Развитие (дифференциальная геометрия)
В классической дифференциальной геометрии развитие — это катание одной гладкой поверхности по другой в евклидовом пространстве . Например, касательную плоскость к поверхности (такой как сфера или цилиндр ) в одной точке можно прокатать вокруг поверхности, чтобы получить касательную плоскость в других точках.
Характеристики
[ редактировать ]Тангенциальный контакт между поверхностями, катящимися друг по другу, обеспечивает связь между точками на двух поверхностях. Если это отношение является (возможно, только в локальном смысле) биекцией между поверхностями, то говорят, что две поверхности развертываются друг на друга или развиваются друг на друга. Другими словами, соответствие обеспечивает локальную изометрию между двумя поверхностями.
В частности, если одна из поверхностей является плоскостью, то другая называется развертывающейся поверхностью : таким образом, развертывающейся поверхностью называется поверхность, локально изометричная плоскости. Цилиндр разворачивается, а сфера — нет.
Плоские соединения
[ редактировать ]Развитие можно дополнительно обобщить, используя плоские связи. С этой точки зрения прокатка касательной плоскости по поверхности определяет аффинную связь на поверхности (оно является примером параллельного переноса по кривой ), а развертывающейся поверхностью называется та, для которой эта связь плоская.
В более общем смысле любая плоская связность Картана на многообразии определяет развитие этого многообразия на модельном пространстве . Пожалуй, самым известным примером является разработка конформно плоских n- многообразий, в которых модельным пространством является n -сфера. Развитие конформно плоского многообразия представляет собой конформный локальный диффеоморфизм универсального накрытия многообразия на n -сферу.
Неразвертывающиеся поверхности
[ редактировать ]Класс двоякокриволинейных поверхностей (неразвертывающихся поверхностей) содержит объекты, которые невозможно просто развернуть (развернуть). Такие поверхности можно разработать лишь приближенно с некоторыми искажениями линейных элементов поверхности (см. Метод растянутой сетки ).
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- Шарп, RW (1997). Дифференциальная геометрия: обобщение Картаном программы Эрлангена Клейна . Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк. ISBN 0-387-94732-9 .