Knizhnik–Zamolodchikov equations

В математической физике уравнения Книжника -Замолодчикова , или уравнения КЗ , представляют собой линейные дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют корреляционные функции (на сфере Римана) двумерных конформных теорий поля, связанных с аффинной алгеброй Ли на фиксированном уровне. Они образуют систему комплексных уравнений в частных производных с регулярными особыми точками, которым удовлетворяют N -точечные функции аффинных примарных полей , и могут быть выведены с использованием формализма либо алгебр Ли , либо формализма вертексных алгебр .

Структура нулевой части конформной теории поля закодирована в свойствах монодромии этих уравнений. В частности, сплетение и слияние первичных полей (или связанных с ними представлений) можно вывести из свойств четырехточечных функций, для которых уравнения сводятся к одному матричнозначному комплексному обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка фуксовой тип.

Первоначально российские физики Вадим Книжник и Александр Замолодчиков вывели уравнения модели SU(2) Весса–Зумино–Виттена, используя классические формулы Гаусса для коэффициентов связи гипергеометрического дифференциального уравнения .

Определение

Позволять ${\hat {\mathfrak {g}}}_{k}$ обозначим аффинную алгебру Ли с уровнем k и двойственным числом Кокстера h . Пусть v — вектор из представления нулевой моды ${\hat {\mathfrak {g}}}_{k}$ и $\Phi (v,z)$ основное поле, связанное с ним. Позволять $t^{a}$ быть базисом базовой алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$, $t_{i}^{a}$ их представление на первичном поле $\Phi (v_{i},z)$ и η форма Киллинга . Тогда для $i,j=1,2,\ldots ,N$ the Knizhnik–Zamolodchikov equations read

$\left((k+h)\partial _{z_{i}}+\sum _{j\neq i}{\frac {\sum _{a,b}\eta _{ab}t_{i}^{a}\otimes t_{j}^{b}}{z_{i}-z_{j}}}\right)\left\langle \Phi (v_{N},z_{N})\dots \Phi (v_{1},z_{1})\right\rangle =0.$

Неофициальный вывод

Уравнения Книжника–Замолодчикова возникают из алгебры конструкция Сугавары Вирасоро из аффинной алгебры Ли. Более конкретно, они являются результатом применения тождества

$L_{-1}={\frac {1}{2(k+h)}}\sum _{k\in \mathbf {Z} }\sum _{a,b}\eta _{ab}J_{-k}^{a}J_{k-1}^{b}$

к аффинному первичному полю $\Phi (v_{i},z_{i})$ в корреляционной функции аффинных первичных полей. В этом контексте только термины $k=0,1$ не исчезают. Действие $J_{-1}^{a}$ затем можно переписать, используя глобальные идентификаторы Уорда ,

$\left(\left(J_{-1}^{a}\right)_{i}+\sum _{j\neq i}{\frac {t_{j}^{a}}{z_{i}-z_{j}}}\right)\left\langle \Phi (v_{N},z_{N})\dots \Phi (v_{1},z_{1})\right\rangle =0,$

и $L_{-1}$ можно отождествить с оператором бесконечно малого перевода ${\frac {\partial }{\partial z}}$.

Математическая формулировка

Основная статья: Вертексная алгебра

После рассмотрения в Цучия и Кани (1988) уравнение Книжника-Замолодчикова было сформулировано математически на языке вершинных алгебр благодаря Борчердсу (1986) и Френкелю, Леповски и Меурману (1988) . Этот подход был популяризирован среди физиков-теоретиков Годдардом (1989) и среди математиков Кацем (1997) .

Вакуумное представление H ₀ аффинной алгебры Каца–Муди на фиксированном уровне может быть закодировано в вершинной алгебре . Вывод d действует как оператор энергии L ₀ в H ₀ , который можно записать как прямую сумму неотрицательных целых собственных пространств L ₀ , причем пространство с нулевой энергией генерируется вакуумным вектором Ω. Собственное значение собственного вектора L ₀ называется его энергией. Для каждого состояния a в L существует вершинный оператор V ( a , z ), который создает a из вакуумного вектора Ω в том смысле, что

$V(a,0)\Omega =a.$

Вершинные операторы энергии 1 соответствуют генераторам аффинной алгебры

$X(z)=\sum X(n)z^{-n-1}$

где X пробегает элементы базовой конечномерной простой комплексной алгебры Ли. ${\mathfrak {g}}$.

Существует собственный вектор энергии 2 L ₋₂ Ω , который задает генераторы L _n алгебры Вирасоро, ассоциированной с алгеброй Каца–Муди конструкцией Сигала–Сугавары.

