Символы Кристофера

В математике и физике символы Кристоффеля представляют собой массив чисел, описывающих метрическую связь . Метрическая связь — это специализация аффинной связи с поверхностями или другими многообразиями, наделенными метрикой , позволяющая измерять расстояния на этой поверхности. В дифференциальной геометрии аффинная связность может быть определена без ссылки на метрику, и отсюда следуют многие дополнительные понятия: параллельный транспорт , ковариантные производные , геодезические и т. д. также не требуют понятия метрики. Однако, когда доступна метрика, эти концепции могут быть напрямую связаны с «формой» самого многообразия; эта форма определяется тем, как касательное пространство прикреплено к котангенсному пространству с помощью метрического тензора . Абстрактно можно было бы сказать, что многообразию соответствует связка ортонормированных » фреймов , причем каждый « фрейм является возможным выбором координатной системы координат . Инвариантная метрика подразумевает, что структурная группа расслоения фреймов является ортогональной группой O( p , q ) . В результате такое многообразие обязательно является ( псевдо ) римановым многообразием . Символы Кристоффеля дают конкретное представление о связи (псевдо-) римановой геометрии в терминах координат на многообразии. Дополнительные концепции, такие как параллельный транспорт, геодезические и т. д., могут быть затем выражены через символы Кристоффеля.

Вообще существует бесконечное число метрических связностей для данного метрического тензора ; однако существует уникальное соединение, свободное от кручения , — соединение Леви-Чивита . принято В физике и общей теории относительности работать почти исключительно со связью Леви-Чивита, работая в системах координат (называемых голономными координатами ), где кручение исчезает. Например, в евклидовых пространствах символы Кристоффеля описывают, как изменяются локальные базы координат от точки к точке.

В каждой точке основного n -мерного многообразия для любой локальной системы координат вокруг этой точки символы Кристоффеля обозначаются Γ. ^я _jk для i , j , k знак равно 1, 2, ..., n . Каждая запись этого размером n × n × n массива является действительным числом . При линейных преобразованиях координат на многообразии символы Кристоффеля преобразуются подобно компонентам тензора , но при общих преобразованиях координат ( диффеоморфизмах ) — нет. Большинство алгебраических свойств символов Кристоффеля вытекают из их отношения к аффинной связности; лишь немногие из них следуют из того факта, что структурная группа является ортогональной группой O( m , n ) (или группой Лоренца O(3, 1) для общей теории относительности).

Символы Кристоффеля используются для выполнения практических расчетов. Например, тензор кривизны Римана можно полностью выразить через символы Кристоффеля и их первые частные производные . В общей теории относительности связь играет роль гравитационного силового поля, а соответствующий гравитационный потенциал является метрическим тензором. Когда система координат и метрический тензор имеют некоторую симметрию, многие из Γ ^я _jk равны нулю .

Символы Кристоффеля названы в честь Элвина Бруно Кристоффеля (1829–1900).

Примечание

Определения, данные ниже, действительны как для римановых многообразий , так и для псевдоримановых многообразий , таких как определения общей теории относительности , с тщательным различием между верхними и нижними индексами ( контравариантными и ковариантными индексами). Формулы справедливы для любого соглашения о знаках , если не указано иное.

соглашение Эйнштейна о суммировании В этой статье используется : векторы выделены жирным шрифтом. Коэффициенты связности связности Леви-Чивита (или псевдоримановой связности), выраженные в координатном базисе, называются символами Кристоффеля .

Предварительные определения

Основная статья: Касательное пространство

Учитывая многообразие $M$атлас состоит из набора диаграмм $\varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}$ за каждую открытую крышку $U\subset M$. Такие диаграммы позволяют использовать стандартный векторный базис. $({\vec {e}}_{1},\cdots ,{\vec {e}}_{n})$ на $\mathbb {R} ^{n}$ вернуться к векторному базису в касательном пространстве $TM$ из $M$. Это делается следующим образом. Учитывая некоторую произвольную действительную функцию $f:M\to \mathbb {R}$, диаграмма позволяет градиент определить :

$\partial _{i}f\equiv {\frac {\partial \left(f\circ \varphi ^{-1}\right)}{\partial x^{i}}}\quad {\mbox{for }}i=1,\,2,\,\dots ,\,n$

Этот градиент обычно называют откатом , потому что он «оттягивает назад» градиент на $\mathbb {R} ^{n}$ к градиенту на $M$. Откат не зависит от графика $\varphi$. Таким образом, стандартный векторный базис $({\vec {e}}_{1},\cdots ,{\vec {e}}_{n})$ на $\mathbb {R} ^{n}$ возвращается к стандартному («координатному») векторному базису $(\partial _{1},\cdots ,\partial _{n})$ на $TM$. Это называется «координатным базисом», поскольку оно явно зависит от координат на $\mathbb {R} ^{n}$. Иногда его называют «локальным базисом».

