Структурная жесткость
В дискретной геометрии и механике соединенными структурная жесткость представляет собой комбинаторную теорию для прогнозирования гибкости ансамблей, образованных твердыми телами, гибкими связями или шарнирами .
Определения
[ редактировать ]Жесткость – это свойство конструкции, заключающееся в том, что она не изгибается и не изгибается под действием приложенной силы. Противоположностью жесткости является гибкость . В теории структурной жесткости конструкции образуются совокупностью объектов, которые сами являются твердыми телами, часто предполагающими, что они принимают простые геометрические формы, такие как прямые стержни (отрезки линий), с парами объектов, соединенных гибкими шарнирами. Конструкция является жесткой, если она не может сгибаться; то есть при отсутствии непрерывного движения конструкции, сохраняющего форму ее жестких элементов и схему их соединения на шарнирах.
Есть два принципиально разных вида жесткости. Конечная или макроскопическая жесткость означает, что конструкция не будет изгибаться, складываться или изгибаться на положительную величину. Бесконечно малая жесткость означает, что конструкция не прогнется даже на величину, слишком малую, чтобы ее можно было обнаружить даже теоретически. (Технически это означает, что некоторые дифференциальные уравнения не имеют ненулевых решений.) Важность конечной жесткости очевидна, но бесконечно малая жесткость также имеет решающее значение, поскольку бесконечно малая гибкость в теории соответствует незначительному изгибу в реальном мире и, как следствие, разрушению конструкции.
— Жесткий граф это вложение графа . в евклидово пространство структурно жесткое [1] То есть граф является жестким, если структура, образованная заменой ребер жесткими стержнями, а вершин гибкими шарнирами, является жесткой. Граф, который не является жестким, называется гибким . Более формально, встраивание графа является гибким, если вершины можно перемещать непрерывно, сохраняя расстояния между соседними вершинами, в результате чего расстояния между некоторыми несмежными вершинами изменяются. [2] Последнее условие исключает евклидовы сравнения, такие как простой перевод и вращение.
Также можно рассматривать проблемы жесткости для графов, в которых некоторые ребра представляют собой элементы сжатия (способные растягиваться до большей длины, но не сжиматься до меньшей длины), в то время как другие ребра представляют собой элементы растяжения (способные сжиматься, но не растягиваться). Жесткий граф с ребрами этих типов образует математическую модель структуры тенсегрити .
Математика жесткости
[ редактировать ]
Фундаментальная проблема заключается в том, как с помощью теоретического анализа предсказать жесткость конструкции без необходимости ее строительства. Ключевые результаты в этой области включают в себя следующее:
- В любом измерении жесткость стержнешарнирных связей описывается матроидом . Базисами двумерного матроида жесткости (минимально жестких графов на плоскости) являются графы Ламана .
- Теорема Коши утверждает, что трехмерный выпуклый многогранник, построенный с жесткими пластинами на гранях, соединенными шарнирами по краям, образует жесткую конструкцию.
- Гибкие многогранники , невыпуклые многогранники, не являющиеся жесткими, были построены Раулем Брикаром , Робертом Коннелли и другими. Гипотеза о мехах , теперь доказанная, утверждает, что каждое непрерывное движение гибкого многогранника сохраняет свой объем .
- В задаче о закреплении сетки , где каркас, который необходимо сделать жестким, представляет собой квадратную сетку с добавленными диагоналями в качестве поперечных связей , жесткость структуры можно проанализировать, переведя ее в задачу о связности лежащего в основе двудольного графа . [3] [4]
Однако во многих других простых ситуациях еще не всегда известно, как математически проанализировать жесткость конструкции, несмотря на существование значительной математической теории.
История
[ редактировать ]Одним из основоположников математической теории жесткости конструкций был физик Джеймс Клерк Максвелл . В конце двадцатого века произошел расцвет математической теории жесткости, который продолжается и в двадцать первом веке.
«[А] теория равновесия и прогибов каркасов, подвергающихся действию сил, действует на твёрдые качества... в тех случаях, когда каркас... усиливается дополнительными соединительными деталями... в случаях трёх размеров, с помощью обычного метода уравнений сил каждая точка будет иметь три уравнения для определения ее равновесия, чтобы дать 3 уравнения между e неизвестными величинами, если s - количество точек, а e - количество связей [sic] Однако существует шесть уравнений равновесия системы, которые обязательно должны выполняться силами ввиду равенства действия и противодействия в каждой части. Следовательно, если е = 3 с - 6, действие любой вечной силы. будут определенными в создании напряжений или давлений в различных частях, но если е > 3 с - 6, эти силы будут неопределенными...» [5]
См. также
[ редактировать ]Примечания
[ редактировать ]- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Жесткий граф» . Математический мир .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Гибкий график» . Математический мир .
- ^ Багливо, Дженни А .; Грейвер, Джек Э. (1983), «3.10 Несущие конструкции», Распространенность и симметрия в дизайне и архитектуре , Кембриджские городские и архитектурные исследования, Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press, стр. 76–87, ISBN 9780521297844
- ^ Грейвер, Джек Э. (2001), Рассчитывая на каркасы: математика в помощь проектированию жестких конструкций , Математические экспозиции Дольчиани, том. 25, Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, ISBN. 0-88385-331-0 , МР 1843781 . См., в частности, разделы 1.2 («Проблема закрепления сетки», стр. 4–12), 1.5 («Подробнее о проблеме сетки», стр. 19–22), 2.6 («Решение проблемы сетки», стр. 50–55) и 4.4 («Тенсегрити: натяжные крепления», особенно стр. 158–161).
- ^ Максвелл, Джеймс Клирк (1864), «О обратных фигурах и диаграммах сил», Философский журнал, 4-я серия , том. 27, стр. 250–261, номер документа : 10.1080/14786446408643663.
Ссылки
[ редактировать ]- Альфаких, Абдо Ю. (2007), «О размерной жесткости стержневых каркасов», Discrete Applied Mathematics , 155 (10): 1244–1253, doi : 10.1016/j.dam.2006.11.011 , MR 2332317 .
- Коннелли, Роберт (1980), «Жесткость некоторых каркасов с тросом и жесткость второго порядка произвольно триангулированных выпуклых поверхностей», Advances in Mathematics , 37 (3): 272–299, doi : 10.1016/0001-8708(80) 90037-7 , МР 0591730 .
- Крапо, Генри (1979), «Структурная жесткость», Структурная топология (1): 26–45, 73, hdl : 2099/521 , MR 0621627 .
- Максвелл, Дж. К. (1864), «О обратных фигурах и диаграммах сил», Philosophical Magazine , 4th Series, 27 (182): 250–261, doi : 10.1080/14786446408643663 .
- Рыбников Константин; Заславский, Томас (2005), «Критерии баланса в абелевых графиках усиления с приложениями к кусочно-линейной геометрии», Discrete and Computational Geometry , 34 (2): 251–268, arXiv : math/0210052 , doi : 10.1007/s00454 -005-1170-6 , МР 2155721 , S2CID 14391276 .
- Уайтли, Уолтер (1988), «Союз матроидов и жесткость каркасов», SIAM Journal on Discrete Mathematics , 1 (2): 237–255, doi : 10.1137/0401025 , MR 0941354