$T(z)=\sum L_{n}z^{-n-2}.$

Если a имеет энергию α , то соответствующий вершинный оператор имеет вид

$V(a,z)=\sum V(a,n)z^{-n-\alpha }.$

Вершинные операторы удовлетворяют

${\begin{aligned}{\frac {d}{dz}}V(a,z)&=\left[L_{-1},V(a,z)\right]=V\left(L_{-1}a,z\right)\\\left[L_{0},V(a,z)\right]&=\left(z^{-1}{\frac {d}{dz}}+\alpha \right)V(a,z)\end{aligned}}$

а также отношения локальности и ассоциативности

$V(a,z)V(b,w)=V(b,w)V(a,z)=V(V(a,z-w)b,w).$

Эти последние два соотношения понимаются как аналитические продолжения: скалярные произведения с конечными векторами энергии трех выражений определяют одни и те же полиномы от z ^±1 , В ^±1 и ( z - ш ) ⁻¹ в доменах | г | < | ш |, | г | > | ш | и | я – ш | < | ш |. Из этих соотношений можно восстановить все структурные отношения алгебр Каца–Муди и Вирасоро, включая конструкцию Сигала–Сугавары.

Любое другое интегральное представление H _i на том же уровне становится модулем вершинной алгебры в том смысле, что для каждого a существует вершинный оператор Vi ₍ ) a , z i на H _что такой,

$V_{i}(a,z)V_{i}(b,w)=V_{i}(b,w)V_{i}(a,z)=V_{i}(V(a,z-w)b,w).$

Наиболее общие вершинные операторы на данном уровне — это сплетающие операторы Φ( v , z ) между представлениями H _i и H _j , где v лежит в H _k . Эти операторы также можно записать как

$\Phi (v,z)=\sum \Phi (v,n)z^{-n-\delta }$

но теперь δ могут быть рациональными числами . И снова эти переплетающиеся операторы характеризуются свойствами

$V_{j}(a,z)\Phi (v,w)=\Phi (v,w)V_{i}(a,w)=\Phi \left(V_{k}(a,z-w)v,w\right)$

и отношения с L ₀ и L ₋₁ аналогичны приведенным выше.

Когда v находится в подпространстве с наименьшей энергией для L ₀ на H _k , неприводимое представление ${\mathfrak {g}}$оператор Φ( v , w ) называется примарным полем заряда k .

Учитывая цепочку из n первичных полей, начинающуюся и заканчивающуюся в H ₀ , их корреляционная или n -точечная функция определяется формулой

$\left\langle \Phi (v_{1},z_{1})\Phi (v_{2},z_{2})\cdots \Phi (v_{n},z_{n})\right\rangle =\left(\Phi \left(v_{1},z_{1}\right)\Phi \left(v_{2},z_{2}\right)\cdots \Phi \left(v_{n},z_{n}\right)\Omega ,\Omega \right).$

физической литературе vi _{представлением} часто опускаются, а первичное поле обозначается Φ _i ( zi _В ), понимая, что оно помечено соответствующим неприводимым ${\mathfrak {g}}$.

Вывод вершинной алгебры

Если ( X _s ) — ортонормированный базис ${\mathfrak {g}}$ для формы Киллинга уравнения Книжника–Замолодчикова можно вывести путем интегрирования корреляционной функции

$\sum _{s}\left\langle X_{s}(w)X_{s}(z)\Phi (v_{1},z_{1})\cdots \Phi (v_{n},z_{n})\right\rangle (w-z)^{-1}$

сначала в переменной w вокруг небольшого круга с центром в z ; по теореме Коши результат можно выразить как сумму интегралов вокруг n маленьких кругов с центрами в точках z _j :

${1 \over 2}(k+h)\left\langle T(z)\Phi (v_{1},z_{1})\cdots \Phi (v_{n},z_{n})\right\rangle =-\sum _{j,s}\left\langle X_{s}(z)\Phi (v_{1},z_{1})\cdots \Phi (X_{s}v_{j},z_{j})\cdots \Phi (v_{n},z_{n})\right\rangle (z-z_{j})^{-1}.$

Интегрирование обеих частей по переменной z вокруг небольшого круга с центром в z _i дает i ^й Knizhnik–Zamolodchikov equation.

Вывод алгебры Ли

Уравнения Книжника–Замодчикова можно вывести и без явного использования вершинных алгебр. Член Φ( vi _может , zi _где ) функции ее коммутатором с Lr _, r быть заменен в корреляционной = 0, ±1. Результат можно выразить через производную по z _i . С другой стороны, L _r также определяется формулой Сигала – Сугавары:

${\begin{aligned}L_{0}&=(k+h)^{-1}\sum _{s}\left[{\frac {1}{2}}X_{s}(0)^{2}+\sum _{m>0}X_{s}(-m)X_{s}(m)\right]\\L_{\pm 1}&=(k+h)^{-1}\sum _{s}\sum _{m\geq 0}X_{s}(-m\pm 1)X_{s}(m)\end{aligned}}$

