Формула Фробениуса

В математике, в частности в теории представлений , формула Фробениуса введенная Г. Фробениусом , вычисляет характеры неприводимых представлений симметрической группы Sn _. , Помимо других приложений, формулу можно использовать для получения формулы длины крючка .

Заявление

Позволять $\chi _{\lambda }$ — характер неприводимого представления симметрической группы $S_{n}$ соответствующий разделу $\lambda$ из н : $n=\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{k}$ и $\ell _{j}=\lambda _{j}+k-j$. Для каждого раздела $\mu$ из n , пусть $C(\mu )$ обозначим класс сопряженности в $S_{n}$ соответствующий ему (см. пример ниже), и пусть $i_{j}$ обозначают количество раз, когда j появляется в $\mu$ (так $\sum _{j}i_{j}j=n$). Тогда формула Фробениуса утверждает, что постоянное значение $\chi _{\lambda }$ на $C(\mu ),$

$\chi _{\lambda }(C(\mu )),$

коэффициент при мономе $x_{1}^{\ell _{1}}\dots x_{k}^{\ell _{k}}$ в однородном многочлене $k$ переменные

$\prod _{i<j}^{k}(x_{i}-x_{j})\;\prod _{j}P_{j}(x_{1},\dots ,x_{k})^{i_{j}},$

где $P_{j}(x_{1},\dots ,x_{k})=x_{1}^{j}+\dots +x_{k}^{j}$ это $j$-я степенная сумма .

Пример : Возьмите $n=4$. Позволять $\lambda :4=2+2=\lambda _{1}+\lambda _{2}$ и, следовательно, $k=2$, $\ell _{1}=3$, $\ell _{2}=2$. Если $\mu :4=1+1+1+1$ ( $i_{1}=4$), что соответствует классу единичного элемента, то $\chi _{\lambda }(C(\mu ))$ коэффициент $x_{1}^{3}x_{2}^{2}$ в

$(x_{1}-x_{2})P_{1}(x_{1},x_{2})^{4}=(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})^{4}$

что равно 2. Аналогично, если $\mu :4=3+1$ (класс 3-цикла, умноженного на 1-цикл) и $i_{1}=i_{3}=1$, затем $\chi _{\lambda }(C(\mu ))$, заданный

$(x_{1}-x_{2})P_{1}(x_{1},x_{2})P_{3}(x_{1},x_{2})=(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}),$

равен −1.

Для представления идентичности, $k=1$ и $\lambda _{1}=n=\ell _{1}$. Персонаж $\chi _{\lambda }(C(\mu ))$ будет равен коэффициенту $x_{1}^{n}$ в $\prod _{j}P_{j}(x_{1})^{i_{j}}=\prod _{j}x_{1}^{i_{j}j}=x_{1}^{\sum _{j}i_{j}j}=x_{1}^{n}$, что равно 1 для любого $\mu$ как и ожидалось.

Аналоги

Арун Рам приводит q -аналог формулы Фробениуса.

См. также

• Теория представлений симметрических групп

Ссылки

• Рам, Арун (1991). «Формула Фробениуса для характеров алгебр Гекке». Математические изобретения . 106 (1): 461–488.
• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для аспирантов по математике , Чтения по математике. Том. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN  978-0-387-97495-8 . МР   1153249 . OCLC   246650103 .
• Макдональд, И.Г. Симметричные функции и полиномы Холла. Второе издание. Оксфордские математические монографии. Оксфордские научные публикации. The Clarendon Press, Oxford University Press, Нью-Йорк, 1995. x+475 стр. ISBN   0-19-853489-2 МР 1354144