Список сумм обратных величин

В математике и особенно в теории чисел сумма обратных величин обычно вычисляется для обратных величин некоторых или всех положительных целых чисел (числа), то есть обычно это сумма единичных дробей . Если суммируются обратные величины бесконечного числа чисел, обычно члены задаются в определенной последовательности и суммируются первые n из них, затем добавляется еще одно, чтобы получить сумму первых n +1 из них и т. д.

Если включено только конечное число чисел, ключевой вопрос обычно состоит в том, чтобы найти простое выражение для значения суммы, или потребовать, чтобы сумма была меньше определенного значения, или определить, является ли сумма когда-либо целым числом.

Для бесконечного ряда обратных величин возникает двоякая проблема: во-первых, расходится ли последовательность ( т . сумм превышает его? (Набор натуральных чисел называется большим , если сумма обратных ему чисел расходится, и малым, если он сходится.) Во-вторых, если он сходится, то каково простое выражение для значения, к которому он сходится, является ли это значение рациональным или иррациональным? и является ли это значение алгебраическим или трансцендентным ? ^{[ 1 ]}

Конечное количество терминов

Гармоническое среднее набора положительных целых чисел — это количество чисел, умноженное на обратную сумму их обратных чисел.
Оптическое уравнение требует, чтобы сумма обратных величин двух положительных целых чисел a и b равнялась обратной величине третьего положительного целого числа c . Все решения имеют вид a = mn + m ², b = mn + n ², с = мн . Это уравнение появляется в различных контекстах элементарной геометрии .
Гипотеза Ферма -Каталана касается определенного диофантова уравнения , приравнивающего сумму двух членов, каждое из которых представляет собой положительное целое число, возведенное в положительную целую степень, к третьему члену, который также является положительным целым числом, возведенным в положительную целую степень (с базовыми целыми числами не имеющие общего простого делителя). Гипотеза спрашивает, имеет ли уравнение бесконечное число решений, в которых сумма обратных трех показателей степени в уравнении должна быть меньше 1. Цель этого ограничения - исключить известную бесконечность решений, в которых два показателя степени равны 2. а другой показатель - любое четное число.
Номер n -й гармоники , который представляет собой сумму обратных величин первых n положительных целых чисел, никогда не является целым числом, за исключением случая n = 1.
Более того, Йожеф Кюршак доказал в 1918 году, что сумма обратных чисел последовательных натуральных чисел (начинающихся с 1 или нет) никогда не является целым числом.
Сумма обратных чисел первых n простых чисел не является целым числом ни при каком n .
Существует 14 различных комбинаций четырех целых чисел, сумма обратных чисел которых равна 1, из которых в шести используются четыре различных целых числа, а в восьми повторяются хотя бы одно целое число.
Египетская дробь представляет собой сумму конечного числа обратных целых положительных чисел. Согласно доказательству проблемы Эрдеша–Грэма , если набор целых чисел больше единицы разделен на конечное число подмножеств, то одно из подмножеств можно использовать для формирования представления египетской дроби 1.
Гипотеза Эрдеша – Штрауса утверждает, что для всех целых чисел n ≥ 2 рациональное число 4/ n может быть выражено как сумма трех обратных чисел положительных целых чисел.
с Частное Ферма основанием 2, которое ${\frac {2^{p-1}-1}{p}}$ для нечетного простого числа p , выраженного по модулю p и умноженного на –2, оно равно сумме обратных по модулю p чисел, лежащих в первой половине диапазона {1, p - 1}.
В любом треугольнике сумма обратных высот равна обратной величине радиуса вписанной окружности ( независимо от того, являются ли они целыми числами или нет).
В прямоугольном треугольнике сумма обратных квадратов высот от катетов (что эквивалентно квадратам самих катетов) равна обратной величине квадрата высоты от гипотенузы ( обратная теорема Пифагора ). Это справедливо независимо от того, являются ли числа целыми числами; существует формула (см. здесь ), которая генерирует все целочисленные случаи.
Треугольник, не обязательно лежащий в евклидовой плоскости, может быть указан как имеющий углы ${\frac {\pi }{p}},$ ${\frac {\pi }{q}},$ и ${\frac {\pi }{r}}.$ Тогда треугольник находится в евклидовом пространстве, если сумма обратных величин p, q и r равна 1, в сферическом пространстве , если эта сумма больше 1, и в гиперболическом пространстве, если сумма меньше 1.
Число гармонического делителя — это положительное целое число, делители которого имеют гармоническое среднее число , являющееся целым числом. Первые пять из них — это 1, 6, 28, 140 и 270. Неизвестно, являются ли какие-либо числа гармонических делителей (кроме 1) нечетными, но нечетных чисел меньше 10 не существует. ²⁴.
Сумма обратных делителей совершенного числа равна 2.
Когда восемь точек распределяются на поверхности сферы с целью в некотором смысле максимизировать расстояние между ними, результирующая форма соответствует квадратной антипризме . Конкретные методы распределения точек включают, например, минимизацию суммы всех обратных квадратов расстояний между точками.

