Гипотеза Лендера, Паркина и Селфриджа

Гипотеза Ландера , Паркина и Селфриджа касается целочисленных решений уравнений, содержащих суммы одинаковых степеней. Уравнения являются обобщением уравнений, рассмотренных в Великой теореме Ферма . Гипотеза состоит в том, что если сумма некоторых k -ых степеней равна сумме некоторых других k -ых степеней, то общее количество членов в обеих суммах должно быть не менее k .

Фон

Диофантовы уравнения , такие как целочисленная версия уравнения a ² + б ² = с ² которые фигурируют в теореме Пифагора изучались на предмет свойств целочисленного решения , веками . Великая теорема Ферма утверждает, что для степеней больше 2 уравнение a ^к + б ^к = с ^к не имеет решений в ненулевых целых числах a , b , c . Увеличение количества членов с одной или обеих сторон и допущение более высоких степеней, чем 2, привело Леонарда Эйлера к предположению в 1769 году, что для всех целых чисел n и k больше 1, если сумма n k- х степеней положительных целых чисел равна сам по себе является k -й степенью, то n больше или равно k .

В символах, если $\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=b^{k}$где n > 1 и $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},b$ являются целыми положительными числами, то его гипотеза заключалась в том, что n ≥ k .

В 1966 году контрпример к гипотезе Эйлера о сумме степеней нашли Леон Дж. Ландер и Томас Р. Паркин для k = 5:

27 ⁵ + 84 ⁵ + 110 ⁵ + 133 ⁵ = 144 ⁵ .

В последующие годы были найдены и другие контрпримеры , в том числе и для k = 4. Последние опровергли более конкретную гипотезу Эйлера о квартике , а именно о том, что ⁴ + б ⁴ + с ⁴ = д ⁴ не имеет целочисленных положительных решений. Фактически, наименьшее решение, найденное в 1988 году, таково:

414560 ⁴ + 217519 ⁴ + 95800 ⁴ = 422481 ⁴ .

Гипотеза

В 1967 году Л. Дж. Ландер, Т. Р. Паркин и Джон Селфридж предположили, что что если $\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=\sum _{j=1}^{m}b_{j}^{k}$, где a _i ≠ b _j — положительные целые числа для всех 1 ≤ i ≤ n и 1 ≤ j ≤ m , тогда m + n ≥ k . Формула равной суммы одинаковых степеней часто сокращается как ( k , m , n ).

Небольшие примеры с $m=n={\frac {k}{2}}$ (относящиеся к обобщенному номеру такси ) включают $59^{4}+158^{4}=133^{4}+134^{4}$ (известный Эйлеру) и $3^{6}+19^{6}+22^{6}=10^{6}+15^{6}+23^{6}$ (найден К. Суббой Рао в 1934 г.).

В частном случае m = 1 из этой гипотезы следует, что если $$\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=b^{k}$$(при данных выше условиях) тогда n ≥ k − 1.

Интерпретация числа Платона - решение для k = 3.

Для этого особого случая m = 1 некоторые из известных решений, удовлетворяющих предложенному ограничению с n ≤ k , где члены являются положительными целыми числами , что, следовательно, дает разбиение степени на одинаковые степени:

к = 3

3 ³ + 4 ³ + 5 ³ = 6 ³ .

к = 4

95800 ⁴ + 217519 ⁴ + 414560 ⁴ = 422481 ⁴ , (Роджер Фрай, 1988)

30 ⁴ + 120 ⁴ + 272 ⁴ + 315 ⁴ = 353 ⁴ , (Р. Норри, 1911)

Из Великой теоремы Ферма следует, что при k = 4 гипотеза верна.

к = 5

27 ⁵ + 84 ⁵ + 110 ⁵ + 133 ⁵ = 144 ⁵ , (Ландер, Паркин, 1966)

7 ⁵ + 43 ⁵ + 57 ⁵ + 80 ⁵ + 100 ⁵ = 107 ⁵ , (Састри, 1934, третий по величине)

к = 6

(Неизвестно. По состоянию на 2002 год не существует решений, конечный член которых составляет ≤ 730000. )

к = 7

127 ⁷ + 258 ⁷ + 266 ⁷ + 413 ⁷ + 430 ⁷ + 439 ⁷ + 525 ⁷ = 568 ⁷ , (М. Додрилл, 1999)

к = 8

90 ⁸ + 223 ⁸ + 478 ⁸ + 524 ⁸ + 748 ⁸ + 1088 ⁸ + 1190 ⁸ + 1324 ⁸ = 1409 ⁸ , (Скотт Чейз, 2000)

к ≥ 9

(Ничего неизвестно.)

Текущий статус

Неизвестно, верна ли эта гипотеза или существуют нетривиальные решения, которые были бы контрпримерами, например ^к + б ^к = с ^к + д ^к для к ≥ 5.

См. также

• Гипотеза Била
• Гипотеза Ферма – Каталана
• Уравнение Якоби–Мэддена
• Список нерешенных задач по математике
• Экспериментальная математика (противоположные примеры гипотезе Эйлера о сумме степеней, особенно наименьшее решение для k = 4)
• Задача Пруэ–Тэрри–Эскотта
• Пифагорова четверка
• Суммы степеней , список связанных гипотез и теорем

Ссылки

• Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел . Задачи по математике (3-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag . Д1. ISBN  0-387-20860-7 . Збл   1058.11001 .

Внешние ссылки

• EulerNet: вычисление минимальных равных сумм одинаковых степеней
• Ярослав Вроблевский О равных суммах одинаковых степеней.
• Тито Пьесас III: Коллекция алгебраических тождеств
• Вайсштейн, Эрик В. «Диофантово уравнение — 5-я степень» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Диофантово уравнение — 6-я степень» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Диофантово уравнение — 7-я степень» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Диофантово уравнение — восьмая степень» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Гипотеза Эйлера о сумме степеней» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Гипотеза Эйлера о четвертой степени» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Диофантово уравнение — четвертые степени» . Математический мир .
• Гипотеза Эйлера на Library.thinkquest.org
• Простое объяснение гипотезы Эйлера по математике полезно для вас!
• Математики находят новые решения древней загадки
• Эд Пегг-младший. Суммы степеней , математические игры