Котангенс пучок

В алгебраической геометрии для морфизма f : X → S схем кокасательный пучок на X является пучком схем. ${\mathcal {O}}_{X}$ -модули $\Omega _{X/S}$ который представляет (или классифицирует) S - производные ^[1] в смысле: для любого ${\mathcal {O}}_{X}$ -модулей F существует изоморфизм

\operatorname {Hom} _{{\mathcal {O}}_{X}}(\Omega _{X/S},F)=\operatorname {Der} _{S}({\mathcal {O}}_{X},F)

это, естественно, зависит от F . Другими словами, кокасательный пучок характеризуется универсальным свойством: существует дифференциал $d:{\mathcal {O}}_{X}\to \Omega _{X/S}$ такая, что любое S -вывод $D:{\mathcal {O}}_{X}\to F$ факторы как $D=\alpha \circ d$ с некоторыми $\alpha :\Omega _{X/S}\to F$ .

В случае, когда X и S являются аффинными схемами, приведенное выше определение означает, что $\Omega _{X/S}$ — модуль дифференциалов Кэлера . Стандартный способ построения кокасательного пучка (например, Хартшорн, гл. II, § 8) заключается в использовании диагонального морфизма (который представляет собой склеивание модулей кэлеровых дифференциалов на аффинных картах для получения глобально определенного котангенсного пучка). Двойственный модуль кокасательный пучок на схеме X называется касательным пучком на X и иногда обозначается $\Theta _{X}$ . ^[2]

Есть две важные точные последовательности:

Если S → T — морфизм схем, то
$f^{*}\Omega _{S/T}\to \Omega _{X/T}\to \Omega _{X/S}\to 0.$
Если Z — замкнутая подсхема X с идеальным пучком I , то
$I/I^{2}\to \Omega _{X/S}\otimes _{O_{X}}{\mathcal {O}}_{Z}\to \Omega _{Z/S}\to 0.$ ^[3]^[4]

Котангенсный пучок тесно связан с гладкостью многообразия или схемы. Например, алгебраическое многообразие является гладким размерности n тогда и только тогда, когда Ω _X — локально свободный пучок ранга n . ^[5]

Построение через диагональный морфизм

Позволять $f:X\to S$ — морфизм схем, как во введении, а ∆: X → X × _S X — диагональный морфизм. Тогда образ А локально замкнут ; т. е. замкнуто в некотором открытом подмножестве W пространства X × _S X (образ замкнут тогда и только тогда, когда отделена ) f . Пусть I идеальный пучок ∆( X ) в W. — Затем один пишет:

\Omega _{X/S}=\Delta ^{*}(I/I^{2})

и проверяет, что этот пучок модулей удовлетворяет требуемому универсальному свойству кокасательного пучка (Хартшорн, гл. II, замечание 8.9.2). Конструкция показывает, в частности, что коткасательный пучок квазикогерентен . Оно когерентно, если и f S нётерово имеет конечный тип.

Приведенное выше определение означает, что кокасательный пучок на X является ограничением на X конормального пучка диагонального вложения X над S .

Отношение к тавтологическому линейному расслоению

Кокасательный пучок в проективном пространстве связан с тавтологическим расслоением O (-1) следующей точной последовательностью: запись $\mathbf {P} _{R}^{n}$ для проективного пространства над кольцом R ,

0\to \Omega _{\mathbf {P} _{R}^{n}/R}\to {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} _{R}^{n}}(-1)^{\oplus (n+1)}\to {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} _{R}^{n}}\to 0.

(См. также класс Черна#Комплексное проективное пространство .)

Котангенс стек

Об этом понятии см. § 1

А. Бейлинсон и В. Дринфельд, Квантование интегрируемой системы Хитчина и собственные пучки Гекке [1]. Архивировано 5 января 2015 г. в Wayback Machine. ^[6]

Там кокасательный стек алгебраического стека X определяется как относительная Spec симметричной алгебры касательного пучка на X . (Примечание: вообще говоря, если E — локально свободный пучок конечного ранга, $\mathbf {Spec} (\operatorname {Sym} ({\check {E}}))$ — алгебраическое векторное расслоение, соответствующее E . ^{[ нужна ссылка ]})