Теорема о британском флаге

Согласно теореме о британском флаге, красные квадраты имеют такую ​​же общую площадь , как и синие квадраты.

Теорема британского флага в пространстве: красные квадраты имеют ту же общую площадь, что и синие квадраты.

В евклидовой геометрии теорема о британском флаге гласит, что если точка P выбрана внутри прямоугольника ABCD , то сумма квадратов евклидовых расстояний от P до двух противоположных углов прямоугольника равна сумме двух других противоположных углов. В виде уравнения : $$AP^{2}+CP^{2}=BP^{2}+DP^{2}.$$

Теорема евклидовом также применима к точкам вне прямоугольника и, в более общем плане, к расстояниям от точки в пространстве до углов прямоугольника, встроенного в это пространство. В более общем смысле, если сравнивать суммы квадратов расстояний от точки P до двух пар противоположных углов параллелограмма , эти две суммы, вообще говоря, не будут равны, а разница между двумя суммами будет зависеть только от формы параллелограмма, а не от выбора P .

Эту теорему можно также рассматривать как обобщение теоремы Пифагора . Помещение точки P в любую из четырех вершин прямоугольника дает квадрат диагонали прямоугольника, равный сумме квадратов ширины и длины прямоугольника, что является теоремой Пифагора.

Доказательство

Иллюстрация для доказательства

Проведите перпендикулярные линии из точки P к сторонам прямоугольника, пересекая стороны AB , BC , CD и AD в точках W , X , Y и Z соответственно, как показано на рисунке. Эти четыре точки WXYZ образуют вершины ортодиагонального четырехугольника .Применяя теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику AWP и наблюдая, что WP = AZ , отсюда следует, что

$AP^{2}=AW^{2}+WP^{2}=AW^{2}+AZ^{2}$

и по аналогичному рассуждению квадраты длин расстояний от P до трех других углов можно вычислить как

$PC^{2}=WB^{2}+ZD^{2},$

$BP^{2}=WB^{2}+AZ^{2},$ и

$PD^{2}=ZD^{2}+AW^{2}.$

Поэтому:

${\begin{aligned}AP^{2}+PC^{2}&=\left(AW^{2}+AZ^{2}\right)+\left(WB^{2}+ZD^{2}\right)\\[4pt]&=\left(WB^{2}+AZ^{2}\right)+\left(ZD^{2}+AW^{2}\right)\\[4pt]&=BP^{2}+PD^{2}\end{aligned}}$

Равнобедренная трапеция

Теорему о британском флаге можно обобщить до утверждения о (выпуклых) равнобедренных трапециях . Точнее для трапеции $ABCD$ с параллельными сторонами $AB$ и $CD$ и внутренняя точка $P$ имеет место следующее уравнение:

$|AP|^{2}+{\frac {|AB|}{|CD|}}\cdot |PC|^{2}=|BP|^{2}+{\frac {|AB|}{|CD|}}\cdot |PD|^{2}$

В случае прямоугольника дробь ${\tfrac {|AB|}{|CD|}}$ оценивается как 1 и, следовательно, дает исходную теорему.

Мы

Флаг Соединенного Королевства .

Эта теорема получила свое название от того факта, что, когда нарисованы отрезки линий от P до углов прямоугольника вместе с перпендикулярными линиями, использованными в доказательстве, законченная фигура напоминает флаг Союза .

См. также

• Теорема о пицце

Дальнейшее чтение

• Нгуен Минь Ха, Дао Тхань Оай: Интересное применение теоремы о британском флаге . Глобальный журнал перспективных исследований классической и современной геометрии, том 4 (2015 г.), выпуск 1, стр. 31–34.
• Мартин Гарднер , Дана С. Ричардс (ред.): Колоссальная книга коротких головоломок и задач . WW Нортон, 2006 г., ISBN   978-0-393-06114-7 , стр. 147, 159 (задача 6.16)

Внешние ссылки

• Теорема о британском флаге на artofproblemsolve.com
• Можете ли вы решить вопрос на собеседовании Microsoft о прямоугольниках? (видео, 5:41 мин.)
• интерактивная иллюстрация теоремы о британском флаге для прямоугольников и равнобедренных трапеций