серия Кемпнера

Кемпнера Серия представляет собой модификацию гармонического ряда , образованного путем исключения всех членов, знаменатель которых, выраженный по основанию 10, содержит цифру 9. То есть это сумма

${\sideset {}{'}\sum _{n=1}^{\infty }}{\frac {1}{n}}$

где штрих указывает, что n принимает только значения, десятичное представление которых не содержит девяток. Впервые эту серию изучил А. Дж. Кемпнер в 1914 году. Сериал противоречивый потому что, в отличие от гармонического ряда, он сходится. Кемпнер показал, что сумма этого ряда меньше 90. Бэйли показал, что, округлив до 20 десятичных знаков, фактическая сумма равна 22,92067 66192 64150 34816. (последовательность A082838 в OEIS ).

Эвристически этот ряд сходится, поскольку большинство больших целых чисел содержат каждую цифру. Например, случайное 100-значное целое число с большой вероятностью будет содержать хотя бы одну цифру «9», что приведет к его исключению из приведенной выше суммы.

Шмельцер и Бэйли нашел эффективный алгоритм для более общей проблемы любой пропущенной строки цифр. Например, сумма ⁠ 1 / n ⁠, где n не имеет экземпляров «42», составляет около 228,44630 41592 30813 25415 . Другой пример: сумма ⁠ 1 / n ⁠, где n не встречается в строке цифр «314159», составляет около 2302582,33386 37826 07892 02376 . (Все значения округляются до последнего десятичного знака.)

Конвергенция

Доказательство сходимости Кемпнера повторяется в некоторых учебниках, например Харди и Райта, а также появляется как упражнение в Апостоле. Сгруппируем члены суммы по количеству цифр в знаменателе. Количество n -значных натуральных чисел, в которых нет цифры, равной '9', равно 8 × 9. ^{п -1} потому что существует 8 вариантов выбора (от 1 до 8) для первой цифры и 9 независимых вариантов (от 0 до 8) для каждой из остальных n -1 цифр. Каждое из этих чисел без цифры «9» больше или равно 10. ^{п -1} , поэтому обратное каждому из этих чисел меньше или равно 10 ^{1− н} . Следовательно, вклад этой группы в сумму обратных величин меньше 8 × ( ⁠ 9 / 10 ⁠ ) ^{п -1} . Поэтому вся сумма обратных величин не более

$8\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {9}{10}}\right)^{n-1}=80.$

Тот же аргумент работает для любой пропущенной ненулевой цифры. Количество n -значных натуральных чисел, не имеющих «0», равно 9. ^н , поэтому сумма ⁠ 1 / n ⁠ где n не имеет цифры «0», не более

$9\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {9}{10}}\right)^{n-1}=90.$

Ряд также сходится, если опустить строки из k цифр, например, если мы опустим все знаменатели, имеющие десятичную строку 42. Это можно доказать почти таким же способом. Сначала мы заметим, что мы можем работать с числами по основанию 10. ^к и опустите все знаменатели, в которых данная строка является «цифрой». Аналогичный аргумент для случая с основанием 10 показывает, что этот ряд сходится. Теперь, вернувшись к десятичной системе счисления, мы видим, что этот ряд содержит все знаменатели, в которых отсутствует данная строка, а также знаменатели, включающие ее, если она не находится на границе « k - цифр». Например, если мы опустим 42, в ряду по основанию 100 будут пропущены 4217 и 1742, но не 1427, поэтому он больше, чем ряд, в котором отсутствуют все 42.

Фархи рассматривается обобщенный ряд Кемпнера, а именно суммы S ( d , n ) обратных натуральных чисел, которые имеют ровно n экземпляров цифры d, где 0 ≤ d ≤ 9 (так что исходный ряд Кемпнера равен S (9, 0 )). Он показал, что для каждого d последовательность значений S ( d , n ) для n ≥ 1 убывает и сходится к 10 ln 10. Последовательность, вообще говоря, не убывает, начиная с n = 0; например, для исходного ряда Кемпнера имеем S (9, 0) ≈ 22,921 < 23,026 ≈ 10 ln 10 < S (9, n ) для n ≥ 1.

Методы аппроксимации

Ряд сходится крайне медленно. Бэйли отмечает, что после суммирования 10 ²⁴ с точки зрения остатка по-прежнему больше 1.

Верхняя граница в 80 очень приблизительна. В 1916 году Ирвин показал, что значение ряда Кемпнера находится между 22,4 и 23,3 после уточнения до значения, указанного выше, 22,92067...

Бэйли считали сумму обратных j -й степени одновременно для всех j . Он разработал рекурсию, которая выражает вклад j -й степени блока ( k + 1)-цифр через все вклады более высоких степеней блока k -цифр. Следовательно, при небольшом объеме вычислений исходный ряд (который представляет собой значение для j = 1, суммированное по всем k можно точно оценить ).

Обобщения Ирвина результатов Кемпнера

В 1916 году Ирвин также обобщил результаты Кемпнера.Пусть k — целое неотрицательное число.Ирвин доказал, что сумма 1/ n , где n, имеет не более k вхождений любой цифры d. является сходящимся рядом.

Например, сумма 1/ n , где n имеет не более одной девятки, является сходящимся рядом.Но сумма 1/ n, где n не имеет девятки, сходится.Следовательно, сумма 1/ n , где n имеет ровно одну девятку, также сходится.Бэйли показал, что сумма этого последнего ряда составляет около 23,04428 70807 47848 31968 .

См. также

• Маленький набор
• Список сумм обратных величин

Внешние ссылки

• «Суммирование любопытных, медленно сходящихся, гармонических подрядов» . Препринт статьи Томаса Шмельцера и Роберта Бэйли.
• «Подведение итогов любопытной (медленно сходящейся) серии Кемпнера» . Пакет Mathematica Томаса Шмельцера и Роберта Бэйли, реализующий их алгоритм.