Критерий Чебычева–Грюблера–Куцбаха

Критерий Чебычева , то -Грюблера-Куцбаха определяет число степеней свободы кинематической цепи есть сцепления твердых тел посредством механических связей. ^{[ 1 ]} Эти устройства также называются связями .

Критерий Кутцбаха также называют формулой подвижности , поскольку он вычисляет количество параметров, определяющих конфигурацию рычажного механизма, исходя из количества звеньев и соединений, а также степени свободы в каждом суставе.

Были разработаны интересные и полезные связи, которые нарушают формулу мобильности, используя специальные геометрические особенности и размеры, чтобы обеспечить большую мобильность, чем предсказывает эта формула. Эти устройства называются сверхограниченными механизмами .

Формула мобильности

Формула подвижности подсчитывает количество параметров, определяющих положения набора твердых тел, а затем уменьшает это число на ограничения, налагаемые суставами, соединяющими эти тела. ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

Представьте себе сферическую чайку. Отдельное неограниченное тело, парящее в 3-мерном пространстве, имеет 6 степеней свободы: 3 поступательные (скажем, x , y , z ); и 3 вращательных (скажем, крен, тангаж, рыскание).

Итак, система $n$ несвязанные твердые тела, движущиеся в пространстве (стайка $n$ парящие чайки) $6n$ степени свободы, измеренные относительно фиксированной системы координат (системы координат). Неподвижный кадр можно выбрать произвольно (наблюдатель в любом месте пляжа). Причем рамка может быть даже локальной или субъективной: с точки зрения одной из чаек мир движется вокруг нее, а она остается неподвижной. Таким образом, этот кадр можно включить в подсчет тел (вид на стайку чаек с выбранной чайки А — возможно, А стоит на пляже, возможно, А летит, но смотрит на стаю с фиксированной локальной точки зрения А) , и, таким образом, мобильность не зависит от выбора канала, который будет формировать фиксированный кадр. Тогда степень свободы этой системы равна $M=6(N-1),$ где $N=n+1$ это количество движущихся тел плюс неподвижное тело.

Суставы, соединяющие тела в этой системе, лишают степеней свободы и уменьшают подвижность. В частности, петли и ползунки налагают по пять ограничений и, следовательно, удаляют пять степеней свободы. Удобно определить количество ограничений $c$ что сустав налагает с точки зрения свободы сустава $f,$ где $c=6-f.$ В случае шарнира или ползунка, которые представляют собой соединения с одной степенью свободы, $f=1$ и поэтому $c=6-1=5.$

В результате подвижность системы, образованной из $n$ перемещение ссылок и $j$ соединяет каждый со свободой $f_{i}$ для $i=1,...,j,$ дается

M=6n-\sum _{i=1}^{j}\ (6-f_{i})=6(N-1-j)+\sum _{i=1}^{j}\ f_{i}.

Напомним, что $N$ включает фиксированную ссылку.

Есть два важных особых случая: (i) простая открытая цепь и (ii) простая закрытая цепь. Простая открытая цепочка состоит из $n$ движущиеся ссылки, соединенные встык $j$ соединения, один конец которых соединен с заземляющим соединением. Таким образом, в этом случае $N=j+1$ а подвижность цепи

M=\sum _{i=1}^{j}\ f_{i}

Для простой замкнутой цепи $n$ движущиеся ссылки соединены встык $n+1$ соединения так, что два конца соединены с заземляющим звеном, образуя петлю. В этом случае мы имеем $N=j$ а подвижность цепи

M=\sum _{i=1}^{j}\ f_{i}-6

Примером простой открытой цепи является серийный робот-манипулятор. Эти роботизированные системы состоят из ряда звеньев, соединенных шестью вращающимися или призматическими шарнирами с одной степенью свободы, поэтому система имеет шесть степеней свободы.

Примером простой замкнутой цепи является пространственная четырехзвенная связь РССР. Сумма свобод этих шарниров равна восьми, поэтому подвижность звена равна двум, где одна из степеней свободы представляет собой вращение муфты вокруг линии, соединяющей два S-образных шарнира.

Плоское и сферическое движение

Обычной практикой является проектирование системы рычагов таким образом, чтобы движение всех тел лежало в параллельных плоскостях, образуя так называемую плоскую связь . Также возможно построить систему связей так, что все тела движутся по концентрическим сферам, образуя сферическую связь . В обоих случаях степени свободы звеньев в каждой системе теперь равны трем, а не шести, а ограничения, налагаемые соединениями, теперь равны c = 3 − f .

В этом случае формула мобильности имеет вид

M=3(N-1-j)+\sum _{i=1}^{j}\ f_{i},

и особые случаи становятся

плоская или сферическая простая открытая цепь,

M=\sum _{i=1}^{j}\ f_{i},

плоская или сферическая простая замкнутая цепь,

M=\sum _{i=1}^{j}\ f_{i}-3.

Примером плоской простой замкнутой цепи является плоская четырехзвенная рычажная система , которая представляет собой четырехзвенную петлю с четырьмя шарнирами по одной степени свободы и поэтому имеет подвижность М = 1.

См. также

Примечания и ссылки

^ Хорхе Анхелес, Клиффорд Трусделл (1989). Рациональная кинематика . Спрингер. п. Глава 6, с. 78 и след. ISBN 978-0-387-96813-1 .
^ Дж. Дж. Уикер, Г. Р. Пеннок и Дж. Э. Шигли, 2003, Теория машин и механизмов, Oxford University Press, Нью-Йорк.
^ Дж. М. Маккарти и Г. С. Со, Геометрический дизайн связей, 2-е издание, Springer, 2010 г.

Внешние ссылки

[Truesdell-1] Хорхе Анхелес, Клиффорд Трусделл (1989). Рациональная кинематика . Спрингер. п. Глава 6, с. 78 и след. ISBN 978-0-387-96813-1 .

[Uicker2003-2] Дж. Дж. Уикер, Г. Р. Пеннок и Дж. Э. Шигли, 2003, Теория машин и механизмов, Oxford University Press, Нью-Йорк.

[3] Дж. М. Маккарти и Г. С. Со, Геометрический дизайн связей, 2-е издание, Springer, 2010 г.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]