Нётерова схема

В алгебраической геометрии нётерова схема — это схема , допускающая конечное покрытие открытыми . аффинными подмножествами $\operatorname {Spec} A_{i}$, где каждый $A_{i}$ является нётеровым кольцом . В более общем смысле схема является локально нетеровой , если она покрыта спектрами нётеровых колец. Таким образом, схема нётерова тогда и только тогда, когда она локально нётерова и компактна . Как и в случае с нетеровскими кольцами, эта концепция названа в честь Эмми Нётер .

Можно показать, что в локально нетеровой схеме, если $\operatorname {Spec} A$ — открытое аффинное подмножество, то A — нётерово кольцо. В частности, $\operatorname {Spec} A$ является нётеровой схемой тогда и только тогда, когда A — нётерово кольцо. Пусть X — локально нётерова схема. Потом местные звонят ${\mathcal {O}}_{X,x}$ являются нётеровыми кольцами.

Нётерова схема — это нётерово топологическое пространство . Но обратное вообще неверно; рассмотрим, например, спектр кольца ненетерова нормирования .

Определения распространяются на формальные схемы .

и

Наличие (локально) нётеровской гипотезы для утверждения о схемах обычно делает многие проблемы более доступными, поскольку они достаточно жестко закрепляют многие из его свойств.

Отвинчивание

Одной из наиболее важных структурных теорем о нётеровых кольцах и нётеровых схемах является теорема Девиссажа . Эта теорема позволяет разложить рассуждения о когерентных пучках на индуктивные рассуждения. Это потому, что дана короткая точная последовательность когерентных пучков

$0\to {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}''\to 0$

Доказать, что один из пучков обладает каким-то свойством, эквивалентно доказательству того, что два других обладают этим свойством. В частности, для фиксированного когерентного пучка ${\mathcal {F}}$ и субкогерентный пучок ${\mathcal {F}}'$, показывая ${\mathcal {F}}$ имеет какое-то свойство, можно свести к рассмотрению ${\mathcal {F}}'$ и ${\mathcal {F}}/{\mathcal {F}}'$. Поскольку этот процесс можно применять нетривиальным образом только конечное число раз, это делает возможным множество индукционных рассуждений.

Количество неприводимых компонентов

Любая нётерова схема может иметь лишь конечное число компонентов.

квазикомпактны

Каждый морфизм нётеровой схемы $X\to S$ является квазикомпактным .

Гомологические свойства

обладают множеством интересных гомологических свойств. Нётеровы схемы

и

Чеховские когомологии и пучковые когомологии согласуются в аффинном открытом покрытии. Это позволяет вычислить пучковые когомологии $\mathbb {P} _{S}^{n}$ используя когомологии Чеха для стандартного открытого покрытия.

Совместимость копределов с когомологиями

Учитывая прямую систему $\{{\mathcal {F}}_{\alpha },\phi _{\alpha \beta }\}_{\alpha \in \Lambda }$ пучков абелевых групп нётеровой схемы существует канонический изоморфизм

$\varinjlim H^{i}(X,{\mathcal {F}}_{\alpha })\to H^{i}(X,\varinjlim {\mathcal {F}}_{\alpha })$

имеется в виду функторы

$H^{i}(X,-):{\text{Ab}}(X)\to {\text{Ab}}$

сохранить прямые пределы и копродукции.

Производное прямое изображение

Учитывая локально конечный морфизм типа $f:X\to S$ по нетеровской схеме $S$ и комплекс связок ${\mathcal {E}}^{\bullet }\in D_{Coh}^{b}(X)$ с ограниченными когерентными когомологиями такими, что пучки $H^{i}({\mathcal {E}}^{\bullet })$ иметь надлежащую поддержку $S$, то производное продвижение вперед $\mathbf {R} f_{*}({\mathcal {E}}^{\bullet })$ имеет ограниченные когерентные когомологии над $S$, что означает, что это объект в $D_{Coh}^{b}(S)$.

