким образом, характер-функция χ _U (а значит, и сама U ) полностью определяется χ _V .

Пример

Пусть G — конечная группа, и рассмотрим пространство H комплекснозначных функций на G . Левое регулярное представление группы G на H определяется формулой

$[\operatorname {L} _{g}\psi ](h)=\psi (g^{-1}h).$

Теперь H можно рассматривать как прямую алгебраическую сумму одномерных пространств для _Wx x ∈ G , где

$W_{x}=\{\psi \in H:\psi (g)=0,\quad \forall g\neq x\}.$

Пространства Wx _Lg переставляются с _{помощью} .

Бесконечномерные системы импримитивности

Чтобы обобщить конечномерное определение, данное в предыдущем разделе, подходящая замена множества X векторных подпространств H , перестановочного представлением U. необходима Как оказывается, наивный подход, основанный на подпространствах H, не будет работать; например, представление перевода R на L ² ( R ) не имеет системы импримитивности в этом смысле. Правильная формулировка разложения в прямую сумму формулируется в терминах проекционнозначных мер .

Первоначальная формулировка Макки была выражена в терминах локально компактной второй счетной (lcsc) группы G , стандартного борелевского пространства X борелевской группы. и действия

$G\times X\rightarrow X,\quad (g,x)\mapsto g\cdot x.$

Мы будем называть это стандартным борелевским G -пространством.

Определения могут быть даны в гораздо более общем контексте, но первоначальная установка, использованная Макки, все еще довольно общая и требует меньше технических подробностей.

Определение . Пусть G действующая в стандартном борелевском пространстве X. — группа lcsc , Система импримитивности, основанная на ( G , X ), состоит из сепарабельного гильбертова пространства H и пары, состоящей из

• Сильно непрерывное унитарное представление U : g → U _g группы G на H .
• Проекционнозначная мера π на борелевских множествах X со значениями в проекциях H ;

которые удовлетворяют

$U_{g}\pi (A)U_{g^{-1}}=\pi (g\cdot A).$

Пример

Пусть X — стандартное G- пространство и µ — σ-конечная счетно-аддитивная инвариантная мера на X . Это означает

$\mu (g^{-1}A)=\mu (A)\quad$

для всех g ∈ G и борелевских подмножеств A группы G .

Пусть π( A ) — умножение на индикаторную функцию A , а U _g — оператор

$[U_{g}\psi ](x)=\psi (g^{-1}x).\quad$

Тогда ( U , π) является системой импримитивности ( G , X ) на L ² _м ( Х ).

Эту систему импримитивности иногда называют системой импримитивности Купмана .

Гомогенные системы импримитивности

Система импримитивности является однородной кратности n , где 1 ⩽ n ⩽ ω тогда и только тогда, когда соответствующая проекционнозначная мера π на X однородна кратности n . Фактически X распадается на счетное дизъюнктное семейство { X _n } _{1 ⩽ n ⩽ ω} борелевских множеств такое, что π однородно кратности n на X _n . Также легко показать, X _n что G -инвариантен.

Лемма . Любая система импримитивности представляет собой ортогональную прямую сумму однородных.

Можно показать, что если действие G на X транзитивно, то любая система импримитивности на X однородна. В более общем смысле, если действие G на X эргодично X (это означает, что не может быть уменьшено инвариантными собственными борелевскими множествами X ), то любая система импримитивности на X является однородной.

Обсудим теперь, как структуру однородных систем импримитивности можно выразить в форме, обобщающей представление Купмана, данное в приведенном выше примере.

Далее мы предполагаем, что µ является σ-конечной мерой в стандартном борелевском G -пространстве X такой, что действие G соблюдает класс меры µ. Это условие слабее, чем инвариантность, но его достаточно для построения унитарного оператора сдвига, аналогичного оператору Купмана в приведенном выше примере. G соблюдает класс меры µ означает, что производная Радона-Никодима

$s(g,x)={\bigg [}{\frac {d\mu }{dg^{-1}\mu }}{\bigg ]}(x)\in [0,\infty )$

корректно определен для каждого g ∈ G , где

$g^{-1}\mu (A)=\mu (gA).\quad$

Можно показать, что существует версия s , совместно измеримая по Борелю, т.е.

