Система Хитчина

В математике — интегрируемая система Хитчина это интегрируемая система , зависящая от выбора комплексной редуктивной группы и компактной римановой поверхности , введенная Найджелом Хитчиным в 1987 году. Она лежит на перекрестке алгебраической геометрии , теории алгебр Ли и интегрируемых систем. теория. Он также играет важную роль в геометрическом соответствии Ленглендса над полем комплексных чисел посредством конформной теории поля .

Аналог рода системы Хитчина нулевого , система Гарнье , была открыта Рене Гарнье несколько раньше как некий предел уравнений Шлезингера , и Гарнье решил свою систему, определив спектральные кривые. (Система Гарнье — классический предел модели Годена . В свою очередь, уравнения Шлезингера — классический предел уравнений Книжника–Замолодчикова ).

Почти все интегрируемые системы классической механики могут быть получены как частные случаи системы Хитчина или их общего обобщения, определенного Боттасиным и Маркманом в 1994 году.

Описание

Используя язык алгебраической геометрии, фазовое пространство системы представляет собой частичную компактификацию кокасательного расслоения в пространство модулей стабильных G - расслоений для некоторой редуктивной группы G на некоторой компактной алгебраической кривой . Это пространство наделено канонической симплектической формой . Предположим для простоты, что $G=\mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )$ , общая линейная группа ; тогда гамильтонианы можно описать следующим образом: касательное пространство к пространству модулей G -расслоений в расслоении F есть

H^{1}(\operatorname {End} (F)),

которая по двойственности Серра двойственна

\Phi \in H^{0}(\operatorname {End} (F)\otimes K),

где $K$ является каноническим расслоением , поэтому пара

(F,\Phi )

называемая парой Хитчина или расслоением Хиггса , определяет точку в кокасательном расслоении. принимая

\operatorname {Tr} (\Phi ^{k}),\qquad k=1,\ldots ,\operatorname {rank} (G)

получают элементы в

H^{0}(K^{\otimes k}),

которое представляет собой векторное пространство, не зависящее от $(F,\Phi )$ . Таким образом, взяв любой базис в этих векторных пространствах, мы получаем функции H _i , которые являются гамильтонианами Хитчина. Конструкция общей редуктивной группы аналогична и использует инвариантные полиномы на алгебре Ли группы G .

По тривиальным причинам эти функции алгебраически независимы, и некоторые расчеты показывают, что их число составляет ровно половину размерности фазового пространства. Нетривиальная часть является доказательством пуассоновой коммутативности этих функций. Таким образом, они определяют интегрируемую систему в симплектическом смысле или в смысле Арнольда – Лиувилля .

Расслоение Хитчина

— Расслоение Хитчина это отображение пространства модулей пар Хитчина в характеристические многочлены , аналог более высокого рода карты Гарнье, используемой для определения спектральных кривых. Нго ( 2006 , 2010 ) использовал расслоения Хитчина над конечными полями в своем доказательстве фундаментальной леммы .

См. также

Ссылки

Чудновский, Д.В. (1979), «Упрощенные системы Шлезингера», Lettere al Nuovo Cimento , 26 (14): 423–427, doi : 10.1007/BF02817023 , S2CID 122196561
Гарнье, Рене (1919), «Об одном классе абелевых дифференциальных систем, выведенных из теории линейных уравнений» , Ренд. Цирк. Мачта. Палермо , 43 : 155–191, номер документа : 10.1007/BF03014668 , S2CID 120557738 .
Хитчин, Найджел (1987), «Стабильные расслоения и интегрируемые системы», Duke Mathematical Journal , 54 (1): 91–114, doi : 10.1215/S0012-7094-87-05408-1
Нго, Бао Чау (2006), «Расслоение Хитчина и эндоскопическая структура формулы следов» (PDF) , Международный конгресс математиков. Том. II , Евр. Математика. Soc., Цюрих, стр. 1213–1225, MR 2275642.
Нго, Бао Чау (2010), «Расслоение Хитчина и эндоскопия», Inventiones Mathematicae , 164 (2): 399–453, arXiv : math/0406599 , Bibcode : 2006InMat.164..399N , doi : 10.1007/s00222-005 -0483-7 , ISSN 0020-9910 , MR 2218781 , S2CID 52064585