Сумма квадратов

В математике , статистике и других областях суммы квадратов встречаются в нескольких контекстах:

Статистика

• О разделении дисперсии см. Разделение сумм квадратов.
• Чтобы узнать о «сумме квадратов отклонений», см. Наименьшие квадраты.
• Чтобы узнать о «сумме квадратов разностей», см. Среднеквадратическую ошибку.
• Чтобы узнать о «сумме квадратов ошибок», см. Остаточную сумму квадратов.
• О «сумме квадратов из-за несоответствия» см. Несоответствие суммы квадратов.
• Суммы квадратов, относящиеся к предсказаниям модели, см. в разделе Объясненная сумма квадратов.
• Информацию о суммах квадратов, относящихся к наблюдениям, см. в разделе « Общая сумма квадратов».
• Информацию о суммах квадратов отклонений см. в разделе « Квадратные отклонения от среднего значения».
• Информацию о моделировании с использованием сумм квадратов см. в разделе «Дисперсионный анализ».
• Информацию о моделировании, включающем многомерное обобщение сумм квадратов, см. в разделе « Многомерный дисперсионный анализ».

Теория чисел

• Чтобы узнать о сумме квадратов последовательных целых чисел, см. Квадратное пирамидальное число.
• Чтобы представить целое число как сумму квадратов четырех целых чисел, см. Теорему Лагранжа о четырех квадратах.
• Теорема Лежандра о трёх квадратах утверждает, какие числа можно выразить в виде суммы трёх квадратов.
• Теорема Якоби о четырех квадратах дает количество способов, которыми число может быть представлено в виде суммы четырех квадратов.
• Чтобы узнать о количестве представлений положительного целого числа в виде суммы квадратов k целых чисел, см. функцию суммы квадратов .
• Теорема Ферма о суммах двух квадратов говорит, какие простые числа являются суммами двух квадратов.
  • Теорема о сумме двух квадратов обобщает теорему Ферма и определяет, какие составные числа являются суммами двух квадратов.
• Тройки Пифагора — это наборы из трех целых чисел, у которых сумма квадратов первых двух равна квадрату третьего.
• Простое число Пифагора — это простое число, представляющее собой сумму двух квадратов; Теорема Ферма о суммах двух квадратов утверждает, какие простые числа являются простыми числами Пифагора.
• В треугольниках Пифагора с целой высотой от гипотенузы сумма квадратов обратных целых катетов равна квадрату обратной целой высоты от гипотенузы.
• Четверки Пифагора — это наборы из четырех целых чисел, у которых сумма квадратов первых трех равна квадрату четвертого.
• Базельская задача , решенная Эйлером в терминах $\pi$, попросил дать точное выражение для суммы квадратов обратных величин всех положительных целых чисел.
• Правило тройного квадрата и правило тройного разворота рациональной тригонометрии содержат суммы квадратов, аналогично формуле Герона.
• Возведение квадрата в квадрат — это комбинаторная задача разделения двумерного квадрата с целой длиной стороны на меньшие такие квадраты.

Алгебра, алгебраическая геометрия и оптимизация

• Полиномиальный SOS , полиномы, являющиеся суммами квадратов других полиномов.
• Тождество Брахмагупты – Фибоначчи , представляющее произведение сумм двух квадратов многочленов как другую сумму квадратов.
• Семнадцатая проблема Гильберта о характеристике многочленов неотрицательных значений как сумм квадратов
• Оптимизация суммы квадратов , нелинейное программирование с полиномиальными ограничениями SOS
• Сумма квадратов размерностей попарно неэквивалентных комплексных представлений конечной группы равна мощности этой группы.

Евклидова геометрия и другие пространства внутреннего произведения

• Теорема Пифагора гласит, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника по площади равен сумме квадратов катетов. Сумма квадратов не факторизуется.
• Квадрат евклидова расстояния между двумя точками, равный сумме квадратов разностей их координат.
• Формулу Герона для площади треугольника можно переписать, используя суммы квадратов сторон треугольника (и суммы квадратов квадратов).
• Теорема о британском флаге для прямоугольников приравнивает две суммы двух квадратов.
• Закон параллелограмма приравнивает сумму квадратов четырех сторон к сумме квадратов диагоналей.
• Теорема Декарта для четырех кругов поцелуев включает суммы квадратов.
• Сумма квадратов ребер прямоугольного кубоида равна квадрату любой пространственной диагонали.

См. также

• Суммы степеней
• Сумма обратных величин
• Квадратичная форма (статистика)
• Уменьшенная статистика хи-квадрат