Фильтрация (математика)

В математике фильтрация ${\mathcal {F}}$ это индексированное семейство $(S_{i})_{i\in I}$ подобъектов структуры заданной алгебраической $S$ , с индексом $i$ пробег по некоторому полностью упорядоченному набору индексов $I$ , при условии, что

если

i\leq j

в

I

, затем

S_{i}\subseteq S_{j}

.

Если индекс $i$ является временным параметром некоторого случайного процесса , то фильтрацию можно интерпретировать как представление всей исторической, но не будущей информации, доступной о случайном процессе, с алгебраической структурой $S_{i}$ со временем усложняется. Следовательно, процесс, адаптированный к фильтрации ${\mathcal {F}}$ также называется непредугадывающим , потому что он не может «заглянуть в будущее». ^[1]

Иногда, как в фильтрованной алгебре , вместо этого требуется, чтобы $S_{i}$ быть подалгебрами относительно некоторых операций (скажем, сложения векторов ), но не относительно других операций (скажем, умножения), которые удовлетворяют только $S_{i}\cdot S_{j}\subseteq S_{i+j}$ , где набором индексов являются натуральные числа ; это по аналогии с градуированной алгеброй .

Иногда предполагается, что фильтрации удовлетворяют дополнительному объединения требованию $S_{i}$ быть целым $S$ или (в более общих случаях, когда понятие объединения не имеет смысла), что канонический гомоморфизм из прямого предела $S_{i}$ к $S$ является изоморфизмом . Предполагается или нет это требование обычно зависит от автора текста и часто указывается явно. Данная статья не устанавливает такого требования.

Существует также понятие нисходящей фильтрации , которая необходима для удовлетворения $S_{i}\supseteq S_{j}$ вместо $S_{i}\subseteq S_{j}$ (а иногда и $\bigcap _{i\in I}S_{i}=0$ вместо $\bigcup _{i\in I}S_{i}=S$ ). Опять же, от контекста зависит, как именно следует понимать слово «фильтрация». Нисходящие фильтрации не следует путать с двойственным понятием кофильтрации (которые состоят из факторобъектов, а не из подобъектов ).

Фильтрации широко используются в абстрактной алгебре , гомологической алгебре (где они важным образом связаны со спектральными последовательностями ), а также в теории меры и теории вероятностей для вложенных последовательностей σ-алгебр . В функциональном анализе и численном анализе обычно используется другая терминология, например масштаб пространств или вложенные пространства .

Примеры

Наборы

Последовательность Фари

Алгебра

Алгебры

См.: Фильтрованная алгебра.

Группы

В алгебре фильтрации обычно индексируются $\mathbb {N}$ , набор натуральных чисел. Фильтрация группы $G$ , тогда является вложенной последовательностью $G_{n}$ нормальных подгрупп $G$ (то есть для любого $n$ у нас есть $G_{n+1}\subseteq G_{n}$ ). Обратите внимание, что такое использование слова «фильтрация» соответствует нашей «нисходящей фильтрации».

Учитывая группу $G$ и фильтрация $G_{n}$ , существует естественный способ определить топологию на $G$ , который, как говорят, связан с фильтрацией. Основой этой топологии является множество всех смежных классов подгрупп, появляющихся в фильтрации, т. е. подмножество $G$ называется открытым, если оно представляет собой объединение множеств вида $aG_{n}$ , где $a\in G$ и $n$ является натуральным числом.

Топология, связанная с фильтрацией на группе $G$ делает $G$ в топологическую группу .

Топология, связанная с фильтрацией $G_{n}$ в группе $G$ является Хаусдорфом тогда и только тогда, когда $\bigcap G_{n}=\{1\}$ .

Если две фильтрации $G_{n}$ и $G'_{n}$ определены в группе $G$ , то тождественная карта из $G$ к $G$ , где первая копия $G$ предоставляется $G_{n}$ -топология и вторая $G'_{n}$ -топология непрерывна тогда и только тогда, когда для любого $n$ есть $m$ такой, что $G_{m}\subseteq G'_{n}$ , то есть тогда и только тогда, когда тождественное отображение непрерывно в точке 1. В частности, две фильтрации определяют одну и ту же топологию тогда и только тогда, когда для любой подгруппы, появляющейся в одной, существует меньшая или равная подгруппа, появляющаяся в другой.

Кольца и модули: нисходящая фильтрация

Учитывая кольцо $R$ и $R$ - модуль $M$ , фильтрация нисходящая $M$ представляет собой убывающую последовательность подмодулей $M_{n}$ . Таким образом, это частный случай понятия группы с дополнительным условием, что подгруппы являются подмодулями. Соответствующая топология определяется как для групп.

