Набор без суммы

В аддитивной комбинаторике и теории чисел подмножество A , абелевой группы G называется сумм если сумма A + A пересекается не с A. свободным от Другими словами, A не содержит сумм, если уравнение $a+b=c$ не имеет решения с $a,b,c\in A$.

Например, набор нечетных чисел без сумм представляет собой подмножество целых чисел , а набор { N + 1, ..., 2 N } образует большое подмножество без сумм набора {1, ..., 2 Н }. Великая теорема Ферма — это утверждение, что для данного целого числа n > 2 множество всех ненулевых n ^й степени целых чисел представляет собой множество без сумм.

Вот некоторые основные вопросы, которые задавались о множествах без сумм:

• Сколько подмножеств {1, ..., N существует } без сумм для целого числа N ? Бен Грин показал что ответ $O(2^{N/2})$, как предсказывает гипотеза Кэмерона-Эрдеша .
• Сколько множеств без сумм содержит абелева группа G ?
• Каков размер наибольшего множества без сумм, которое содержит абелева группа G ?

Множество без сумм называется максимальным, если оно не является собственным подмножеством другого множества без сумм.

Позволять $f:[1,\infty )\to [1,\infty )$ определяться $f(n)$ это самое большое число $k$ такое, что любое подмножество $[1,\infty )$ размера n имеет подмножество размера k без сумм . Функция субаддитивности субаддитивна , и по лемме Фекете о $\lim _{n}{\frac {f(n)}{n}}$ существует. Эрдеш доказал , что $\lim _{n}{\frac {f(n)}{n}}\geq {\frac {1}{3}}$и предположил , что равенство имеет место. Это доказали Эберхард, Грин и Маннерс.

См. также

• Теорема Эрдеша – Семереди
• Последовательность без сумм