Это определение допускает распространенное злоупотребление обозначениями . $\partial _{i}$ были определены как находящиеся во взаимно однозначном соответствии с базисными векторами ${\vec {e}}_{i}$ на $\mathbb {R} ^{n}$. Обозначения $\partial _{i}$ служит напоминанием о том, что базисные векторы в касательном пространстве $TM$ произошел от градиентной конструкции. Несмотря на это, эту конструкцию принято «забывать» и просто писать (вернее, определять) векторы $e_{i}$ на $TM$ такой, что $e_{i}\equiv \partial _{i}$. Полный спектр часто используемых обозначений включает использование стрелок и жирного шрифта для обозначения векторов:

$\partial _{i}\equiv {\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\equiv e_{i}\equiv {\vec {e}}_{i}\equiv \mathbf {e} _{i}\equiv {\boldsymbol {\partial }}_{i}$

где $\equiv$ используется как напоминание о том, что они определены как эквивалентные обозначения одного и того же понятия. Выбор обозначений зависит от стиля и вкуса и варьируется от текста к тексту.

Координатный базис обеспечивает векторный базис для векторных полей на $M$. Обычно используемые обозначения векторных полей на $M$ включать

$X={\vec {X}}=X^{i}\partial _{i}=X^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}$

Прописные буквы $X$без векторной стрелки особенно популярен для обозначений без индексов , поскольку он одновременно сводит к минимуму беспорядок и напоминает, что результаты не зависят от выбранного базиса и, в данном случае, от атласа.

То же злоупотребление обозначениями используется для выдвижения одноформ из $\mathbb {R} ^{n}$ к $M$. Это делается путем написания $(\varphi ^{1},\ldots ,\varphi ^{n})=(x^{1},\ldots ,x^{n})$ или $x=\varphi$ или $x^{i}=\varphi ^{i}$. Тогда единая форма $dx^{i}=d\varphi ^{i}$. Это припаивается к базисным векторам как $dx^{i}(\partial _{j})=\delta _{j}^{i}$. Обратите внимание на осторожное использование верхних и нижних индексов, чтобы различать контрвариантные и ковариантные векторы.

Обратный ход индуцирует (определяет) метрический тензор на $M$. Обычно используются несколько стилей обозначений: $$g_{ij}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\langle {\vec {e}}_{i},{\vec {e}}_{j}\rangle =e_{i}^{a}e_{j}^{b}\,\eta _{ab}$$где и центральная точка, и угловая скобка $\langle ,\rangle$ обозначим скалярное произведение . Последняя форма использует тензор $\eta _{ab}$, под которым понимается метрический тензор «плоского пространства». Для римановых многообразий это дельта Кронекера. $\eta _{ab}=\delta _{ab}$. Для псевдоримановых многообразий это диагональная матрица, имеющая сигнатуру $(p,q)$. Обозначения $e_{i}^{a}$ служит напоминанием о том, что откат на самом деле представляет собой линейное преобразование, представленное выше как градиент. Индексные буквы $a,b,c,\cdots$ жить в $\mathbb {R} ^{n}$ в то время как индексные буквы $i,j,k,\cdots$ живут в касательном многообразии.

Матрица обратная $g^{ij}$ метрического тензора $g_{ij}$ дается $$g^{ij}g_{jk}=\delta _{k}^{i}$$Это используется для определения двойного базиса: $$\mathbf {e} ^{i}=\mathbf {e} _{j}g^{ji},\quad i=1,\,2,\,\dots ,\,n$$

Некоторые тексты пишут $\mathbf {g} _{i}$ для $\mathbf {e} _{i}$, так что метрический тензор принимает особенно привлекательный вид $g_{ij}=\mathbf {g} _{i}\cdot \mathbf {g} _{j}$. Обычно это делается для того, чтобы символ $e_{i}$ может быть использован однозначно для vierbein .

Определение в евклидовом пространстве

Можно доказать, что в евклидовом пространстве общее определение символов Кристоффеля второго рода, данное ниже, эквивалентно: $${\Gamma ^{k}}_{ij}={\frac {\partial \mathbf {e} _{i}}{\partial x^{j}}}\cdot \mathbf {e} ^{k}={\frac {\partial \mathbf {e} _{i}}{\partial x^{j}}}\cdot g^{km}\mathbf {e} _{m}$$

Символы Кристоффеля первого рода затем можно найти путем понижения индекса : $$\Gamma _{kij}={\Gamma ^{m}}_{ij}g_{mk}={\frac {\partial \mathbf {e} _{i}}{\partial x^{j}}}\cdot \mathbf {e} ^{m}g_{mk}={\frac {\partial \mathbf {e} _{i}}{\partial x^{j}}}\cdot \mathbf {e} _{k}$$

Переставляя, мы видим, что (предполагая, что частная производная принадлежит касательному пространству, чего не может быть в неевклидовом искривленном пространстве): $${\frac {\partial \mathbf {e} _{i}}{\partial x^{j}}}={\Gamma ^{k}}_{ij}\mathbf {e} _{k}=\Gamma _{kij}\mathbf {e} ^{k}$$

