Идеальная мощность

Чтобы узнать о скаковой лошади, см. « Совершенная сила» .

Демонстрация с помощью палочек Кюизенера совершенной силовой природы чисел 4, 8 и 9.

В математике совершенная степень — это натуральное число , являющееся произведением равных натуральных множителей, или, другими словами, целое число , которое можно выразить в виде квадрата или большей целой степени другого целого числа, большего единицы. Более формально, n является полной степенью, если существуют натуральные числа m > 1 и k > 1 такие, что m ^к = п . В этом случае n можно назвать идеальной k- й степенью . Если k = 2 или k = 3, то n называется совершенным квадратом или совершенным кубом соответственно. Иногда 0 и 1 также считаются совершенными степенями (0 ^к = 0 для любого k > 0, 1 ^к = 1 для любого k ).

Примеры и суммы

Последовательность идеальных степеней может быть сгенерирована путем перебора возможных значений m и k . Первые несколько возрастающих совершенных степеней в числовом порядке (с указанием повторяющихся степеней) (последовательность A072103 в OEIS ):

$2^{2}=4,\ 2^{3}=8,\ 3^{2}=9,\ 2^{4}=16,\ 4^{2}=16,\ 5^{2}=25,\ 3^{3}=27,$ $2^{5}=32,\ 6^{2}=36,\ 7^{2}=49,\ 2^{6}=64,\ 4^{3}=64,\ 8^{2}=64,\dots$

Сумма 3 обратных величин совершенных полномочий (включая дубликаты, такие как ⁴ и 9 ² , оба из которых равны 81) равно 1:

$\sum _{m=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=1.$

что можно доказать следующим образом:

$\sum _{m=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}\left({\frac {m}{m-1}}\right)=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m(m-1)}}=\sum _{m=2}^{\infty }\left({\frac {1}{m-1}}-{\frac {1}{m}}\right)=1\,.$

Первые совершенные степени без дубликатов:

(иногда 0 и 1), 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256 , 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, 512, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1000, 1024, ... (последовательность A001597 в OEIS )

Сумма обратных величин совершенных степеней p без дубликатов равна:

$\sum _{p}{\frac {1}{p}}=\sum _{k=2}^{\infty }\mu (k)(1-\zeta (k))\approx 0.874464368\dots$

где µ( k ) — функция Мёбиуса , а ζ( k ) — дзета-функция Римана .

Согласно Эйлеру , Гольдбах показал (в ныне утерянном письме), что сумма ⁠ 1 / p − 1 ⁠ по множеству совершенных степеней p , исключая 1 и исключая дубликаты, равно 1:

$\sum _{p}{\frac {1}{p-1}}={{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{26}}+{\frac {1}{31}}}+\cdots =1.$

Иногда это называют теоремой Гольдбаха-Эйлера .

Обнаружение совершенных способностей

Определить, является ли данное натуральное число n совершенной степенью, можно разными способами с разным уровнем сложности . Один из самых простых таких методов — рассмотреть все возможные значения k для каждого из делителей n , вплоть до $k\leq \log _{2}n$. Итак, если делители $n$ являются $n_{1},n_{2},\dots ,n_{j}$ тогда одно из значений $n_{1}^{2},n_{2}^{2},\dots ,n_{j}^{2},n_{1}^{3},n_{2}^{3},\dots$ должно быть равно n, если n действительно является совершенной степенью.

Этот метод можно сразу упростить, рассматривая вместо этого только простые значения k . Это потому, что если $n=m^{k}$ для композита $k=ap$ где p — простое число, то это можно просто переписать как $n=m^{k}=m^{ap}=(m^{a})^{p}$. Благодаря этому результату минимальное значение k обязательно должно быть простым.

полная факторизация n , скажем Если известна $n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{r}^{\alpha _{r}}$ где $p_{i}$ — различные простые числа, то n — совершенная степень тогда и только тогда, когда $\gcd(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{r})>1$ где НОД обозначает наибольший общий делитель . В качестве примера рассмотрим n = 2 ⁹⁶ ·3 ⁶⁰ ·7 ²⁴ . Поскольку gcd(96, 60, 24) = 12, n является идеальной 12-й степенью (и идеальной 6-й степенью, 4-й степенью, кубом и квадратом, поскольку 6, 4, 3 и 2 делят 12).

Разрывы между совершенными полномочиями

В 2002 году румынский математик Преда Михайлеску доказал, что единственная пара последовательных совершенных степеней равна 2. ³ = 8 и 3 ² = 9, что доказывает гипотезу Каталана .

Гипотеза Пиллаи утверждает, что для любого данного положительного целого числа k существует только конечное число пар совершенных степеней, разность которых равна k . Это нерешенная проблема.

См. также

• Основная власть

Ссылки

• Дэниел Дж. Бернштейн (1998). «Обнаружение совершенных степеней практически за линейное время» (PDF) . Математика вычислений . 67 (223): 1253–1283. дои : 10.1090/S0025-5718-98-00952-1 .

Внешние ссылки

• Луис Бибилони, Пелегри Виадер и Хауме Парадис, О серии Гольдбаха и Эйлера, 2004 г. (PDF)