Индуцированное представление

В теории групп индуцированное представление — это представление группы , $G$ которое строится с использованием известного подгруппы $H.$ представления Учитывая представление $H$ , индуцированное представление является в некотором смысле «наиболее общим» представлением $G$ , расширяющим данное. Поскольку зачастую легче найти представления меньшей группы $H,$ чем $G$ , операция формирования индуцированных представлений является важным инструментом для построения новых представлений .

Индуцированные представления были первоначально определены Фробениусом для линейных представлений конечных групп . Идея ни в коем случае не ограничивается случаем конечных групп, но теория в этом случае ведет себя особенно хорошо.

Конструкции

алгебраический

Пусть $G$ — конечная группа и $H$ любая подгруппа из $G.$ — пусть $(π, V)$ — представление $H.$ Кроме того , Пусть $n = [G : H]$ — индекс H $и$ в $G,$ пусть $g 1,..., g n$ — полный набор представителей в $G$ левых смежных классов в $G / H$ . Индуцированное представление $Ind Г H π$ можно рассматривать как действующую в следующем пространстве:

W=\bigoplus _{i=1}^{n}g_{i}V.

Здесь каждый $g i V$ является изоморфной копией векторного пространства V, элементы которого записываются как $g i v$ с $v \in V$ . Для каждого g в $G$ и каждого g _i существует h _i в $H$ и j ( i ) в {1, ..., n } такие, что $g g i = g j (i) h i$ . (Это просто еще один способ сказать, что $g 1, ..., g n$ — полный набор представителей.) Через индуцированное представление $G$ действует на $W$ следующим образом:

g\cdot \sum _{i=1}^{n}g_{i}v_{i}=\sum _{i=1}^{n}g_{j(i)}\pi (h_{i})v_{i}

где $v_{i}\in V$ для каждого я .

В качестве альтернативы можно построить индуцированные представления путем расширения скаляров : любое K- линейное представление $\pi$ группы H можно рассматривать как модуль V над групповым кольцом K [ H ]. Затем мы можем определить

\operatorname {Ind} _{H}^{G}\pi =K[G]\otimes _{K[H]}V.

Эту последнюю формулу можно также использовать для определения $Ind Г H π$ для любой группы $G$ и подгруппы $H$ без требования какой-либо конечности. ^[1]

Примеры

Для любой группы индуцированное представление тривиального представления тривиальной подгруппы является правым регулярным представлением . В более общем смысле, индуцированное представление тривиального представления любой подгруппы - это представление перестановки на смежных классах этой подгруппы.

Индуцированное представление одномерного представления называется мономиальным представлением , поскольку оно может быть представлено в виде мономиальных матриц . Некоторые группы обладают тем свойством, что все их неприводимые представления мономиальны, — это так называемые мономиальные группы .

Характеристики

Если $H$ — подгруппа группы $G$ , то каждое $K$ -линейное представление $ρ$ группы $G$ можно рассматривать как $K$ -линейное представление группы $H$ ; это известно как ограничение ρ $и$ на $H$ обозначается $Res(ρ)$ . В случае конечных групп и конечномерных представлений теорема взаимности Фробениуса утверждает, что для данных представлений $σ$ группы $H$ и $ρ$ группы $G$ пространство $H$ - эквивариантных линейных отображений из $σ$ в $Res(ρ)$ имеет одинаковую размерность над K. как и у $G$ -эквивариантных линейных отображений из $Ind(σ)$ в $ρ$ . ^[2]

Универсальное свойство индуцированного представления, справедливое и для бесконечных групп, эквивалентно присоединению, утверждаемому в теореме взаимности. Если $(\sigma ,V)$ является представлением H и $(\operatorname {Ind} (\sigma ),{\hat {V}})$ — представление G, индуцированное $\sigma$ , то существует $H$ -эквивариантное линейное отображение $j:V\to {\hat {V}}$ со следующим свойством: для любого представления $(ρ, W)$ группы $G$ и $H$ -эквивариантного линейного отображения $f:V\to W$ , существует единственное $G$ -эквивариантное линейное отображение ${\hat {f}}:{\hat {V}}\to W$ с ${\hat {f}}j=f$ . Другими словами, ${\hat {f}}$ — это уникальная карта, по которой можно перемещаться по следующей диаграмме : ^[3]

