последовательность Эйлера

В математике последовательность Эйлера представляет собой особую точную последовательность в пучков n - мерном проективном пространстве над кольцом . Он показывает, что дифференциалов изоморфен стабильно пучок относительных $(n+1)$-кратная сумма двойственного скручивающему пучку Серра .

Последовательность Эйлера обобщается на последовательность проективного расслоения, а также на расслоение Грассмана (об этом обобщении см. последнюю статью).

Заявление

Позволять $\mathbb {P} _{A}^{n}$ — n мерное проективное пространство над коммутативным кольцом A. - Позволять $\Omega ^{1}=\Omega _{\mathbb {P} _{A}^{n}/A}^{1}$ — пучок 1-дифференциалов на этом пространстве и т. д. Последовательность Эйлера — это следующая точная последовательность пучков на $\mathbb {P} _{A}^{n}$:

$$0\longrightarrow \Omega ^{1}\longrightarrow {\mathcal {O}}(-1)^{\oplus (n+1)}\longrightarrow {\mathcal {O}}\longrightarrow 0.$$

Последовательность можно построить, определив гомоморфизм $S(-1)^{\oplus n+1}\to S,e_{i}\mapsto x_{i}$ с $S=A[x_{0},\ldots ,x_{n}]$ и $e_{i}=1$ в 1 степени, сюръектив в градусах $\geq 1$и проверяем это локально на $n+1$ стандартных картах ядро ​​изоморфно относительному дифференциальному модулю.

Геометрическая интерпретация

Предположим, что A — поле k .

Точная последовательность, приведенная выше, двойственна последовательности

$0\longrightarrow {\mathcal {O}}\longrightarrow {\mathcal {O}}(1)^{\oplus (n+1)}\longrightarrow {\mathcal {T}}\longrightarrow 0$,

где ${\mathcal {T}}$ представляет собой пучок касательный $\mathbb {P} ^{n}$.

Поясним бескоординатную версию этой последовательности на $\mathbb {P} V$ для $(n+1)$-мерное векторное пространство V над k :

$0\longrightarrow {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} V}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} V}(1)\otimes V\longrightarrow {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} V}\longrightarrow 0.$

Эту последовательность легче всего понять, интерпретируя части центрального терма как 1-однородные векторные поля на V . Одна такая секция, векторное поле Эйлера , соответствует каждой точке. $v$ из разнообразия $V$ касательный вектор $v$. Это векторное поле является радиальным в том смысле, что оно равномерно обращается в нуль на 0-однородных функциях, то есть на функциях, инвариантных при гомотетическом масштабировании или « независимых от радиальной координаты ».

Функция (определенная на некотором открытом множестве) на $\mathbb {P} V$ путем возврата приводит к 0-однородной функции на V (опять частично определенной). Умножая векторное поле Эйлера на такие функции, мы получаем 1-однородные векторные поля. Таково определение первого отображения, и его инъективность очевидна.

Вторая карта связана с понятием вывода, эквивалентным понятию векторного поля. Напомним, что векторное поле на открытом множестве U проективного пространства $\mathbb {P} V$ может быть определен как вывод функций, определенных на этом открытом множестве. Если вернуться в V , это эквивалентно выводу на прообразе U , который сохраняет 0-однородные функции. Любое векторное поле на $\mathbb {P} V$ таким образом можно получить, и дефект инъективности этого отображения состоит именно в радиальных векторных полях.

Поэтому ядро ​​второго морфизма равно образу первого.

Каноническое линейное расслоение проективных пространств

Взяв высшую внешнюю степень , можно увидеть, что канонический пучок проективного пространства задается формулой $$\omega _{\mathbb {P} _{A}^{n}/A}={\mathcal {O}}_{\mathbb {P} _{A}^{n}}(-(n+1)).$$ В частности, проективные пространства являются многообразиями Фано , поскольку каноническое расслоение антиобильно и у этого линейного расслоения нет ненулевых глобальных сечений, поэтому геометрический род равен 0. Это можно найти, взглянув на последовательность Эйлера и подставив ее в определительная формула $$\det({\mathcal {E}})=\det({\mathcal {E}}')\otimes \det({\mathcal {E}}'')$$ для любой короткой точной последовательности вида $0\to {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}''\to 0$.

Классы Черна

Последовательность Эйлера можно использовать для вычисления классов Чженя проективного пространства. Напомним, что для короткой точной последовательности когерентных пучков $$0\to {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}''\to 0,$$мы можем вычислить полный класс Чженя ${\mathcal {E}}$ с формулой $c({\mathcal {E}})=c({\mathcal {E}}')\cdot c({\mathcal {E}}'')$. Например, на $\mathbb {P} ^{2}$ мы находим $${\begin{aligned}c(\Omega _{\mathbb {P} ^{2}}^{1})&={\frac {c({\mathcal {O}}(-1)^{\oplus (2+1)})}{c({\mathcal {O}})}}\\&=(1-[H])^{3}\\&=1-3[H]+3[H]^{2}-[H]^{3}\\&=1-3[H]+3[H]^{2},\end{aligned}}$$ где $[H]$ представляет класс гиперплоскости в кольце Чоу $A^{\bullet }(\mathbb {P} ^{2})$. Используя точную последовательность $$0\to \Omega ^{2}\to {\mathcal {O}}(-2)^{\oplus 3}\to \Omega ^{1}\to 0,$$ мы можем снова использовать формулу полного класса Черна, чтобы найти $${\begin{aligned}c(\Omega ^{2})&={\frac {c({\mathcal {O}}(-2)^{\oplus 3})}{c(\Omega ^{1})}}\\&={\frac {(1-2[H])^{3}}{1-3[H]+3[H]^{2}}}.\end{aligned}}$$ Поскольку нам нужно обратить многочлен в знаменателе, это эквивалентно нахождению степенного ряда $a([H])=a_{0}+a_{1}[H]+a_{2}[H]^{2}+a_{3}[H]^{3}+\cdots$ такой, что $a([H])c(\Omega ^{1})=1$.

Ссылки

• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для аспирантов по математике , том. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN.  978-0-387-90244-9 , МР   0463157
• Рубей, Елена (2014), Алгебраическая геометрия, краткий словарь , Берлин/Бостон: Уолтер Де Грюйтер , ISBN  978-3-11-031622-3