Глобальное измерение

В теории колец и гомологической алгебре глобальная размерность (или глобальная гомологическая размерность ; иногда просто называемая гомологической размерностью ) кольца A , обозначаемого gl dim A , представляет собой неотрицательное целое число или бесконечность, которая является гомологическим инвариантом кольца. Он определяется как верхняя граница множества проективных размерностей всех A - модулей . Глобальная размерность — важное техническое понятие в теории размерности нётеровых колец . По теореме Жана-Пьера Серра глобальная размерность может использоваться для характеристики в классе коммутативных нётеровых локальных колец тех колец, которые являются регулярными . Их глобальная размерность совпадает с размерностью Крулля , определение которой является теоретико-модульным.

Когда кольцо A некоммутативно , и , первоначально приходится рассматривать две версии этого понятия: правую глобальную размерность, возникающую из рассмотрения правых A -модулей левую глобальную размерность, возникающую из рассмотрения левых A -модулей . Для произвольного кольца A правая и левая глобальные размерности могут различаться. Однако если A — нётерово кольцо, обе эти размерности оказываются равными слабой глобальной размерности , определение которой симметрично слева направо. Поэтому для некоммутативных нётеровых колец эти две версии совпадают и оправданно говорить о глобальной размерности.

Примеры

• Пусть A = K [ x1 _xn ,..., ] _— кольцо многочленов от n над полем K. переменных Тогда глобальная размерность A равна n . Это утверждение восходит к основополагающей работе Дэвида Гильберта о гомологических свойствах колец полиномов; см. теорему о сизигиях Гильберта . В более общем смысле, если R — нётерово кольцо конечной глобальной размерности k и A = R [x] — кольцо многочленов от одной переменной над R, то глобальная размерность A равна k + 1.

• Кольцо имеет нулевую глобальную размерность тогда и только тогда, когда оно полупростое .

• Глобальная размерность кольца A меньше или равна единице тогда и только тогда, когда A является наследственным . В частности, коммутативная область главных идеалов , не являющаяся полем, имеет глобальную размерность единицу. Например $\mathbb {Z}$ имеет глобальное измерение один.

• Первая алгебра Вейля A ₁ представляет собой некоммутативную нётерову область глобальной размерности один.

• Если кольцо нётерово справа, то правое глобальное измерение совпадает со слабым глобальным измерением и является не более чем левым глобальным измерением. В частности, если кольцо нётерово справа и слева, то левое и правое глобальные измерения, а также слабое глобальное измерение одинаковы.
• Треугольное матричное кольцо ${\begin{bmatrix}\mathbb {Z} &\mathbb {Q} \\0&\mathbb {Q} \end{bmatrix}}$ имеет правое глобальное измерение 1, слабое глобальное измерение 1, но левое глобальное измерение 2. Оно нётерово справа, но не нётерово слева.

Альтернативные характеристики

Правую глобальную размерность кольца A можно альтернативно определить как:

• верхняя грань множества проективных размерностей всех циклических правых A -модулей;
• верхняя грань множества проективных размерностей всех конечных правых A -модулей;
• верхняя грань инъективных размерностей всех правых A -модулей;
• когда A — коммутативное нётерово локальное кольцо с максимальным идеалом m , проективная размерность поля вычетов A / m .

Левое глобальное измерение A имеет аналогичные характеристики, полученные заменой «правого» на «левое» в приведенном выше списке.

Серр доказал что коммутативное нётерово локальное кольцо A регулярно , тогда и только тогда, когда оно имеет конечную глобальную размерность, и в этом случае глобальная размерность совпадает с размерностью Крулля кольца A . Эта теорема открыла путь к применению гомологических методов к коммутативной алгебре.

Ссылки

• Эйзенбуд, Дэвид (1999), Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии , Тексты для аспирантов по математике, том. 150 (3-е изд.), Springer-Verlag, ISBN  0-387-94268-8 .
• Каплански, Ирвинг (1972), Поля и кольца , Чикагские лекции по математике (2-е изд.), University of Chicago Press, ISBN  0-226-42451-0 , Збл   1001,16500
• Мацумура, Хидеюки (1989), Коммутативная теория колец , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 8, Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-36764-6 .
• МакКоннелл, Джей Си; Робсон, Джей Си; Смолл, Лэнс В. (2001), исправленное (ред.), Некоммутативные нетеровы кольца , Аспирантура по математике , том. 30, Американское математическое общество, ISBN.  0-8218-2169-5 .