Лемма Чоу

Не путать с теоремой Чоу .

Лемма Чоу , названная в честь Вэй-Лян Чоу , является одним из основополагающих результатов алгебраической геометрии . Грубо говоря, это говорит о том, что собственный морфизм достаточно близок к проективному морфизму . Точнее, в его версии говорится следующее:

Если $X$ — схема, правильная над нётеровой базой $S$, то существует проективный $S$-схема $X'$ и сюръектив $S$-морфизм $f:X'\to X$ что индуцирует изоморфизм $f^{-1}(U)\simeq U$ для какого-то плотного открытия $U\subseteq X.$

Доказательство

Доказательство здесь стандартное.

Сведение к случаю $X$ нередуцируемый

Сначала мы можем свести к случаю, когда $X$ является нередуцируемым. Для начала $X$ нётерова, поскольку имеет конечный тип над нётеровой базой. Следовательно, оно имеет конечное число неприводимых компонент. $X_{i}$, и мы утверждаем, что для каждого $X_{i}$ существует неприводимое собственное $S$-схема $Y_{i}$ так что $Y_{i}\to X$ имеет теоретико-множественный образ $X_{i}$ и является изоморфизмом на открытом плотном подмножестве $X_{i}\setminus \cup _{j\neq i}X_{j}$ из $X_{i}$. Чтобы увидеть это, определите $Y_{i}$ быть теоретико-схемным образом открытого погружения

$X\setminus \cup _{j\neq i}X_{j}\to X.$

С $X\setminus \cup _{j\neq i}X_{j}$ является теоретико-нётеровым для каждого $i$, карта $X\setminus \cup _{j\neq i}X_{j}\to X$ квазикомпактно, и мы можем вычислить этот теоретико-схемный образ аффинно-локально на $X$, немедленно доказывая оба утверждения. Если мы сможем производить для каждого $Y_{i}$ проективный $S$-схема $Y_{i}'$ как в формулировке теоремы, то можно взять $X'$ быть непересекающимся союзом $\coprod Y_{i}'$ и $f$ быть составом $\coprod Y_{i}'\to \coprod Y_{i}\to X$: это отображение проективно и является изоморфизмом над плотным открытым множеством $X$, пока $\coprod Y_{i}'$ является проективным $S$-схема, поскольку она представляет собой конечное объединение проективных $S$-схемы. Поскольку каждый $Y_{i}$ подходит к концу $S$, мы завершили приведение к делу $X$ нередуцируемый.

$X$ может быть покрыто конечным числом квазипроективных $S$-схемы

Далее мы покажем, что $X$ может быть покрыто конечным числом открытых подмножеств $U_{i}$ так что каждый $U_{i}$ является квазипроективным относительно $S$. Для этого мы можем с помощью квазикомпактности сначала покрыть $S$ конечным числом аффинных открытий $S_{j}$, а затем покрыть прообраз каждого $S_{j}$ в $X$ конечным числом аффинных открытий $X_{jk}$ каждый с закрытым погружением в $\mathbb {A} _{S_{j}}^{n}$ с $X\to S$ имеет конечный тип и, следовательно, квазикомпактно. Составление этой карты с открытыми погружениями $\mathbb {A} _{S_{j}}^{n}\to \mathbb {P} _{S_{j}}^{n}$ и $\mathbb {P} _{S_{j}}^{n}\to \mathbb {P} _{S}^{n}$, мы видим, что каждый $X_{ij}$ является закрытой подсхемой открытой подсхемы $\mathbb {P} _{S}^{n}$. Как $\mathbb {P} _{S}^{n}$ нётерова, каждая замкнутая подсхема открытой подсхемы является также открытой подсхемой замкнутой подсхемы, и, следовательно, каждая $X_{ij}$ является квазипроективным относительно $S$.

Строительство $X'$ и $f:X'\to X$

Теперь предположим $\{U_{i}\}$ является конечным открытым покрытием $X$ квазипроективным $S$-схемы, с $\phi _{i}:U_{i}\to P_{i}$ открытое погружение в проективное $S$-схема. Набор $U=\cap _{i}U_{i}$, который непуст, поскольку $X$ является нередуцируемым. Ограничения $\phi _{i}$ к $U$ определить морфизм

$\phi :U\to P=P_{1}\times _{S}\cdots \times _{S}P_{n}$

так что $U\to U_{i}\to P_{i}=U{\stackrel {\phi }{\to }}P{\stackrel {p_{i}}{\to }}P_{i}$, где $U\to U_{i}$ является канонической инъекцией и $p_{i}:P\to P_{i}$ это проекция. Сдача в аренду $j:U\to X$ обозначим каноническое открытое погружение, определим $\psi =(j,\phi )_{S}:U\to X\times _{S}P$, которое, как мы утверждаем, является погружением. Чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что этот морфизм можно факторизовать как морфизм графа $U\to U\times _{S}P$ (что представляет собой закрытое погружение, поскольку $P\to S$ отделяется) с последующим открытым погружением $U\times _{S}P\to X\times _{S}P$; как $X\times _{S}P$ является нётеровским, мы можем применить ту же логику, что и раньше, чтобы увидеть, что мы можем поменять местами порядок открытых и закрытых погружений.