$s:G\times X\rightarrow [0,\infty )$

измерима ли Бореля и удовлетворяет ли

$s(g,x)={\bigg [}{\frac {d\mu }{dg^{-1}\mu }}{\bigg ]}(x)\in [0,\infty )$

почти для всех значений ( g , x ) ∈ G × X .

Предположим, что — сепарабельное гильбертово пространство, U( H ) — унитарные операторы в H. H Унитарный коцикл — это борелевское отображение.

$\Phi :G\times X\rightarrow \operatorname {U} (H)$

такой, что

$\Phi (e,x)=I\quad$

для почти всех x ∈ X

$\Phi (gh,x)=\Phi (g,h\cdot x)\Phi (h,x)$

почти для всех ( g , h , x ). Унитарный коцикл является строгим тогда и только тогда, когда приведенные выше соотношения выполняются для всех ( g , h , x ). Можно показать, что для любого унитарного коцикла существует строгий унитарный коцикл, равный ему почти всюду (Варадараджан, 1985).

Теорема . Определять

$[U_{g}\psi ](x)={\sqrt {s(g,g^{-1}x)}}\ \Phi (g,g^{-1}x)\ \psi (g^{-1}x).$

Тогда U — унитарное представление группы G в гильбертовом пространстве.

$\int _{X}^{\oplus }Hd\mu (x).$

Более того, если для любого борелевского множества A π( A ) является оператором проектирования

$\pi (A)\psi =1_{A}\psi ,\quad \int _{X}^{\oplus }Hd\mu (x)\rightarrow \int _{X}^{\oplus }Hd\mu (x),$

тогда ( U , π) — система импримитивности ( G , X ).

Обратно, любая однородная система импримитивности имеет такой вид для некоторой меры σ-конечной меры µ. Эта мера единственна с точностью до эквивалентности меры, т. е. две такие меры имеют одинаковые множества меры 0.

Гораздо больше можно сказать о соответствии однородных систем импримитивности и коциклов.

Однако когда действие G на X транзитивно , соответствие принимает особенно явную форму, основанную на представлении , полученном путем ограничения коцикла Φ на подгруппу действия с неподвижной точкой. Мы рассмотрим этот случай в следующем разделе.

Пример

Система импримитивности ( U , π) пространства ( G , X сепарабельном гильбертовом пространстве H неприводима тогда и только тогда, когда единственные замкнутые подпространства, инвариантные относительно всех операторов Ug _{) на} и π( A ) для g и элемента из G и Борелевское подмножество X — это H или {0}.

Если ( U , π) неприводима, то π однородна. Более того, соответствующая мера на X согласно предыдущей теореме эргодична.

Индуцированные представления

Если X — борелевское G- пространство и x ∈ X , то подгруппа неподвижных точек

$G_{x}=\{g\in G:g\cdot x=x\}$

является замкнутой подгруппой G . Поскольку мы только предполагаем, что действие G на X является борелевским, этот факт нетривиален. Для доказательства можно воспользоваться тем, что стандартное борелевское G -пространство можно вложить в компактное G -пространство, в котором действие непрерывно.

Теорема . Предположим, что G действует на X транзитивно. Тогда существует σ-конечная квазиинвариантная мера µ на ​​X , единственная с точностью до эквивалентности меры (т. е. любые две такие меры имеют одинаковые множества нулевой меры).

Если Φ — строгий унитарный коцикл

$\Phi :G\times X\rightarrow \operatorname {U} (H)$

тогда ограничение Φ на подгруппу неподвижной точки G _x является измеримым по Борелю унитарным представлением U группы G _x на H (здесь U( H ) имеет сильную операторную топологию ). Однако известно, что измеримое по Борелю унитарное представление почти всюду (относительно меры Хаара) равно сильно непрерывному унитарному представлению. Это отображение ограничений устанавливает фундаментальное соответствие:

Теорема . Предположим, что G действует на X транзитивно с квазиинвариантной мерой µ. Существует биекция из унитарных классов эквивалентности систем импримитивности ( G , X унитарных классов эквивалентности представления Gx _{) и} .

Более того, эта биекция сохраняет неприводимость, то есть система импримитивности ( G , X ) неприводима тогда и только тогда, когда соответствующее представление G _x неприводимо.

Учитывая представление V группы G _x, соответствующее представление G называется представлением, индуцированным V .

См. теорему 6.2 (Варадараджан, 1985).

