Экспоненциальный факториал

Экспоненциальный факториал — это целое положительное число n, возведенное в степень — 1 n , которая, в свою очередь, возводится в степень n — 2, и так далее в порядке правой группировки. То есть,

$n^{(n-1)^{(n-2)\cdots }}$

Экспоненциальный факториал также можно определить с помощью рекуррентного соотношения

$a_{1}=1,\quad a_{n}=n^{a_{n-1}}$

Первые несколько экспоненциальных факториалов — это 1 , 2 , 9 , 262144 , ... ( OEIS : A049384 или OEIS : A132859 ). Например, 262144 является экспоненциальным факториалом, поскольку

$262144=4^{3^{2^{1}}}$

Используя рекуррентное соотношение, первые экспоненциальные факториалы:

1

2 ¹ = 2

3 ² = 9

4 ⁹ = 262144

5 ²⁶²¹⁴⁴ = 6206069878...8212890625 (183231 цифра)

Экспоненциальные факториалы растут гораздо быстрее, чем обычные факториалы или даже гиперфакториалы . Количество цифр в экспоненциальном факториале числа 6 составляет примерно 5 × 10. ^183 230 .

Сумма обратных экспоненциальных факториалов, начиная с 1, представляет собой следующее трансцендентное число :

${\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2^{1}}}+{\frac {1}{3^{2^{1}}}}+{\frac {1}{4^{3^{2^{1}}}}}+{\frac {1}{5^{4^{3^{2^{1}}}}}}+{\frac {1}{6^{5^{4^{3^{2^{1}}}}}}}+\ldots =1.611114925808376736\underbrace {111111111111\ldots 111111111111} _{183212}272243682859\ldots$

Эта сумма трансцендентна, поскольку является числом Лиувилля .

Как и тетрация , в настоящее время не существует общепринятого метода расширения экспоненциальной факториальной функции до вещественных и комплексных значений ее аргумента, в отличие от факториальной функции, для которой такое расширение обеспечивается гамма-функцией . Но его можно расширить, если он определен в полосе шириной 1.

Точно так же существуют разногласия по поводу подходящего значения 0; любое значение будет соответствовать рекурсивному определению. Плавное расширение до реальных удовлетворило бы $f(0)=f'(1)$, что предполагает значение строго между 0 и 1.

Ссылки

• Джонатан Сондоу, « Экспоненциальный факториал » из Mathworld , веб-ресурса Wolfram.