Проще говоря, массивы, представленные символами Кристоффеля, отслеживают, как меняется базис от точки к точке. Если производная не лежит в касательном пространстве, правильное выражение представляет собой проекцию производной на касательное пространство (см. ковариантную производную ниже). Символы второго рода разлагают изменение по базису, а символы первого рода — по двойственному базису. В таком виде легко увидеть симметричность нижних или последних двух индексов: $${\Gamma ^{k}}_{ij}={\Gamma ^{k}}_{ji}$$ и $\Gamma _{kij}=\Gamma _{kji},$из определения $\mathbf {e} _{i}$ и тот факт, что частные производные коммутируют (пока многообразие и система координат ведут себя хорошо ).

Те же численные значения символов Кристоффеля второго рода относятся и к производным двойственного базиса, как видно из выражения: $${\frac {\partial \mathbf {e} ^{i}}{\partial x^{j}}}=-{\Gamma ^{i}}_{jk}\mathbf {e} ^{k},$$который мы можем переставить как: $${\Gamma ^{i}}_{jk}=-{\frac {\partial \mathbf {e} ^{i}}{\partial x^{j}}}\cdot \mathbf {e} _{k}.$$

Общее определение

Символы Кристоффеля бывают двух форм: первого и второго рода. Определение второго рода является более базовым и поэтому представлено первым.

Символы Кристоффеля второго рода (симметричное определение)

Символы Кристоффеля второго рода — это коэффициенты связности — в координатном базисе — связности Леви-Чивита .Другими словами, символы Кристоффеля второго рода С ^к _ij (иногда Γ ^к
_ij или { ^к
_я } ) определяются как уникальные коэффициенты такие, что $$\nabla _{i}\mathrm {e} _{j}={\Gamma ^{k}}_{ij}\mathrm {e} _{k},$$где ∇ _i — связность Леви-Чивита на M, взятая в координатном направлении e _i (т. е. ∇ _i ≡ ∇ _{e i} ), и где ei _i = ∂ _— локальный координатный ( голономный ) базис . Поскольку эта связность имеет нулевое кручение и голономные векторные поля коммутируют (т.е. $[e_{i},e_{j}]=[\partial _{i},\partial _{j}]=0$) у нас есть $$\nabla _{i}\mathrm {e} _{j}=\nabla _{j}\mathrm {e} _{i}.$$Следовательно, в этом базисе коэффициенты связи симметричны: $${\Gamma ^{k}}_{ij}={\Gamma ^{k}}_{ji}.$$По этой причине соединение без кручения часто называют симметричным .

Символы Кристоффеля могут быть получены из обращения в нуль ковариантной производной метрического тензора g _ik : $$0=\nabla _{l}g_{ik}={\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{l}}}-g_{mk}{\Gamma ^{m}}_{il}-g_{im}{\Gamma ^{m}}_{kl}={\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{l}}}-2g_{m(k}{\Gamma ^{m}}_{i)l}.$$

В качестве сокращенного обозначения символ набла и символы частной производной часто опускаются, и вместо этого используются точка с запятой и запятая для выделения индекса, который используется для производной. Таким образом, вышеизложенное иногда записывается как $$0=\,g_{ik;l}=g_{ik,l}-g_{mk}{\Gamma ^{m}}_{il}-g_{im}{\Gamma ^{m}}_{kl}.$$

Используя тот факт, что символы симметричны по двум нижним индексам, можно явно определить символы Кристоффеля как функцию метрического тензора, переставив индексы и возобновив суммирование: $${\Gamma ^{i}}_{kl}={\frac {1}{2}}g^{im}\left({\frac {\partial g_{mk}}{\partial x^{l}}}+{\frac {\partial g_{ml}}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial g_{kl}}{\partial x^{m}}}\right)={\frac {1}{2}}g^{im}\left(g_{mk,l}+g_{ml,k}-g_{kl,m}\right),$$

где ( г ^джк ) является обратной матрицей ( g jk ₎ , определяемой как (с использованием дельты Кронекера и обозначений Эйнштейна для суммирования) g ^из г _ik = δ ^дж _к . Хотя символы Кристоффеля записываются в тех же обозначениях, что и тензоры с индексной записью , они не преобразуются, как тензоры, при изменении координат .

Сокращение индексов

Сжатие верхнего индекса с любым из нижних индексов (симметричных) приводит к $${\Gamma ^{i}}_{ki}={\frac {\partial }{\partial x^{k}}}\ln {\sqrt {|g|}}$$где $g=\det g_{ik}$ – определитель метрического тензора. Это тождество можно использовать для оценки расхождения векторов.

Символы Кристоффеля первого рода.

