Jump to content

Теория Бурместера

(Перенаправлено из теории Бурместера )

В кинематике включает теория Бурместера геометрические приемы синтеза связей . [1] Он был введен в конце 19 века Людвигом Бурместером (1840–1927). Его подход заключался в вычислении геометрических ограничений рычажного механизма непосредственно на основе желаемого изобретателем движения плавающего звена. С этой точки зрения четырехзвенная связь представляет собой плавающую связь, две точки которой вынуждены лежать на двух окружностях.

Бурместер начал с набора мест, часто называемых «позами» , для плавающего звена, которые рассматриваются как снимки ограниченного движения этого плавающего звена в проектируемом устройстве. Конструкция кривошипа для рычажного механизма теперь заключается в поиске точки в движущемся плавающем звене, траектория которой при просмотре в каждом из этих заданных положений лежит на окружности. Размер кривошипа — это расстояние от точки плавающего звена, называемой точкой вращения, до центра круга, по которому оно движется, называемого центральной точкой. [2] Два кривошипа, сконструированные таким образом, образуют желаемую четырехзвенную связь.

Эта формулировка математического синтеза четырехзвенной тяги и решения полученных уравнений известна как теория Бурместера. [3] [4] [5] Подход обобщен на синтез сферических и пространственных механизмов. [6]

Синтез конечных позиций

[ редактировать ]

Геометрическая формулировка

[ редактировать ]

Теория Бурместера ищет в движущемся теле точки, траектории которых лежат на окружности, называемой точками вращения. Дизайнер аппроксимирует желаемое движение с помощью конечного числа позиций задачи; и Бурместер показали, что круговые точки существуют для пяти рабочих позиций. Чтобы найти эти точки вращения, необходимо решить пять квадратных уравнений с пятью неизвестными, что он и сделал, используя методы начертательной геометрии. Графические конструкции Бурместера и по сей день встречаются в учебниках по теории машин.

P — полюс смещения A 1 Б 1 к А 2 Б 2

Два положения. В качестве примера рассмотрим задачу, определяемую двумя положениями соединительного звена, как показано на рисунке. Выберите две точки A и B в теле так, чтобы две их позиции определяли отрезки A. 1 Б 1 и А 2 Б 2 . Легко видеть, что A — точка окружности с центром, лежащим на серединном перпендикуляре отрезка A. 1 А 2 . Аналогично, B — это точка окружности с центром, который является любой точкой серединного перпендикуляра к B. 1 Б 2 . Четырехзвенная связь может быть построена из любой точки двух серединных перпендикуляров в качестве фиксированных шарниров, а также из точек A и B в качестве движущихся шарниров. Точка P явно особенная, потому что это шарнир, который обеспечивает чистое вращательное движение A. 1 Б 1 к А 2 Б 2 . Его называют полюсом относительного перемещения или также мгновенным центром вращения .

Три положения. Если разработчик указывает три положения задачи, то точки A и B в движущемся теле представляют собой окружные точки, каждая из которых имеет уникальную центральную точку. Центральная точка А — это центр окружности, проходящей через А. 1 , А 2 и А 3 на трех позициях. Аналогично, центральная точка B — это центр круга, проходящего через B. 1 , Б 2 и Б 3 . Таким образом, для трех положений задачи получается четырехзвенная связь для каждой пары точек А и В, выбранных в качестве движущихся шарниров.

Четыре позиции. Графическое решение задачи синтеза становится более интересным в случае четырех позиций задачи, поскольку не каждая точка тела является точкой окружности. Четыре положения задачи дают шесть полюсов относительного смещения, и Бурместер выбрал четыре, чтобы сформировать четырехугольник с противоположным полюсом, который он затем использовал для графического создания кривой вращающихся точек ( Kreispunktcurven ). Бурместер также показал, что кривая точки вращения представляет собой круговую кубическую кривую в движущемся теле.

Пять позиций: чтобы достичь пяти позиций задачи, Бурместер пересекает кривую точки окружности, созданную четырехугольником с противоположным полюсом для набора из четырех из пяти позиций задачи, с кривой точки окружности, созданную четырехугольником противоположного полюса для другого набора из четырех позиций задачи. . Пять поз подразумевают десять полюсов относительного смещения, что дает четыре различных четырехугольника с противоположными полюсами, каждый из которых имеет свою собственную кривую точки окружности. Бурместер показывает, что эти кривые будут пересекаться в четырех точках, называемых точками Бурместера , каждая из которых будет очерчивать пять точек на окружности вокруг центральной точки. Поскольку две окружные точки определяют четырехзвенную связь, эти четыре точки могут дать до шести четырехзвенных связей, которые направляют соединительное звено через пять заданных положений задачи.