Бесконечно много терминов

Конвергентный ряд

Последовательность возрастающих положительных целых чисел без сумм — это последовательность, в которой ни одно число не является суммой любого подмножества предыдущих. Сумма обратных чисел в любой последовательности без сумм меньше $2,8570$ .

Сумма обратных семиугольных чисел сходится к известной величине, которая не только иррациональна , но и трансцендентна и для которой существует сложная формула .

Сумма обратных чисел- близнецов , которых может быть конечно или бесконечно много, как известно, конечна и называется константой Бруна , примерно $1,9022$ . Обратная величина пяти традиционно появляется в сумме дважды.

Сумма обратных простых чисел Прота , которых может быть конечно или бесконечно много, как известно, конечна, примерно $0,747392479$ . ^{[ 2 ]}

Простые четверки — это пары простых чисел-близнецов, между которыми имеется только одно нечетное число. Сумма обратных чисел в простых четверках равна примерно $0,8706$ .

Сумма обратных величин совершенных степеней (включая дубликаты) равна $1$ .

Сумма обратных величин совершенных степеней (исключая дубликаты) составляет примерно $0,8745$ . ^{[ 3 ]}

Сумма обратных степеней $\ n^{n}\$ примерно равен $1,2913$ . Сумма в точности равна определенному интегралу : $\ \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\ n^{n}}}=\int _{0}^{1}{\frac {\ \mathrm {d} x\ }{\ x^{x}}}\$

Эта личность была открыта Иоганном Бернулли в 1697 году и теперь известна как одна из двух личностей мечты второкурсников .

Теорема Гольдбаха-Эйлера утверждает, что сумма обратных чисел, которые на 1 меньше полной степени (исключая дубликаты), равна 1 .
Сумма обратных величин всех ненулевых треугольных чисел равна $2$ .

Обратная константа Фибоначчи представляет собой сумму обратных чисел Фибоначчи , которая, как известно, конечна и иррациональна и приблизительно равна 3,3599. Другие конечные суммы подмножеств обратных чисел Фибоначчи см. здесь .

Экспоненциальный факториал — это операция , рекурсивно определяемая как $\ a_{0}=1,~a_{n}=n^{a_{n-1}}~.$ Например, $\ a_{4}=4^{3^{2^{1}}}\$ где показатели степени оцениваются сверху вниз. Сумма обратных экспоненциальных факториалов, начиная с 1, составляет примерно 1,6111 и является трансцендентной.

« Мощное число » — это целое положительное число, для которого каждое простое число, встречающееся в факторизации простых чисел, появляется там как минимум дважды. Сумма обратных мощных чисел близка к 1,9436. ^{[ 4 ]}

Сумма обратных факториалов дает трансцендентное число $e$ (одну из двух констант, называемую « числом Эйлера »).

Сумма обратных квадратным числам ( Базельская задача ) есть трансцендентное число $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠п 2  / 6 ⁠$ где или $ζ (2)$ — $ζ$ дзета- функция Римана .

Сумма обратных кубов натуральных чисел называется константой Апери $ζ (3)$ и равна примерно 1,2021. Это число иррационально , но неизвестно, трансцендентно оно или нет .

Обратные числа неотрицательных целых степеней 2 в сумме дают $2$ . Это частный случай суммы обратных величин любой геометрической прогрессии, где первый член и общее отношение являются целыми положительными числами. Если первый член равен $a$ , а общее отношение равно $r$ , то сумма равна $⁠ р / а (р - 1) ⁠$ .

Ряд Кемпнера представляет собой сумму обратных чисел всех положительных целых чисел, не содержащих цифру «9» в базе $10$ . В отличие от гармонического ряда , который не исключает эти числа, этот ряд сходится, в частности, примерно к $22,9207$ .