Символы Кристоффеля первого рода могут быть получены либо из символов Кристоффеля второго рода и метрики, $$\Gamma _{cab}=g_{cd}{\Gamma ^{d}}_{ab}\,,$$

или только на основе показателя, $${\begin{aligned}\Gamma _{cab}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{ca}}{\partial x^{b}}}+{\frac {\partial g_{cb}}{\partial x^{a}}}-{\frac {\partial g_{ab}}{\partial x^{c}}}\right)\\&={\frac {1}{2}}\,\left(g_{ca,b}+g_{cb,a}-g_{ab,c}\right)\\&={\frac {1}{2}}\,\left(\partial _{b}g_{ca}+\partial _{a}g_{cb}-\partial _{c}g_{ab}\right)\,.\\\end{aligned}}$$

В качестве альтернативного обозначения также можно найти

$$\Gamma _{cab}=[ab,c].$$Стоит отметить, что [ ab , c ] = [ ba , c ] .

Коэффициенты связи в неголономном базисе

Символы Кристоффеля чаще всего определяются в координатной основе, и это соглашение, которому здесь следуют. Другими словами, название символов Кристоффеля зарезервировано только для координатных (т. е. голономных ) систем отсчета. Однако коэффициенты связности также могут быть определены в произвольном (т. е. неголономном) базисе касательных векторов u _i по формуле $$\nabla _{\mathbf {u} _{i}}\mathbf {u} _{j}={\omega ^{k}}_{ij}\mathbf {u} _{k}.$$

Явно, в терминах метрического тензора, это $${\omega ^{i}}_{kl}={\frac {1}{2}}g^{im}\left(g_{mk,l}+g_{ml,k}-g_{kl,m}+c_{mkl}+c_{mlk}-c_{klm}\right),$$

где c _klm = gmp _​ c _kl ^п – коэффициенты коммутации базиса; то есть, $$[\mathbf {u} _{k},\,\mathbf {u} _{l}]={c_{kl}}^{m}\mathbf {u} _{m}$$

где u _k — базисные векторы , а [, ] — скобка Ли . Стандартные единичные векторы в сферических и цилиндрических координатах представляют собой пример базиса с ненулевыми коэффициентами коммутации. Разница между связью в такой системе отсчета и связью Леви-Чивита известна как тензор конторсии .

Коэффициенты вращения Риччи (асимметричное определение)

Когда мы выбираем базис X _i ≡ u _i ортонормированный: g _ab ≡ η _ab = ⟨ X _a , X _b ⟩ , то g _mk,l ≡ η _mk,l = 0 . Это подразумевает, что $${\omega ^{i}}_{kl}={\frac {1}{2}}\eta ^{im}\left(c_{mkl}+c_{mlk}-c_{klm}\right)$$и коэффициенты связи становятся антисимметричными по первым двум индексам: $$\omega _{abc}=-\omega _{bac}\,,$$где $$\omega _{abc}=\eta _{ad}{\omega ^{d}}_{bc}\,.$$

В этом случае коэффициенты связи ω ^а _bc называются коэффициентами вращения Риччи .

Эквивалентно, можно определить коэффициенты вращения Риччи следующим образом: $${\omega ^{k}}_{ij}:=\mathbf {u} ^{k}\cdot \left(\nabla _{j}\mathbf {u} _{i}\right)\,,$$где u _i — ортонормированный неголономный базис, а u ^к = час ^в у _л его со-основе .

Закон преобразования при замене переменной

При замене переменной из $\left(x^{1},\,\ldots ,\,x^{n}\right)$ к $\left({\bar {x}}^{1},\,\ldots ,\,{\bar {x}}^{n}\right)$, символы Кристоффеля преобразуются как

$${{\bar {\Gamma }}^{i}}_{kl}={\frac {\partial {\bar {x}}^{i}}{\partial x^{m}}}\,{\frac {\partial x^{n}}{\partial {\bar {x}}^{k}}}\,{\frac {\partial x^{p}}{\partial {\bar {x}}^{l}}}\,{\Gamma ^{m}}_{np}+{\frac {\partial ^{2}x^{m}}{\partial {\bar {x}}^{k}\partial {\bar {x}}^{l}}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{i}}{\partial x^{m}}}$$

где верхняя черта обозначает символы Кристоффеля в ${\bar {x}}^{i}$ система координат. Символ Кристоффеля трансформируется не как тензор, а как объект в струйном пучке . Точнее, символы Кристоффеля можно рассматривать как функции на расслоении струй реперного расслоения M , независимые от какой-либо локальной системы координат. Выбор локальной системы координат определяет локальную часть этого пучка, которую затем можно использовать для возврата символов Кристоффеля к функциям на M , хотя, конечно, эти функции тогда зависят от выбора локальной системы координат.

Для каждой точки существуют системы координат, в которых символы Кристоффеля исчезают в этой точке. Они называются (геодезическими) нормальными координатами и часто используются в римановой геометрии .

Есть несколько интересных свойств, которые можно вывести непосредственно из закона преобразования.