Алгебраическая формулировка

[ редактировать ]

Подход Бурместера к синтезу четырехзвенной рычажной системы можно сформулировать математически, введя преобразования координат [ T i ] = [ A i , d i ], i = 1, ..., 5, где [ A ] — 2× 2 матрица вращения, а d представляет собой вектор перемещения 2×1, который определяет позиции задачи движущегося кадра M, заданные разработчиком. [6]

Целью процедуры синтеза является вычисление координат w = ( w x , w y ) движущейся опорной точки, прикрепленной к движущейся системе отсчета M , и координаты неподвижной опорной точки G = ( u , v ) в неподвижной системе отсчета F, которые обладают тем свойством, что движется по окружности радиуса R вокруг G. w Траектория w определяется пятью позициями задач, такими что

Таким образом, координаты w и G должны удовлетворять пяти уравнениям:

Устраните неизвестный радиус R, вычитая первое уравнение из остальных, чтобы получить четыре квадратных уравнения с четырьмя неизвестными:

Эти уравнения синтеза можно решить численно, чтобы получить координаты w = ( w x , w y ) и G = ( u , v ), которые определяют местонахождение неподвижных и движущихся шарниров кривошипа, который можно использовать как часть четырехзвенной рычажной системы. . Бурместер доказал, что существует не более четырех таких кривошипов, которые можно объединить, чтобы получить не более шести четырехзвенных рычагов, которые проводят муфту через пять заданных рабочих положений.

Полезно отметить, что уравнения синтеза можно преобразовать в форму:

что является алгебраическим эквивалентом условия, что неподвижный стержень G лежит на серединном перпендикуляре каждого из четырех отрезков W я Вт 1 , я = 2, ..., 5.

Синтез ввода-вывода

[ редактировать ]

Одним из наиболее распространенных применений четырехрычажной системы является стержень, соединяющий два рычага , так что вращение первого рычага приводит к вращению второго рычага. Рычаги шарнирно прикреплены к опорной раме и называются входным и выходным кривошипами , а шатун называется соединительным звеном. Подход Burmester к конструкции четырехзвенной рычажной системы можно использовать для размещения муфты таким образом, чтобы пять заданных углов входного кривошипа приводили к пяти заданным углам выходного кривошипа.

Пусть θ i , i = 1, ..., 5 будут угловыми положениями входного кривошипа, и пусть ψ i , i = 1, ..., 5 будут соответствующими углами выходного кривошипа. Для удобства найдите фиксированный шарнир входного кривошипа в начале фиксированной рамки, O = (0, 0), и пусть фиксированный шарнир выходного кривошипа будет расположен в точке C = ( c x , c y ), что выбран дизайнером. Неизвестными в этой задаче синтеза являются координаты g = ( g x , g y ) крепления муфты к входному кривошипу и координаты w = ( w x , w y ) крепления к выходному кривошипу, измеренные в соответствующих эталонные кадры.

Хотя координаты w и g неизвестны, их траектории в фиксированной системе отсчета определяются выражением:

где [A(•)] обозначает поворот на заданный угол.

Координаты w и g должны удовлетворять пяти уравнениям ограничений:

Устраните неизвестную длину соединителя R, вычитая первое уравнение из остальных, чтобы получить четыре квадратных уравнения с четырьмя неизвестными:

Эти уравнения синтеза можно решить численно, чтобы получить координаты w = ( w x , w y ) и g = ( g x , g y ), которые определяют местонахождение муфты четырехзвенной связи.

Эта формулировка синтеза ввода-вывода четырехзвенной рычажной системы представляет собой инверсию синтеза конечных положений, в которой движение выходного кривошипа относительно входного кривошипа задается конструктором. С этой точки зрения земляное звено OC представляет собой кривошип, удовлетворяющий заданным конечным положениям движения выходного кривошипа относительно входного, и результаты Бурместера показывают, что его существование гарантирует наличие хотя бы одного соединительного звена. Более того, результаты Бурместера показывают, что таких соединительных звеньев может быть целых три, которые обеспечивают желаемое соотношение ввода-вывода. [6]

  1. ^ Хартенберг, Р.С. и Дж. Денавит. Кинематический синтез связей . Нью-Йорк: McGraw-Hill, 1964. Онлайн через KMODDL .
  2. ^ Бурместер, Л. Учебник кинематики . Лейпциг: Издательство Артура Феликса, 1886 г.
  3. ^ Су, Ч. Х., и Рэдклифф, К. В. Кинематика и проектирование механизмов . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья, 1978.
  4. ^ Сандор, Г.Н., и Эрдман, А.Г. Проектирование усовершенствованного механизма: анализ и синтез . Том. 2. Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл, 1984.
  5. ^ Хант, К. Х. Кинематическая геометрия механизмов . Оксфордская серия инженерных наук, 1979.
  6. ^ Jump up to: а б с Дж. М. Маккарти и Г. С. Сох. Геометрическое проектирование связей . 2-е издание, Springer, 2010 г.

Дальнейшее чтение

[ редактировать ]
  • Ян Р. Портеус (2001) Геометрическое дифференцирование , § 3.5 Точки Бурместера, стр. 58, Cambridge University Press ISBN   0-521-00264-8 .
  • М. Чеккарелли и Т. Кётсер, Бурместер и Аллиеви: теория и ее применение для проектирования механизмов в конце XIX века , ASME, 2006 г.
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: d1d9a5e4df0a895fb6bc5080a4e21a6b__1679059260
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/d1/6b/d1d9a5e4df0a895fb6bc5080a4e21a6b.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Burmester's theory - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)