Важный частный случай известен как $I$ - адическая топология (или $J$ -адик и т. д.): Пусть $R$ — коммутативное кольцо и $I$ идеал $R$ . Учитывая $R$ -модуль $M$ , последовательность $I^{n}M$ субмодулей $M$ образует фильтрацию $M$ ( $I$ -адическая фильтрация ). $I$ -адическая топология на $M$ тогда это топология, связанная с этой фильтрацией. Если $M$ это просто кольцо $R$ себя, мы определили $I$ -адическая топология на $R$ .

Когда $R$ предоставляется $I$ -адическая топология, $R$ становится топологическим кольцом . Если $R$ -модуль $M$ затем предоставляется $I$ -адическая топология, она становится топологической $R$ -module относительно топологии, указанной на $R$ .

Кольца и модули: восходящая фильтрация

Учитывая кольцо $R$ и $R$ -модуль $M$ , фильтрация восходящая $M$ представляет собой возрастающую последовательность подмодулей $M_{n}$ . В частности, если $R$ является полем, то происходит возрастающая фильтрация $R$ -векторное пространство $M$ является возрастающей последовательностью векторных подпространств $M$ . Флаги являются одним из важных классов таких фильтров.

Наборы

Максимальная фильтрация множества эквивалентна упорядочиванию ( перестановке ) этого множества. Например, фильтрация $\{0\}\subseteq \{0,1\}\subseteq \{0,1,2\}$ соответствует порядку $(0,1,2)$ . С точки зрения поля с одним элементом упорядочение на множестве соответствует максимальному флагу (фильтрации в векторном пространстве), считая множество векторным пространством над полем с одним элементом.

Теория меры

В теории меры , в частности в теории мартингала и теории случайных процессов , фильтрация — это последовательность возрастающая $\sigma$ -алгебры на измеримом пространстве . То есть, учитывая измеримое пространство $(\Omega ,{\mathcal {F}})$ , фильтрация – это последовательность $\sigma$ -алгебры $\{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t\geq 0}$ с ${\mathcal {F}}_{t}\subseteq {\mathcal {F}}$ где каждый $t$ является неотрицательным действительным числом и

t_{1}\leq t_{2}\implies {\mathcal {F}}_{t_{1}}\subseteq {\mathcal {F}}_{t_{2}}.

Точный диапазон «времен» $t$ обычно зависит от контекста: набора значений для $t$ может быть дискретным или непрерывным, ограниченным или неограниченным. Например,

t\in \{0,1,\dots ,N\},\mathbb {N} _{0},[0,T]{\mbox{ or }}[0,+\infty ).

Аналогично, отфильтрованное вероятностное пространство (также известное как стохастический базис ) $\left(\Omega ,{\mathcal {F}},\left\{{\mathcal {F}}_{t}\right\}_{t\geq 0},\mathbb {P} \right)$ , – вероятностное пространство, оснащенное фильтрацией $\left\{{\mathcal {F}}_{t}\right\}_{t\geq 0}$ своего $\sigma$ -алгебра ${\mathcal {F}}$ . Говорят, что фильтрованное вероятностное пространство удовлетворяет обычным условиям, если оно полно (т. е. ${\mathcal {F}}_{0}$ содержит все $\mathbb {P}$ - нулевые множества ) и непрерывные справа (т.е. ${\mathcal {F}}_{t}={\mathcal {F}}_{t+}:=\bigcap _{s>t}{\mathcal {F}}_{s}$ на все времена $t$ ). ^[2]^[3]^[4]

Также полезно (в случае неограниченного набора индексов) определить ${\mathcal {F}}_{\infty }$ как $\sigma$ -алгебра, порожденная бесконечным объединением ${\mathcal {F}}_{t}$ 's, который содержится в ${\mathcal {F}}$ :

{\mathcal {F}}_{\infty }=\sigma \left(\bigcup _{t\geq 0}{\mathcal {F}}_{t}\right)\subseteq {\mathcal {F}}.

σ . -алгебра определяет набор событий, которые можно измерить, что в контексте вероятности эквивалентно событиям, которые можно различить, или «вопросам, на которые можно ответить вовремя» $t$ ". Таким образом, фильтрация часто используется для представления изменения в наборе событий, которые можно измерить посредством получения или потери информации . Типичный пример - математические финансы , где фильтрация представляет информацию, доступную до каждого из них включительно. время $t$ и становится все более точным (набор измеримых событий остается неизменным или увеличивается) по мере того, как становится доступным больше информации об эволюции цены акций.