Примеры

Многие из схем, встречающихся в природе, являются нётеровыми схемами.

Локально конечного типа над нётеровой базой

Другой класс примеров нётеровых схем. являются семействами схем $X\to S$ где база $S$ является нетеровским и $X$ имеет конечный тип над $S$. Сюда входит множество примеров, таких как связные компоненты схемы Гильберта , т. е. с фиксированным полиномом Гильберта. Это важно, поскольку подразумевает, что многие пространства модулей, встречающиеся в дикой природе, являются нетеровыми, например, модули алгебраических кривых и модули стабильных векторных расслоений . Кроме того, это свойство можно использовать, чтобы показать, что многие схемы, рассматриваемые в алгебраической геометрии, на самом деле нётеровы.

Квазипроективные многообразия

В частности, квазипроективные многообразия представляют собой нётеровы схемы. В этот класс входят алгебраические кривые , эллиптические кривые , абелевы многообразия , схемы Калаби-Яу , многообразия Шимуры , поверхности К3 и кубические поверхности . Практически все объекты классической алгебраической геометрии попадают в этот класс примеров.

нётеровых схем

В частности, бесконечно малые деформации нётеровых схем снова являются нётеровыми. Например, дана кривая $C/{\text{Spec}}(\mathbb {F} _{q})$, любая деформация ${\mathcal {C}}/{\text{Spec}}(\mathbb {F} _{q}[\varepsilon ]/(\varepsilon ^{n}))$ также является нетеровой схемой. Башню таких деформаций можно использовать для построения формальных нётеровых схем.

Непримеры

Схемы над базисами Адели

Одним из естественных колец, не являющихся нетеровыми, является Кольцо аделей. $\mathbb {A} _{K}$ для поля алгебраических чисел $K$. Для того чтобы иметь дело с такими кольцами, рассматривается топология, дающая топологические кольца . Над такими кольцами существует понятие алгебраической геометрии, развитое Вейлем и Александром Гротендиком .

Кольца целых чисел с бесконечными расширениями

Учитывая бесконечное расширение поля Галуа $K/L$, такой как $\mathbb {Q} (\zeta _{\infty })/\mathbb {Q}$ (путем присоединения всех корней из единицы), кольцо целых чисел ${\mathcal {O}}_{K}$ является нетеровым кольцом размерности $1$. Это нарушает интуитивное представление о том, что конечномерные схемы обязательно нётеровы. Кроме того, этот пример объясняет, зачем изучать схемы на ненётеровой базе; то есть схемы ${\text{Sch}}/{\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{E})$, может быть интересной и плодотворной темой.

Один особый случай ^{стр. 93} такого расширения берет максимальное неразветвленное расширение $K^{ur}/K$ и рассматривая кольцо целых чисел ${\mathcal {O}}_{K^{ur}}$. Индуцированный морфизм

${\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K^{ur}})\to {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})$

образует универсальное покрытие ${\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})$.

Полиномиальное кольцо с бесконечным числом образующих

Другой пример ненётеровой конечномерной схемы (фактически нульмерной) даёт следующий фактор кольца многочленов с бесконечным числом образующих.

${\frac {\mathbb {Q} [x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ]}{(x_{1},x_{2}^{2},x_{3}^{3},\ldots )}}$

См. также

• Отличное кольцо - немного более жесткое, чем нётерово кольцо, но имеет лучшие свойства.
• Теорема Шевалле о конструктивных множествах
• Основная теорема Зарисского
• Дуализирующий комплекс
• Теорема Нагаты о компактификации

Ссылки

• Хартшорн, Робин (1977). Алгебраическая геометрия . Тексты для аспирантов по математике. Том. 52. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-0-387-90244-9 . МР   0463157 . Збл   0367.14001 .
• Сложнее, Гюнтер . «Когомологии арифметических групп» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 24 июля 2020 г.
• Данилов, В.И. (2001) [1994], «Нётерова схема» , Энциклопедия Математики , EMS Press