Суммы степеней

В математике и статистике : суммы степеней встречаются в нескольких контекстах

• Суммы квадратов возникают во многих контекстах. Например, в геометрии теорема Пифагора предполагает сумму двух квадратов; в теории чисел существуют теорема о трёх квадратах Лежандра и теорема о четырёх квадратах Якоби ; а в статистике включает дисперсионный анализ в себя суммирование квадратов величин.
• Существует лишь конечное число натуральных чисел, которые не являются суммами различных квадратов. Наибольшее из них — 128. То же самое относится и к суммам различных кубов (наибольший — 12 758), различных четвертых степеней (наибольшая — 5 134 240) и т. д. См. для обобщения на суммы полиномов.
• Формула Фаульхабера выражает $1^{k}+2^{k}+3^{k}+\cdots +n^{k}$ как полином от n или, альтернативно, как полином Бернулли .
• Теорема Ферма о прямоугольном треугольнике утверждает, что не существует решения в натуральных числах для $a^{2}=b^{4}+c^{4}$ и $a^{4}=b^{4}+c^{2}$.
• Великая теорема Ферма утверждает, что $x^{k}+y^{k}=z^{k}$ невозможно в натуральных числах с k > 2 .
• Уравнение суперэллипса : $|x/a|^{k}+|y/b|^{k}=1$. Белка — это случай k = 4 , a = b .
• Гипотеза Эйлера о сумме степеней (опровергнутая) касается ситуаций, в которых сумма n целых чисел, каждое a k ^й степень целого числа, равна еще одному k ^й власть.
• Гипотеза Ферма -Каталана задается вопросом, существует ли бесконечное количество примеров, в которых сумма двух взаимно простых целых чисел, каждое из которых представляет собой степень целого числа, причем степени не обязательно равны, может равняться другому целому числу, являющемуся степенью, с обратными числами три степени, сумма которых меньше 1.
• Гипотеза Била касается вопроса о том, может ли сумма двух взаимно простых целых чисел, каждое из которых имеет степень больше 2 целого числа, причем степени не обязательно равны, равняться другому целому числу, имеющему степень больше 2.
• Уравнение Якоби – Мэддена имеет вид $a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}=(a+b+c+d)^{4}$ в целых числах.
• Задача Пруэ–Тэрри–Эскотта рассматривает суммы двух наборов k ^й степени целых чисел, которые равны для нескольких значений k .
• Номер такси — это наименьшее целое число, которое можно выразить в виде суммы двух положительных третьих степеней n различными способами.
• Дзета -функция Римана представляет собой сумму обратных целых положительных чисел, каждое из которых возведено в степень s , где s — комплексное число , действительная часть которого больше 1.
• Гипотеза Ландера , Паркина и Селфриджа касается минимального значения m + n в $\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=\sum _{j=1}^{m}b_{j}^{k}.$
• Проблема Уоринга ли для каждого натурального числа k заключается в том, существует соответствующее положительное целое число s такое, что каждое натуральное число является суммой не более чем sk. ^й степени натуральных чисел.
• Последовательные степени золотого сечения φ подчиняются повторяемости Фибоначчи: $$\varphi ^{n+1}=\varphi ^{n}+\varphi ^{n-1}.$$
• Тождества Ньютона выражают сумму k ^й степени всех корней многочлена через коэффициенты многочлена.
• Сумма кубов чисел в арифметической прогрессии иногда представляет собой другой куб.
• Кубик Ферма , в котором сумма трех кубов равна другому кубу, имеет общее решение.
• Симметричный полином суммы степеней является строительным блоком для симметричных полиномов.
• Сумма обратных величин всех совершенных степеней , включая дубликаты (но не включая 1), равна 1.
• Уравнение Эрдеша – Мозера , $1^{k}+2^{k}+\cdots +m^{k}=(m+1)^{k}$ где m и k — положительные целые числа, предполагается, что он не имеет решений, кроме 1 ¹ + 2 ¹ = 3 ¹ .
• Суммы трех кубов не могут равняться 4 или 5 по модулю 9, но неизвестно, можно ли выразить в такой форме все оставшиеся целые числа.
• Сумма членов геометрической прогрессии равна $\sum _{i=k}^{n}z^{i}={\frac {z^{k}-z^{n+1}}{1-z}}.$

См. также

• Сумма квадратов
• Сумма обратных величин
• Диофантово уравнение