• При линейном преобразовании неоднородная часть преобразования (второе слагаемое в правой части) тождественно обращается в нуль и тогда ${\Gamma ^{i}}_{jk}$ ведет себя как тензор.
• Если у нас есть два поля связей, скажем ${\Gamma ^{i}}_{jk}$ и ${{\tilde {\Gamma }}^{i}}_{jk}$, то их разница ${\Gamma ^{i}}_{jk}-{{\tilde {\Gamma }}^{i}}_{jk}$ является тензором, поскольку неоднородные члены компенсируют друг друга. Неоднородные члены зависят только от того, как изменяются координаты, но не зависят от самого символа Кристоффеля.
• Если символ Кристоффеля несимметричен относительно своих нижних индексов в одной системе координат, т.е. ${\Gamma ^{i}}_{jk}\neq {\Gamma ^{i}}_{kj}$, то они остаются несимметричными при любом изменении координат. Следствием этого свойства является то, что невозможно найти систему координат, в которой все элементы символа Кристоффеля в некоторой точке равны нулю, если только нижние индексы не симметричны. На это свойство указал Альберт Эйнштейн. и Эрвин Шрёдингер независимо.

Связь с параллельным переносом и получением символов Кристоффеля в римановом пространстве.

Если вектор $\xi ^{i}$ транспортируется параллельно по кривой, параметризованной некоторым параметром $s$ на римановом многообразии скорость изменения компонентов вектора определяется выражением $${\frac {d\xi ^{i}}{ds}}=-{\Gamma ^{i}}_{mj}{\frac {dx^{m}}{ds}}\xi ^{j}.$$

Теперь, просто воспользовавшись условием, что скалярное произведение $g_{ik}\xi ^{i}\eta ^{k}$ образованный двумя произвольными векторами $\xi ^{i}$ и $\eta ^{k}$ без изменений, достаточно для вывода символов Кристоффеля. Условие $${\frac {d}{ds}}\left(g_{ik}\xi ^{i}\eta ^{k}\right)=0$$которое по правилу произведения расширяется до $${\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{l}}}{\frac {dx^{l}}{ds}}\xi ^{i}\eta ^{k}+g_{ik}{\frac {d\xi ^{i}}{ds}}\eta ^{k}+g_{ik}\xi ^{i}{\frac {d\eta ^{k}}{ds}}=0.$$

Применение правила параллельного транспорта для двух произвольных векторов, перемаркировка фиктивных индексов и сбор коэффициентов $\xi ^{i}\eta ^{k}dx^{l}$ (произвольно), получаем

$${\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{l}}}=g_{rk}{\Gamma ^{r}}_{il}+g_{ir}{\Gamma ^{r}}_{lk}.$$

Это то же самое, что и уравнение, полученное путем обращения в нуль ковариантной производной метрического тензора в разделе «Общие определения». Вывод отсюда прост. Циклически переставляя индексы $ikl$ в приведенном выше уравнении мы можем получить еще два уравнения, а затем, линейно комбинируя эти три уравнения, мы можем выразить ${\Gamma ^{i}}_{jk}$ в терминах метрического тензора.

Связь с безиндексной нотацией

Пусть X и Y — векторные поля с компонентами X ^я и Ю ^к . Тогда k -я компонента ковариантной производной Y по X определяется выражением $$\left(\nabla _{X}Y\right)^{k}=X^{i}(\nabla _{i}Y)^{k}=X^{i}\left({\frac {\partial Y^{k}}{\partial x^{i}}}+{\Gamma ^{k}}_{im}Y^{m}\right).$$

Здесь обозначение Эйнштейна используется , поэтому повторяющиеся индексы указывают на суммирование по индексам, а сокращение с помощью метрического тензора служит для повышения и понижения индексов: $$g(X,Y)=X^{i}Y_{i}=g_{ik}X^{i}Y^{k}=g^{ik}X_{i}Y_{k}.$$

Имейте в виду, что g _ik ≠ g ^я и это г ^я _к = д ^я _k , дельта Кронекера . По соглашению, метрическим тензором является тензор с нижними индексами; правильный способ получить g ^я из g _ik заключается в решении линейных уравнений g ^ij г _jk = δ ^я _к .

Утверждение о том, что соединение без кручения , а именно, что $$\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,\,Y]$$

эквивалентно утверждению, что в координатной основе символ Кристоффеля симметричен по двум нижним индексам: $${\Gamma ^{i}}_{jk}={\Gamma ^{i}}_{kj}.$$

Свойства безиндексного преобразования тензора задаются путем отката для ковариантных индексов и продвижения вперед для контравариантных индексов. В статье о ковариантных производных дополнительно обсуждается соответствие между безиндексной нотацией и индексированной нотацией.