Связь со временем остановки: сигма-алгебры времени остановки

Позволять $\left(\Omega ,{\mathcal {F}},\left\{{\mathcal {F}}_{t}\right\}_{t\geq 0},\mathbb {P} \right)$ быть фильтрованным вероятностным пространством. Случайная величина $\tau :\Omega \rightarrow [0,\infty ]$ время остановки по отношению к фильтрации $\left\{{\mathcal {F}}_{t}\right\}_{t\geq 0}$ , если $\{\tau \leq t\}\in {\mathcal {F}}_{t}$ для всех $t\geq 0$ . Время остановки $\sigma$ -алгебра теперь определяется как

{\mathcal {F}}_{\tau }:=\{A\in {\mathcal {F}}\vert \forall t\geq 0\colon A\cap \{\tau \leq t\}\in {\mathcal {F}}_{t}\}

.

Нетрудно показать, что ${\mathcal {F}}_{\tau }$ действительно является $\sigma$ -алгебра .Набор ${\mathcal {F}}_{\tau }$ кодирует информацию до случайного времени $\tau$ в том смысле, что, если фильтрованное вероятностное пространство интерпретировать как случайный эксперимент, максимальная информация, которую можно узнать о нем от сколь угодно частого повторения эксперимента до тех пор, пока не наступит случайное время $\tau$ является ${\mathcal {F}}_{\tau }$ . ^[5] В частности, если базовое вероятностное пространство конечно (т.е. ${\mathcal {F}}$ конечно), минимальные множества ${\mathcal {F}}_{\tau }$ (относительно включения множества) задаются объединением по всем $t\geq 0$ множеств минимальных множеств ${\mathcal {F}}_{t}$ которые лежат в $\{\tau =t\}$ . ^[5]

Можно показать, что $\tau$ является ${\mathcal {F}}_{\tau }$ -измеримый. Однако простые примеры ^[5] показать, что в целом $\sigma (\tau )\neq {\mathcal {F}}_{\tau }$ . Если $\tau _{1}$ и $\tau _{2}$ останавливается время $\left(\Omega ,{\mathcal {F}},\left\{{\mathcal {F}}_{t}\right\}_{t\geq 0},\mathbb {P} \right)$ , и $\tau _{1}\leq \tau _{2}$ почти наверняка , тогда ${\mathcal {F}}_{\tau _{1}}\subseteq {\mathcal {F}}_{\tau _{2}}.$

См. также

Ссылки

^ Бьорк, Томас (2005). «Приложение Б». Теория арбитража в непрерывном времени . ISBN 978-0-19-927126-9 .
^ Петр Медвежьев (январь 2009 г.). «Стохастические процессы: очень простое введение» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 3 апреля 2015 г. Проверено 25 июня 2012 г.
^ Клод Деллашери (1979). Вероятности и потенциал . Эльзевир. ISBN 9780720407013 .
^ Джордж Лоутер (8 ноября 2009 г.). «Фильтрации и адаптированные процессы» . Проверено 25 июня 2012 г.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Фишер, Том (2013). «О простых представлениях времен остановки и сигма-алгебр времени остановки». Статистика и вероятностные буквы . 83 (1): 345–349. arXiv : 1112.1603 . дои : 10.1016/j.spl.2012.09.024 .

Оксендал, Бернт К. (2003). Стохастические дифференциальные уравнения: введение с приложениями . Берлин: Шпрингер. ISBN 978-3-540-04758-2 .

[1] Бьорк, Томас (2005). «Приложение Б». Теория арбитража в непрерывном времени . ISBN 978-0-19-927126-9 .

[2] Петр Медвежьев (январь 2009 г.). «Стохастические процессы: очень простое введение» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 3 апреля 2015 г. Проверено 25 июня 2012 г.

[3] Клод Деллашери (1979). Вероятности и потенциал . Эльзевир. ISBN 9780720407013 .

[4] Джордж Лоутер (8 ноября 2009 г.). «Фильтрации и адаптированные процессы» . Проверено 25 июня 2012 г.

[Fischer_(2013)-5] Jump up to: ^а ^б ^с Фишер, Том (2013). «О простых представлениях времен остановки и сигма-алгебр времени остановки». Статистика и вероятностные буквы . 83 (1): 345–349. arXiv : 1112.1603 . дои : 10.1016/j.spl.2012.09.024 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]