Стоимостной критерий

В математике , особенно в алгебраической геометрии , оценочные критерии представляют собой совокупность результатов, позволяющих решить, является ли морфизм алгебраических многообразий или, в более общем плане схем , универсально замкнутым , отделимым или собственным .

Заявление о оценочных критериях

Напомним, что нормирования A является областью, поэтому, если K является полем частных A кольцо , то Spec K является общей точкой Spec A .

Пусть X и Y — схемы, и пусть f : X → Y — морфизм схем. Тогда следующие условия эквивалентны:

1. f отделен (соответственно универсально закрыт, соответственно собственно)
2. f квазиотделено , (соответственно квазикомпактно, соответственно конечного типа и квазиотделимо) и для любого кольца нормирования A , если Y' = Spec A и X' обозначает общую точку Y' то для каждого морфизма Y' → Y и всякий морфизм X' → X , поднимающий точку общего положения, то существует не более одного (соответственно хотя бы одного, соответственно ровно одного) подъема Y' → X .

Условие поднятия эквивалентно указанию, что естественный морфизм

${\text{Hom}}_{Y}(Y',X)\to {\text{Hom}}_{Y}({\text{Spec}}K,X)$

инъективен (соответственно сюръективен, соотв. биективен).

Более того, в частном случае, когда Y (локально) нетерово, достаточно проверить случай, когда A является кольцом дискретного нормирования.

Ссылки

• Гротендик, Александр ; Жан Дьедонне (1961). «Элементы алгебраической геометрии (написанные в сотрудничестве с Жаном Дьедонне): II. Элементарное глобальное исследование некоторых классов морфизмов» . Публикации IHÉS по математике . 8 :5–222. дои : 10.1007/bf02699291 .