Ковариантные производные тензоров

Ковариантная производная векторного поля с компонентами V ^м является $$\nabla _{l}V^{m}={\frac {\partial V^{m}}{\partial x^{l}}}+{\Gamma ^{m}}_{kl}V^{k}.$$

Следствием является то, что дивергенцию вектора можно получить как $$\nabla _{i}V^{i}={\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\partial \left({\sqrt {-g}}\,V^{i}\right)}{\partial x^{i}}}.$$

Ковариантная производная ковекторного поля ω _m равна $$\nabla _{l}\omega _{m}={\frac {\partial \omega _{m}}{\partial x^{l}}}-{\Gamma ^{k}}_{ml}\omega _{k}.$$

Симметрия символа Кристоффеля теперь подразумевает $$\nabla _{i}\nabla _{j}\varphi =\nabla _{j}\nabla _{i}\varphi$$для любого скалярного поля, но, вообще говоря, ковариантные производные тензорных полей более высокого порядка не коммутируют (см. тензор кривизны ).

типа (2, 0) Ковариантная производная тензорного поля A ^я является $$\nabla _{l}A^{ik}={\frac {\partial A^{ik}}{\partial x^{l}}}+{\Gamma ^{i}}_{ml}A^{mk}+{\Gamma ^{k}}_{ml}A^{im},$$то есть, $${A^{ik}}_{;l}={A^{ik}}_{,l}+A^{mk}{\Gamma ^{i}}_{ml}+A^{im}{\Gamma ^{k}}_{ml}.$$

Если тензорное поле смешанное, то его ковариантная производная равна $${A^{i}}_{k;l}={A^{i}}_{k,l}+{A^{m}}_{k}{\Gamma ^{i}}_{ml}-{A^{i}}_{m}{\Gamma ^{m}}_{kl},$$и если тензорное поле имеет тип (0, 2), то его ковариантная производная равна $$A_{ik;l}=A_{ik,l}-A_{mk}{\Gamma ^{m}}_{il}-A_{im}{\Gamma ^{m}}_{kl}.$$

Контравариантные производные тензоров

Чтобы найти контравариантную производную векторного поля, мы должны сначала преобразовать ее в ковариантную производную, используя метрический тензор $$\nabla ^{l}V^{m}=g^{il}\nabla _{i}V^{m}=g^{il}\partial _{i}V^{m}+g^{il}\Gamma _{ki}^{m}V^{k}=\partial ^{l}V^{m}+g^{il}\Gamma _{ki}^{m}V^{k}$$

Приложения

В общей теории относительности

Эйнштейна Символы Кристоффеля находят частое использование в общей теории относительности , где пространство-время представлено искривленным 4-мерным многообразием Лоренца со связностью Леви-Чивита . Уравнения поля Эйнштейна , которые определяют геометрию пространства-времени в присутствии материи, содержат тензор Риччи , поэтому вычисление символов Кристоффеля имеет важное значение. После определения геометрии траектории частиц и световых лучей рассчитываются путем решения геодезических уравнений, в которых явно присутствуют символы Кристоффеля.

В классической (нерелятивистской) механике

Позволять $x^{i}$ быть обобщенными координатами и ${\dot {x}}^{i}$ — обобщенные скорости, то кинетическая энергия единицы массы определяется выражением $T={\tfrac {1}{2}}g_{ik}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{k}$, где $g_{ik}$ – метрический тензор . Если $V\left(x^{i}\right)$, потенциальная функция, существует, тогда контравариантные компоненты обобщенной силы на единицу массы равны $F_{i}=\partial V/\partial x^{i}$. Метрику (здесь в чисто пространственной области) можно получить из линейного элемента $ds^{2}=2Tdt^{2}$. Замена лагранжиана $L=T-V$ в уравнение Эйлера-Лагранжа получим

$$g_{ik}{\ddot {x}}^{k}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{l}}}+{\frac {\partial g_{il}}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial g_{lk}}{\partial x^{i}}}\right){\dot {x}}^{l}{\dot {x}}^{k}=F_{i}.$$

Теперь умножаем на $g^{ij}$, мы получаем $${\ddot {x}}^{j}+{\Gamma ^{j}}_{lk}{\dot {x}}^{l}{\dot {x}}^{k}=F^{j}.$$

Когда можно принять декартовы координаты (как в инерциальных системах отсчета), мы имеем евклидову метрику, символ Кристоффеля исчезает, и уравнение сводится ко второму закону движения Ньютона . В криволинейных координатах (вынужденно в неинерциальных системах отсчета, где метрика неевклидова и не плоская), фиктивные силы, такие как Центробежная сила и сила Кориолиса, возникают из символов Кристоффеля, то есть из чисто пространственных криволинейных координат.

В координатах поверхности Земли

Дана сферическая система координат , которая описывает точки на поверхности Земли (приближается к идеальной сфере).

$${\begin{aligned}x(R,\theta ,\varphi )&={\begin{pmatrix}R\cos \theta \cos \varphi &R\cos \theta \sin \varphi &R\sin \theta \end{pmatrix}}\\\end{aligned}}$$

Для точки x R — расстояние до ядра Земли (обычно примерно радиус Земли ). θ и φ — широта и долгота . Положительное θ – северное полушарие. Для упрощения производных углы даны в радианах (где d sin(x)/dx = cos(x), значения градусов вводят дополнительный коэффициент 360/2 пи).

