Теорема Гольдбаха – Эйлера

В математике теорема Гольдбаха -Эйлера (также известная как теорема Гольдбаха ) утверждает, что сумма 1/( p - 1) по множеству совершенных степеней p , исключая 1 и опуская повторения, сходится к 1:

\sum _{p}^{\infty }{\frac {1}{p-1}}={{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{26}}+{\frac {1}{31}}}+\cdots =1.

Этот результат был впервые опубликован в Эйлера 1737 году в статье « Вариативные наблюдения около бесконечной серии ». Эйлер приписал результат письму (ныне утерянному) Гольдбаха .

Доказательство

Первоначальное доказательство Гольдбаха Эйлеру включало присвоение константы гармоническому ряду : $\textstyle x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ , который расходится . Такое доказательство не считается строгим по современным стандартам. Существует сильное сходство между методом отсеивания степеней, использованным в его доказательстве, и методом факторизации, использованным для вывода формулы произведения Эйлера для дзета-функции Римана .

Позволять $x$ быть предоставлено

x=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+\cdots

Поскольку сумма обратной каждой степени двойки равна $\textstyle 1={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots$ , вычитая члены со степенями 2 из $x$ дает

x-1=1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{11}}+\cdots

Повторите процесс с членами со степенями 3: $\textstyle {\frac {1}{2}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{81}}+\cdots$

x-1-{\frac {1}{2}}=1+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{12}}+\cdots

В приведенной выше сумме теперь отсутствуют все члены со степенями 2 и 3. Продолжайте удалять члены со степенями 5, 6 и т. д., пока правая часть не будет исчерпана до значения 1. В конечном итоге мы получим уравнение

x-1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{9}}-\cdots =1

который мы перегруппируем в

x-1=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{9}}+\cdots

где знаменатели состоят из всех положительных целых чисел, которые не являются степенями минус 1. Вычитая предыдущее уравнение из определения $x$ учитывая выше, получаем

1={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{26}}+{\frac {1}{31}}+\cdots

где знаменатели теперь состоят только из совершенных степеней минус 1.

Несмотря на отсутствие математической строгости, доказательству Гольдбаха предоставляется достаточно интуитивный аргумент в пользу истинности теоремы. Строгие доказательства требуют правильного и более тщательного обращения с расходящимися членами гармонического ряда. В других доказательствах используется тот факт, что сумма 1/( p − 1) по множеству совершенных степеней p , исключая 1, но включая повторения, сходится к 1, демонстрируя эквивалентность:

\sum _{p}^{\infty }{\frac {1}{p-1}}=\sum _{m=2}^{\infty }\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{n}}}=1.

См. также

Ссылки

Виадер, Пилигрим; Бибилони, Луи; Паради, Жауме (2006). «О серии Гольдбаха и Эйлера» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 113 (3): 206–220. дои : 10.2307/27641889 . HDL : 10230/382 . JSTOR 27641889 . .
Грэм, Рональд ; Дональд Кнут ; Орен Паташник (1988). Конкретная математика . Аддисон-Уэсли. ISBN 0-201-14236-8 .