Квазиразделенный морфизм
В алгебраической геометрии морфизм схем f из X в Y называется квазиотделимым , если диагональное отображение X в X × Y X квазикомпактно (это означает, что прообраз любого квазикомпактного открытого множества квазикомпактен). ). Схема X называется квазиотделимой, если морфизм Spec Z квазиотделим. Квазиотделенные алгебраические пространства , алгебраические стеки и морфизмы между ними определяются аналогичным образом, хотя некоторые авторы включают условие, что квазиотделимо , как часть определения алгебраического пространства или алгебраического стека X. X Квазисепарированные морфизмы были введены Гротендиком и Дьедонне (1964 , 1.2.1) как обобщение разделенных морфизмов.
Все разделенные морфизмы (и все морфизмы нётеровых схем ) автоматически квазиотделены. Квазиотделенные морфизмы важны для алгебраических пространств и алгебраических стеков, где многие естественные морфизмы квазиотделены, но не разделены.
Условие квазиотдельности морфизма часто встречается вместе с условием его квазикомпактности.
Примеры
[ редактировать ]- Если X — локально нётерова схема, то любой морфизм из X в любую схему является квазиотделимым, и, в частности, X — квазиотделенная схема.
- Любая разделенная схема или морфизм является квазиотделенной.
- Линия с двумя началами над полем квазиотдельна над полем, но не разделена.
- Если X — «бесконечномерное векторное пространство с двумя началами» над полем K, то морфизм X в спецификацию K не является квазиразделенным. Точнее, X состоит из двух копий Spec K [ x 1 , x 2 ,....], склеенных вместе путем определения ненулевых точек в каждой копии.
- Фактор алгебраического пространства по бесконечной дискретной группе, действующей свободно, часто не является квазиразделенным. Например, если K — поле характеристики 0 , то фактор аффинной прямой по группе Z целых чисел представляет собой алгебраическое пространство, которое не является квазиразделенным. Это алгебраическое пространство также является примером группового объекта в категории алгебраических пространств, который не является схемой; квазиразделенные алгебраические пространства, являющиеся групповыми объектами, всегда являются групповыми схемами. Существуют аналогичные примеры, когда факторизируют групповую схему G m по бесконечной подгруппе или факторизируют комплексные числа по решетке.