В любом месте касательные направления равны $e_{R}$ (вверх), $e_{\theta }$ (север) и $e_{\varphi }$ (восток) - также можно использовать индексы 1,2,3.

$${\begin{aligned}e_{R}&={\begin{pmatrix}\cos \theta \cos \varphi &\cos \theta \sin \varphi &\sin \theta \end{pmatrix}}\\e_{\theta }&=R\cdot {\begin{pmatrix}-\sin \theta \cos \varphi &-\sin \theta \sin \varphi &\cos \theta \end{pmatrix}}\\e_{\varphi }&=R\cos \theta \cdot {\begin{pmatrix}-\sin \varphi &\cos \varphi &0\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}$$

Соответствующий метрический тензор имеет только диагональные элементы (квадраты длин векторов). Это преимущество системы координат, но в целом это не так.

$${\begin{aligned}g_{RR}=1\qquad &g_{\theta \theta }=R^{2}\qquad &g_{\varphi \varphi }=R^{2}\cos ^{2}\theta \qquad &g_{ij}=0\quad \mathrm {else} \\g^{RR}=1\qquad &g^{\theta \theta }=1/R^{2}\qquad &g^{\varphi \varphi }=1/(R^{2}\cos ^{2}\theta )\qquad &g^{ij}=0\quad \mathrm {else} \\\end{aligned}}$$

Теперь можно рассчитать необходимое количество. Примеры:

$${\begin{aligned}e^{R}=e_{R}g^{RR}=1\cdot e_{R}&={\begin{pmatrix}\cos \theta \cos \varphi &\cos \theta \sin \varphi &\sin \theta \end{pmatrix}}\\{\Gamma ^{R}}_{\varphi \varphi }=e^{R}\cdot {\frac {\partial }{\partial \varphi }}e_{\varphi }&=e^{R}\cdot {\begin{pmatrix}-R\cos \theta \cos \varphi &-R\cos \theta \sin \varphi &0\end{pmatrix}}=-R\cos ^{2}\theta \\\end{aligned}}$$

Полученные символы Кристоффеля второго рода ${\Gamma ^{k}}_{ji}=e^{k}\cdot {\frac {\partial e_{j}}{\partial x^{i}}}$ тогда (организованные «производным» индексом i в матрице):

$${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}{\Gamma ^{R}}_{RR}&{\Gamma ^{R}}_{\theta R}&{\Gamma ^{R}}_{\varphi R}\\{\Gamma ^{\theta }}_{RR}&{\Gamma ^{\theta }}_{\theta R}&{\Gamma ^{\theta }}_{\varphi R}\\{\Gamma ^{\varphi }}_{RR}&{\Gamma ^{\varphi }}_{\theta R}&{\Gamma ^{\varphi }}_{\varphi R}\\\end{pmatrix}}&=\quad {\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1/R&0\\0&0&1/R\end{pmatrix}}\\{\begin{pmatrix}{\Gamma ^{R}}_{R\theta }&{\Gamma ^{R}}_{\theta \theta }&{\Gamma ^{R}}_{\varphi \theta }\\{\Gamma ^{\theta }}_{R\theta }&{\Gamma ^{\theta }}_{\theta \theta }&{\Gamma ^{\theta }}_{\varphi \theta }\\{\Gamma ^{\varphi }}_{R\theta }&{\Gamma ^{\varphi }}_{\theta \theta }&{\Gamma ^{\varphi }}_{\varphi \theta }\\\end{pmatrix}}\quad &={\begin{pmatrix}0&-R&0\\1/R&0&0\\0&0&-\tan \theta \end{pmatrix}}\\{\begin{pmatrix}{\Gamma ^{R}}_{R\varphi }&{\Gamma ^{R}}_{\theta \varphi }&{\Gamma ^{R}}_{\varphi \varphi }\\{\Gamma ^{\theta }}_{R\varphi }&{\Gamma ^{\theta }}_{\theta \varphi }&{\Gamma ^{\theta }}_{\varphi \varphi }\\{\Gamma ^{\varphi }}_{R\varphi }&{\Gamma ^{\varphi }}_{\theta \varphi }&{\Gamma ^{\varphi }}_{\varphi \varphi }\\\end{pmatrix}}&=\quad {\begin{pmatrix}0&0&-R\cos ^{2}\theta \\0&0&\cos \theta \sin \theta \\1/R&-\tan \theta &0\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}$$

Эти значения показывают, как касательные направления (столбцы: $e_{R}$, $e_{\theta }$, $e_{\varphi }$) изменение, наблюдаемое с внешней точки зрения (например, из космоса), но заданное в касательных направлениях фактического местоположения (строки: R , θ , φ ).