Формула Фробениуса утверждает, что если $χ$ является характером представления $σ$ , заданным выражением $χ (h) = Tr σ (h)$ , то характер $ψ$ индуцированного представления определяется выражением

\psi (g)=\sum _{x\in G/H}{\widehat {\chi }}\left(x^{-1}gx\right),

где сумма берется по системе представителей левых классов класса $H$ в $G$ и

{\widehat {\chi }}(k)={\begin{cases}\chi (k)&{\text{if }}k\in H\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}

Аналитический

Если $G$ — локально компактная топологическая группа (возможно, бесконечная) и $H$ — замкнутая подгруппа , то существует общая аналитическая конструкция индуцированного представления. Пусть $(π, V)$ — непрерывное унитарное представление $H$ в пространстве V. гильбертовом Затем мы можем позволить:

\operatorname {Ind} _{H}^{G}\pi =\left\{\phi \colon G\to V\ :\ \phi (gh^{-1})=\pi (h)\phi (g){\text{ for all }}h\in H,\;g\in G{\text{ and }}\ \phi \in L^{2}(G/H)\right\}.

Здесь $φε L 2 (G / H)$ означает: пространство G / H несет подходящую инвариантную меру, и поскольку норма $φ(g)$ постоянна на каждом левом смежном классе H , мы можем проинтегрировать квадрат этих норм по G / H и получить конечный результат. Группа $G$ действует на индуцированном пространстве представления путем сдвига, то есть $(g .φ)(x)=φ(g -1 x)$ для g,x ∈ G и $φεInd Г H о.$ .

Эту конструкцию часто модифицируют различными способами в соответствии с необходимыми приложениями. Распространенная версия называется нормализованной индукцией и обычно использует те же обозначения. Определение пространства представления следующее:

\operatorname {Ind} _{H}^{G}\pi =\left\{\phi \colon G\to V\ :\ \phi (gh^{-1})=\Delta _{G}^{-{\frac {1}{2}}}(h)\Delta _{H}^{\frac {1}{2}}(h)\pi (h)\phi (g){\text{ and }}\phi \in L^{2}(G/H)\right\}.

Здесь $∆G ∆H, H$ — функции G $модулярные$ и $соответственно$ . С добавлением нормализующих множителей этот функтор индукции переводит унитарные представления в унитарные представления.

Еще один вариант индукции называется компактной индукцией . Это просто стандартная индукция, ограниченная функциями с компактным носителем . Формально он обозначается ind и определяется как:

\operatorname {ind} _{H}^{G}\pi =\left\{\phi \colon G\to V\ :\ \phi (gh^{-1})=\pi (h)\phi (g){\text{ and }}\phi {\text{ has compact support mod }}H\right\}.

Заметим, что если $G / H$ компактна, то Ind и ind — один и тот же функтор.

Геометрический

Предположим, $—$ топологическая группа , а $H$ — замкнутая подгруппа в $G.$ G Также предположим, $что π$ — представление $H$ над векторным пространством $V$ . Тогда $G$ действует на произведение $G \times V$ следующим образом:

g.(g',x)=(gg',x)

где $g$ и $g'$ — элементы $G$ , а $x$ — элемент $V$ .

Определим на $G \times V$ отношение эквивалентности

(g,x)\sim (gh,\pi (h^{-1})(x)){\text{ for all }}h\in H.

Обозначим класс эквивалентности $(g,x)$ к $[g,x]$ . Заметим, что это отношение эквивалентности инвариантно относительно действия $G$ ; следовательно, $G$ действует на $(G \times V)/~$ . Последнее представляет собой векторное расслоение над факторпространством $G / H$ с $H$ в качестве структурной группы и $V$ в качестве слоя. Пусть $W$ — пространство сечений $\phi :G/H\to (G\times V)/\!\sim$ этого векторного расслоения. Это векторное пространство, лежащее в основе индуцированного представления $Ind Г Ч π$ . Группа $G$ действует на сечении $\phi :G/H\to {\mathcal {L}}_{W}$ данный $gH\mapsto [g,\phi _{g}]$ следующее: