Последовательность без сумм

В математике последовательность без сумм — это возрастающая последовательность натуральных чисел ,

a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,

такой, что нет термина $a_{n}$ может быть представлено как сумма любого подмножества предыдущих элементов последовательности.

Это отличается от набора без сумм , где следует избегать только пар сумм, но где эти суммы могут быть взяты из всего набора, а не только из предыдущих членов.

Пример

Силы двоих ,

1, 2, 4, 8, 16, ...

образуют последовательность без сумм: каждый член последовательности на один больше, чем сумма всех предыдущих членов, и поэтому не может быть представлен как сумма предыдущих членов.

Суммы обратных величин

Набор целых чисел называется малым , если сумма обратных ему чисел сходится к конечному значению. Например, по теореме о простых числах простые числа не малы. Пол Эрдеш ( 1962 ) доказал , что каждая последовательность без сумм мала, и спросил, насколько большой может быть сумма обратных величин. Например, сумма обратных степеней двойки ( геометрическая прогрессия ) равна двум.

Если $R$ обозначает максимальную сумму обратных величин последовательности без сумм, то в результате последующих исследований становится известно, что $2.0654<R<2.8570$ . ^[1]

Плотность

Из того факта, что последовательности без сумм малы, следует, что они имеют нулевую плотность Шнирельмана ; то есть, если $A(x)$ определяется как количество элементов последовательности, которые меньше или равны $x$ , затем $A(x)=o(x)$ . Эрдеш (1962) показал, что для каждой последовательности без сумм существует неограниченная последовательность чисел. $x_{i}$ для чего $A(x_{i})=O(x^{\varphi -1})$ где $\varphi$ является золотым сечением , и он продемонстрировал последовательность без сумм, для которой для всех значений $x$ , $A(x)=\Omega (x^{2/7})$ , впоследствии улучшенный до $A(x)=\Omega (x^{1/3})$ Дешуйерсом, Эрдешем и Мелфи в 1999 году и $A(x)=\Omega (x^{1/2-\varepsilon })$ Лучаком и Шеном в 2000 году, которые также доказали, что показатель степени 1/2 не подлежит дальнейшему улучшению.

Примечания

^ Левин и О'Салливан (1977) ; Эбботт (1987) ; Ян (2009) ; Чен (2013) ; Ян (2015) ; .

Ссылки

Эбботт, Х.Л. (1987), «О последовательностях без сумм», Acta Arithmetica , 48 (1): 93–96, doi : 10.4064/aa-48-1-93-96 , MR 0893466 .
Чен, Юн Гао (2013), «Об обратной сумме последовательности без сумм», Science China Mathematics , 56 (5): 951–966, Bibcode : 2013ScChA..56..951C , doi : 10.1007/s11425- 012-4540-6 , S2CID 124005748 .
Дешуйе, Жан-Марк ; Эрдеш, Пал ; Мелфи, Джузеппе (1999), «К вопросу о последовательностях без сумм», Discrete Mathematics , 200 (1–3): 49–54, doi : 10.1016/s0012-365x(98)00322-7 , MR 1692278 .
Эрдеш, Пал (1962), «Некоторые замечания по теории чисел, III. Некоторые замечания по теории чисел , III] (PDF) , Matematikai Lapok (на венгерском языке), 13 : 28–38, MR 0144871 .
Левин, Юджин; О'Салливан, Джозеф (1977), «Верхняя оценка обратной суммы последовательности без сумм», Acta Arithmetica , 34 (1): 9–24, doi : 10.4064/aa-34-1-9-24 , МР 0466016 .
Лузак, Томаш; Шен, Томаш (2000), «О максимальной плотности множеств без сумм», Acta Arithmetica , 95 (3): 225–229, doi : 10.4064/aa-95-3-225-229 , MR 1793162 .
Ян, Ши Чун (2009), «Примечание об обратной сумме последовательности без сумм», Journal of Mathematical Research and Exposition , 29 (4): 753–755, MR 2549677 .
Ян, Ши Чун (2015), «Верхняя оценка обратной суммы Эрдеша последовательности без сумм», Scientia Sinica Mathematica , 45 (3): 213–232, doi : 10.1360/N012014-00121 .

[1] Левин и О'Салливан (1977) ; Эбботт (1987) ; Ян (2009) ; Чен (2013) ; Ян (2015) ; .

[1]