Приложения к теории представлений групп.

Системы импримитивности естественным образом возникают при определении представлений группы G , которая является полупрямым произведением абелевой группы N на группу H , действующую автоморфизмами N . Это означает, что N — нормальная подгруппа группы G , а H — подгруппа группы G такая, что G = NH и N ∩ H = { e } (где e — единичный элемент группы G ).

Важным примером этого является неоднородная группа Лоренца .

Зафиксируйте G , H и N, и пусть X будет пространством символов N. как указано выше , В частности, H действует на X следующим образом:

$[h\cdot \chi ](n)=\chi (h^{-1}nh).$

Теорема . Существует биекция между унитарными классами эквивалентности представлений G и унитарными классами эквивалентности систем импримитивности, основанных на ( H , X ). Это соответствие сохраняет переплетающиеся операторы. В частности, представление группы G неприводимо тогда и только тогда, когда соответствующая система импримитивности неприводима.

Этот результат представляет особый интерес, когда действие H на X таково, что каждая эргодическая квазиинвариантная мера на X транзитивна. В этом случае каждая такая мера есть образ (вполне конечная версия) меры Хаара на X по отображению

$g\mapsto g\cdot x_{0}.$

Необходимым условием для этого является наличие счетного множества H- инвариантных борелевских множеств, разделяющих орбиты H . Так обстоит дело, например, с действием группы Лоренца на пространстве характеров R ⁴ .

Пример: группа Гейзенберга

Группа Гейзенберга — это группа действительных матриц размера 3 × 3 вида:

${\begin{bmatrix}1&x&z\\0&1&y\\0&0&1\end{bmatrix}}.$

Эта группа является полупрямым продуктом

$H={\bigg \{}{\begin{bmatrix}1&w&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}:w\in \mathbb {R} {\bigg \}}$

и абелева нормальная подгруппа

$N={\bigg \{}{\begin{bmatrix}1&0&t\\0&1&s\\0&0&1\end{bmatrix}}:s,t\in \mathbb {R} {\bigg \}}.$

Обозначим типичную матрицу в H через [ w ], а типичную в N через [ s , t ]. Затем

$[w]^{-1}{\begin{bmatrix}s\\t\end{bmatrix}}[w]={\begin{bmatrix}s\\-ws+t\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\-w&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}s\\t\end{bmatrix}}$

w действует на двойственном к R ² умножением на матрицу транспонирования

${\begin{bmatrix}1&-w\\0&1\end{bmatrix}}.$

Это позволяет полностью определить орбиты и теорию представлений.

Структура орбиты : Орбиты делятся на два класса:

• Горизонтальная линия, пересекающая ось y при ненулевом значении y ₀ . В этом случае квазиинвариантную меру на этой прямой можно считать мерой Лебега.
• Одна точка ( x _0,0 ) на x . оси

Структура орбиты в двойном пространстве

Подгруппы с фиксированной точкой : они также делятся на два класса в зависимости от орбиты:

• Тривиальная подгруппа {0}
• группа H Сама

Классификация : Это позволяет нам полностью классифицировать все неприводимые представления группы Гейзенберга. Они параметризуются набором, состоящим из

• Р — {0}. Они бесконечномерны.
• Пары ( Икс ₀ , λ) ∈ р × р . x ₀ — абсцисса одноточечной орбиты на оси x , а λ — элемент, двойственный к H. Они одномерны.

Мы можем записать явные формулы для этих представлений, описав ограничения N и H. на

Случай 1 . Соответствующее представление π имеет вид: Оно действует на L ² ( R ) относительно меры Лебега и

$(\pi [s,t]\psi )(x)=e^{ity_{0}}e^{isx}\psi (x).\quad$

$(\pi [w]\psi )(x)=\psi (x+wy_{0}).\quad$

Случай 2 . Соответствующее представление задается одномерным характером

$\pi [s,t]=e^{isx_{0}}.\quad$

$\pi [w]=e^{i\lambda w}.\quad$

Ссылки

• Г.В. Макки, Теория представлений унитарных групп , University of Chicago Press, 1976.
• В. С. Варадараджан, Геометрия квантовой теории , Springer-Verlag, 1985.
• Дэвид Эдвардс, Математические основы квантовой механики, Synthese, том 42, номер 1/сентябрь 1979 г., стр. 1–70.