Палиндромное число — это число, которое остается неизменным, если его цифры поменять местами. Сумма обратных палиндромных чисел сходится примерно к $3,3703$ .

Пятичленное число — это число в пятой ячейке любой строки треугольника Паскаля, начиная с пятичленного ряда $1 4 6 4 1$ . Сумма обратных чисел пентатопов равна ⁠ 4 /  3  ⁠ .

Последовательность Сильвестра — это целочисленная последовательность , в которой каждый член последовательности является произведением предыдущих членов плюс один. Первые несколько членов последовательности — $2, 3, 7, 43, 1807$ . Сумма обратных чисел в последовательности Сильвестра равна $1$ .

Дзета -функция Римана $ζ (s)$ — это функция комплексной переменной $s$ , которая аналитически продолжает сумму бесконечного ряда $\ \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\ n^{s}\ }}~$ к аналитической функции на всей комплексной плоскости, за исключением s = 1, где $ζ (s)$ имеет полюс. Этот ряд сходится тогда и только тогда, когда действительная часть $s$ больше $1$ .

Сумма обратных всем числам Ферма (числа вида $\ 2^{(2^{n})}+1\$ ) (последовательность A051158 в OEIS ) иррациональна .

Сумма обратных чисел проника (произведения двух последовательных целых чисел) (исключая $0$ ) равна $1$ (см. Телескопический ряд ).

Дивергентная серия

n $- я$ частичная сумма гармонического ряда , которая представляет собой сумму обратных величин первых $n$ положительных целых чисел, расходится по мере того, как $n$ стремится к бесконечности, хотя и очень медленно: Сумма первых $1043$ условия меньше $100$ . Разница между накопленной суммой и натуральным логарифмом сходится $n$ к константе Эйлера – Маскерони , обычно обозначаемой как $\ \gamma \ ,$ что составляет примерно $0,5772$ .

Сумма обратных простых чисел расходится.

Сильная форма теоремы Дирихле об арифметических прогрессиях подразумевает, что сумма обратных простых чисел вида $4 n + 3$ расходится.
Аналогично, сумма обратных простых чисел вида $4 n + 1$ расходится. По теореме Ферма о суммах двух квадратов следует, что сумма обратных чисел вида $\ a^{2}+b^{2}\ ,$ где $a$ и $b$ — неотрицательные целые числа, не равные $0$ , расходится с повторением или без него.

Если $a (k)$ — любая возрастающая серия натуральных чисел со свойством существования $N$ такого, что $a (k + 1) - a (k) < N$ для всех $k$ , то сумма обратных чисел $⁠ 1 / a (k) ⁠$ расходится.

Гипотеза Эрдеша об арифметических прогрессиях утверждает, что если сумма обратных чисел членов множества $A$ натуральных чисел расходится, то $A$ содержит арифметические прогрессии любой длины, какой бы большой она ни была. По состоянию на 2020 год ^[update] гипотеза остается недоказанной.

См. также

Ссылки

^ Если здесь не указано, ссылки приведены в связанных статьях.
^ Борсос, Берталан; Ковач, Аттила; Тиханьи, Норберт (1 сентября 2022 г.). «Точные верхняя и нижняя границы обратной суммы простых чисел Прота». Журнал Рамануджана . 59 (1): 181–198. дои : 10.1007/s11139-021-00536-2 . hdl : 10831/83020 . S2CID 246024152 .
^ Вайсштейн, Эрик В. «Совершенная сила» . Математический мир .
^ Голомб, Юго-Запад (1970). «Мощные цифры». Американский математический ежемесячник . 77 (8): 848–852. дои : 10.2307/2317020 . JSTOR 2317020 .

[1] Если здесь не указано, ссылки приведены в связанных статьях.

[2] Борсос, Берталан; Ковач, Аттила; Тиханьи, Норберт (1 сентября 2022 г.). «Точные верхняя и нижняя границы обратной суммы простых чисел Прота». Журнал Рамануджана . 59 (1): 181–198. дои : 10.1007/s11139-021-00536-2 . hdl : 10831/83020 . S2CID 246024152 .

[3] Вайсштейн, Эрик В. «Совершенная сила» . Математический мир .

[4] Голомб, Юго-Запад (1970). «Мощные цифры». Американский математический ежемесячник . 77 (8): 848–852. дои : 10.2307/2317020 . JSTOR 2317020 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]