Теперь позвольте $X'$ быть теоретико-схемным образом $\psi$, и фактор $\psi$ как

$\psi :U{\stackrel {\psi '}{\to }}X'{\stackrel {h}{\to }}X\times _{S}P$

где $\psi '$ представляет собой открытое погружение и $h$ это закрытое погружение. Позволять $q_{1}:X\times _{S}P\to X$ и $q_{2}:X\times _{S}P\to P$ быть каноническими проекциями. Набор

$f:X'{\stackrel {h}{\to }}X\times _{S}P{\stackrel {q_{1}}{\to }}X,$

$g:X'{\stackrel {h}{\to }}X\times _{S}P{\stackrel {q_{2}}{\to }}P.$

Мы покажем это $X'$ и $f$ удовлетворяют заключению теоремы.

Проверка заявленных свойств $X'$ и $f$

Чтобы показать $f$ сюръективен, прежде всего заметим, что он собственный и, следовательно, замкнутый. Поскольку его образ содержит плотное открытое множество $U\subset X$, мы видим это $f$ должно быть сюръективным. Это также легко увидеть $f$ индуцирует изоморфизм на $U$: мы можем просто объединить факты, которые $f^{-1}(U)=h^{-1}(U\times _{S}P)$ и $\psi$ является изоморфизмом своего образа, так как $\psi$ факторы, такие как композиция закрытого погружения с последующим открытым погружением $U\to U\times _{S}P\to X\times _{S}P$. Осталось показать, что $X'$ проективно над $S$.

Мы сделаем это, показав, что $g:X'\to P$ это погружение. Определим следующие четыре семейства открытых подсхем:

$V_{i}=\phi _{i}(U_{i})\subset P_{i}$

$W_{i}=p_{i}^{-1}(V_{i})\subset P$

$U_{i}'=f^{-1}(U_{i})\subset X'$

$U_{i}''=g^{-1}(W_{i})\subset X'.$

Как $U_{i}$ крышка $X$, $U_{i}'$ крышка $X'$, и мы хотим показать, что $U_{i}''$ также покрыть $X'$. Мы сделаем это, показав, что $U_{i}'\subset U_{i}''$ для всех $i$. Достаточно показать, что $p_{i}\circ g|_{U_{i}'}:U_{i}'\to P_{i}$ равно $\phi _{i}\circ f|_{U_{i}'}:U_{i}'\to P_{i}$ как карта топологических пространств. Замена $U_{i}'$ в результате его редукции, которая имеет одно и то же топологическое пространство, мы получаем, что два морфизма $(U_{i}')_{red}\to P_{i}$ оба являются расширениями базовой карты топологического пространства. $U\to U_{i}\to P_{i}$, поэтому по лемме о приведении к разделению они должны быть равны как $U$ топологически плотен в $U_{i}$. Поэтому $U_{i}'\subset U_{i}''$ для всех $i$ и утверждение доказано.

Итогом является то, что $W_{i}$ крышка $g(X')$, и мы можем это проверить $g$ является погружением, проверив, что $g|_{U_{i}''}:U_{i}''\to W_{i}$ это погружение для всех $i$. Для этого рассмотрим морфизм

$u_{i}:W_{i}{\stackrel {p_{i}}{\to }}V_{i}{\stackrel {\phi _{i}^{-1}}{\to }}U_{i}\to X.$

С $X\to S$ отделен, морфизм графа $\Gamma _{u_{i}}:W_{i}\to X\times _{S}W_{i}$ является замкнутым погружением и граф $T_{i}=\Gamma _{u_{i}}(W_{i})$ представляет собой закрытую подсхему $X\times _{S}W_{i}$; если мы покажем это $U\to X\times _{S}W_{i}$ факторы через этот график (где мы рассматриваем $U\subset X'$ по нашим наблюдениям, что $f$ является изоморфизмом над $f^{-1}(U)$ ранее), затем карту из $U_{i}''$ должен также учитывать этот граф при построении теоретико-схемного образа. С момента ограничения $q_{2}$ к $T_{i}$ является изоморфизмом на $W_{i}$, ограничение $g$ к $U_{i}''$ будет погружение в $W_{i}$, и наше утверждение будет доказано. Позволять $v_{i}$ быть канонической инъекцией $U\subset X'\to X\times _{S}W_{i}$; нам нужно показать, что существует морфизм $w_{i}:U\subset X'\to W_{i}$ так что $v_{i}=\Gamma _{u_{i}}\circ w_{i}$. По определению расслоенного произведения достаточно доказать, что $q_{1}\circ v_{i}=u_{i}\circ q_{2}\circ v_{i}$или путем выявления $U\subset X$ и $U\subset X'$, что $q_{1}\circ \psi =u_{i}\circ q_{2}\circ \psi$. Но $q_{1}\circ \psi =j$ и $q_{2}\circ \psi =\phi$, поэтому желаемый вывод следует из определения $\phi :U\to P$ и $g$ это погружение. С $X'\to S$ подходит, любой $S$-морфизм из $X'$ закрыто, и поэтому $g:X'\to P$ является закрытым погружением, поэтому $X'$ является проективным. $\blacksquare$

Дополнительные заявления

В формулировке леммы Чоу, если $X$ является приведенным, неприводимым или целым, то можно считать, что то же самое справедливо и для $X'$. Если оба $X$ и $X'$ неприводимы, то $f:X'\to X$ является бирациональным морфизмом.

Библиография

• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1961). «Элементы алгебраической геометрии: II. Элементарное глобальное изучение некоторых классов морфизмов» . Публикации IHÉS по математике . 8 . дои : 10.1007/bf02699291 . МР   0217084 .
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для аспирантов по математике , том. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN.  978-0-387-90244-9 , МР   0463157