В качестве примера возьмем ненулевые производные по θ в ${\Gamma ^{k}}_{j\ \theta }$, что соответствует движению на север (положительное dθ):

• Новое северное направление $e_{\theta }$ изменяется на -R dθ в направлении вверх (R). Таким образом, северное направление будет вращаться вниз к центру Земли.
• Аналогично, направление вверх $e_{R}$ будет скорректирована в сторону севера. Различная длина $e_{R}$ и $e_{\theta }$ приводят к коэффициенту 1/R.
• Двигаясь на север, вектор восточной касательной $e_{\varphi }$ меняет свою длину (-tan(θ) по диагонали), он сжимается (-tan(θ) dθ < 0) в северном полушарии и увеличивается (-tan(θ) dθ > 0) в южном полушарии.

Эти эффекты могут быть неочевидны во время движения, поскольку они представляют собой корректировки, которые сохраняют измерения в координатах R , θ , φ . Тем не менее, это может повлиять на расстояния, физические уравнения и т. д. Поэтому, если, например, вам нужно точное изменение магнитного поля, указывающего примерно «на юг», может потребоваться также скорректировать ваши измерения, изменив направление на север, используя символы Кристоффеля. чтобы получить «истинное» ( тензорное ) значение.

Символы Кристоффеля первого рода. ${\Gamma _{l}}_{ji}=g_{lk}{\Gamma ^{k}}_{ji}$ покажите то же изменение, используя координаты с метрической поправкой, например, для производной по φ :

$${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}{\Gamma _{R}}_{R\varphi }&{\Gamma _{R}}_{\theta \varphi }&{\Gamma _{R}}_{\varphi \varphi }\\{\Gamma _{\theta }}_{R\varphi }&{\Gamma _{\theta }}_{\theta \varphi }&{\Gamma _{\theta }}_{\varphi \varphi }\\{\Gamma _{\varphi }}_{R\varphi }&{\Gamma _{\varphi }}_{\theta \varphi }&{\Gamma _{\varphi }}_{\varphi \varphi }\\\end{pmatrix}}&=R\cos \theta {\begin{pmatrix}0&0&-\cos \theta \\0&0&R\sin \theta \\\cos \theta &-R\sin \theta &0\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}$$

См. также

• Базовое введение в математику искривленного пространства-времени
• Дифференцируемое многообразие
• Список формул римановой геометрии
• Фигурное исчисление
• Тензор Римана – Кристоффеля
• Уравнения Гаусса – Кодацци
• Пример вычисления символов Кристоффеля

Ссылки

• Авраам, Ральф ; Марсден, Джерролд Э. (1978), Основы механики , Лондон: Benjamin/Cummings Publishing, стр. См. главу 2, параграф 2.7.1, ISBN.  0-8053-0102-Х
• Адлер, Рональд; Базен, Морис; Шиффер, Менахем (1965), Введение в общую теорию относительности (первое издание), McGraw-Hill Book Company
• Бишоп, РЛ ; Гольдберг, С.И. (1968), Тензорный анализ многообразий (первое изд. Дувра, 1980 г.), The Macmillan Company, ISBN  0-486-64039-6
• Шоке-Брюа, Ивонн ; ДеВитт-Моретт, Сесиль (1977), Анализ, многообразия и физика , Амстердам: Elsevier, ISBN  978-0-7204-0494-4
• Ландау Лев Давидович ; Лифшиц, Евгений Михайлович (1951), Классическая теория поля , Курс теоретической физики , вып. 2 (Четвертое исправленное издание на английском языке), Oxford: Pergamon Press, стр. См. главу 10, параграфы 85, 86 и 87, ISBN.  0-08-025072-6
• Крейциг, Эрвин (1991), Дифференциальная геометрия , Dover Publications , ISBN  978-0-486-66721-8
• Миснер, Чарльз В.; Торн, Кип С.; Уиллер, Джон Арчибальд (1970), Гравитация , Нью-Йорк: WH Freeman, стр. См. главу 8, параграф 8.5, ISBN.  0-7167-0344-0
• Людвигсен, Малкольм (1999), Общая теория относительности: геометрический подход , издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-63019-3
• Спивак, Майкл (1999), Всестороннее введение в дифференциальную геометрию , том. 2, Опубликуй или погибни, ISBN  0-914098-71-3
• Чаттерджи, Ю.; Чаттерджи, Н. (2010). Векторный и тензорный анализ . Академические издательства. ISBN  978-93-8059-905-2 .
• Струйк, диджей (1961). Лекции по классической дифференциальной геометрии (впервые опубликовано в 1988 г. под ред. Дувра). Дувр. ISBN  0-486-65609-8 .
• П.Гринфельд (2014). Введение в тензорный анализ и исчисление движущихся поверхностей . Спрингер. ISBN  978-1-4614-7866-9 .
• «Несколько тензорных уравнений, показанных полностью» . www.tero.co.uk. ​Проверено 1 января 2023 г.