Задача Эрдеша – Грэма

В комбинаторной теории чисел проблема Эрдеша –Грэма — это проблема доказательства того, что если множество $\{2,3,4,\dots \}$ целых чисел больше единицы разбивается на конечное число подмножеств, то одно из подмножеств можно использовать для формирования в египетской дроби представления единицы . То есть для каждого $r>0$и каждый $r$-раскраска целых чисел больше единицы, существует конечное одноцветное подмножество $S$ таких целых чисел, что

$\sum _{n\in S}{\frac {1}{n}}=1.$

Более подробно Пол Эрдеш и Рональд Грэм предположили, что для достаточно больших $r$, крупнейший член $S$ может быть ограничено $b^{r}$ для некоторой константы $b$ независимо от $r$. Было известно, что для того, чтобы это было правдой, $b$ должна быть не ниже постоянной Эйлера $e$.

Эрни Крут доказал эту гипотезу в рамках своей докторской диссертации. а позже (будучи постдокторантом в Калифорнийском университете в Беркли ) опубликовал доказательство в «Анналах математики» . Значение, которое Крут дает для $b$ очень велик: это самое большее $e^{167000}$. Результат Крута является следствием более общей теоремы, утверждающей существование египетских дробных представлений единицы для множеств. $C$ гладких чисел в интервалах вида $[X,X^{1+\delta }]$, где $C$ содержит достаточно много чисел, чтобы сумма обратных им чисел была не менее шести. Гипотеза Эрдеша-Грэма следует из этого результата, показывая, что можно найти интервал этой формы, в котором сумма обратных величин всех гладких чисел не менее $6r$; следовательно, если целые числа $r$-цветные должны иметь однотонное подмножество $C$ удовлетворяющее условиям теоремы Крута.

Более сильная форма результата, заключающаяся в том, что любой набор целых чисел с положительной верхней плотностью включает в себя знаменатели египетской дроби, представляющей единицу, была анонсирована в 2021 году Томасом Блумом , постдокторантом Оксфордского университета .

См. также

• Догадки Эрдеша

Внешние ссылки

• Веб-страница Эрни Крута