Обобщенный номер такси

Нерешенная задача по математике :

Существует ли число, которое можно выразить в виде суммы двух положительных пятых степеней хотя бы двумя разными способами, т. е.

a^{5}+b^{5}=c^{5}+d^{5}

?

(еще нерешенные задачи по математике)

В теории чисел обобщенный номер такси $Taxicab(k, j, n)$ — это наименьшее число (если оно существует) которое можно выразить как сумму чисел $j$ в $k$ -й положительной степени различными $n$ способами. Для $k = 3$ и $j = 2$ они совпадают с номером такси .

${\begin{aligned}\mathrm {Taxicab} (1,2,2)&=4=1+3=2+2\\\mathrm {Taxicab} (2,2,2)&=50=1^{2}+7^{2}=5^{2}+5^{2}\\\mathrm {Taxicab} (3,2,2)&=1729=1^{3}+12^{3}=9^{3}+10^{3}\end{aligned}}$

Последний пример относится к 1729 году , как впервые отметил Рамануджан .

Эйлер показал, что

$\mathrm {Taxicab} (4,2,2)=635318657=59^{4}+158^{4}=133^{4}+134^{4}.$

Однако $Taxicab(5, 2, n)$ неизвестен ни для одного $n \geq 2$ :
Неизвестно ни одно положительное целое число , которое можно было бы записать в виде суммы двух пятых степеней более чем одним способом, и неизвестно, существует ли такое число. ^[1]

См. также

Номер такси

Ссылки

^ Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел (Третье изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк, США: Springer-Science+Business Media, Inc. ISBN 0-387-20860-7 .

Экл, Рэнди Л. (1998). «Новые результаты в равных суммах одинаковых степеней» . Математика. Комп . 67 (223): 1309–1315. дои : 10.1090/S0025-5718-98-00979-X . МР 1474650 .

Внешние ссылки

[1] Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел (Третье изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк, США: Springer-Science+Business Media, Inc. ISBN 0-387-20860-7 .

[1]