После подстановки этих формул на L _r полученные выражения можно упростить, используя формулы коммутатора

$[X(m),\Phi (a,n)]=\Phi (Xa,m+n).$

Исходное происхождение

Оригинальное доказательство Книжника и Замолодчикова (1984) , воспроизведенное в Цучия и Канье (1988) , использует комбинацию обоих вышеперечисленных методов. Прежде всего заметим, что для X в ${\mathfrak {g}}$

$\left\langle X(z)\Phi (v_{1},z_{1})\cdots \Phi (v_{n},z_{n})\right\rangle =\sum _{j}\left\langle \Phi (v_{1},z_{1})\cdots \Phi (Xv_{j},z_{j})\cdots \Phi (v_{n},z_{n})\right\rangle (z-z_{j})^{-1}.$

Следовательно

$\sum _{s}\langle X_{s}(z)\Phi (z_{1},v_{1})\cdots \Phi (X_{s}v_{i},z_{i})\cdots \Phi (v_{n},z_{n})\rangle =\sum _{j}\sum _{s}\langle \cdots \Phi (X_{s}v_{j},z_{j})\cdots \Phi (X_{s}v_{i},z_{i})\cdots \rangle (z-z_{j})^{-1}.$

С другой стороны,

$\sum _{s}X_{s}(z)\Phi \left(X_{s}v_{i},z_{i}\right)=(z-z_{i})^{-1}\Phi \left(\sum _{s}X_{s}^{2}v_{i},z_{i}\right)+(k+g){\partial \over \partial z_{i}}\Phi (v_{i},z_{i})+O(z-z_{i})$

так что

$(k+g){\frac {\partial }{\partial z_{i}}}\Phi (v_{i},z_{i})=\lim _{z\to z_{i}}\left[\sum _{s}X_{s}(z)\Phi \left(X_{s}v_{i},z_{i}\right)-(z-z_{i})^{-1}\Phi \left(\sum _{s}X_{s}^{2}v_{i},z_{i}\right)\right].$

Результат получается при использовании этого предела в предыдущем равенстве.

Монодромное представление уравнения КЗ

В конформной теории поля согласно приведенному выше определению -точечная корреляционная функция n первичного поля удовлетворяет уравнению КЗ. В частности, для ${\mathfrak {sl}}_{2}$ и неотрицательные целые числа k существуют $k+1$ первичные поля $\Phi _{j}(z_{j})$ соответствует спина _j представлению ( $j=0,1/2,1,3/2,\ldots ,k/2$). Корреляционная функция $\Psi (z_{1},\dots ,z_{n})$ основных полей $\Phi _{j}(z_{j})$ для представления $(\rho ,V_{i})$ принимает значения в тензорном произведении $V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n}$ и его уравнение КЗ:

$(k+2){\frac {\partial }{\partial z_{i}}}\Psi =\sum _{i,j\neq i}{\frac {\Omega _{ij}}{z_{i}-z_{j}}}\Psi$,

где $\Omega _{ij}=\sum _{a}\rho _{i}(J^{a})\otimes \rho _{j}(J_{a})$ как приведенный выше неофициальный вывод .

Эту n -точечную корреляционную функцию можно аналитически продолжить как многозначную голоморфную функцию в области определения $X_{n}\subset \mathbb {C} ^{n}$ с $z_{i}\neq z_{j}$ для $i\neq j$. Благодаря такому аналитическому продолжению голономия уравнения КЗ может быть описана группой кос $B_{n}$ представил Эмиль Артин . В общем, сложная полупростая алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ и его представления $(\rho ,V_{i})$ дать линейное представление группы кос

$\theta \colon B_{n}\rightarrow V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n}$

как голономия уравнения КЗ. Напротив, уравнение КЗ дает линейное представление группы кос как ее голономию.

Действие на $V_{1}\otimes \dots \otimes V_{n}$ Аналитическое продолжение уравнения КЗ называется представлением монодромии уравнения КЗ . В частности, если все $V_{i}$ имеют представление со спином _1/2 , то линейное представление, полученное из уравнения КЗ, согласуется с представлением, построенным на основе теории операторной алгебры Воаном Джонсом . Известно, что представление монодромии уравнения КЗ с общей полупростой алгеброй Ли согласуется с линейным представлением группы кос, заданным R-матрицей соответствующей квантовой группы .

Отношения КЗ-БПЗ

В случае, когда основная алгебра Ли ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}(2)$уравнения КЗ преобразуются в уравнения БПЗ путем для разделения переменных Склянина ${\mathfrak {sl}}(2)$ Модели Годена .

Приложения

• Теория представлений аффинной алгебры Ли и квантовых групп
• Группы кос
• Топология дополнений гиперплоскости
• Теория узлов и тройные складки

См. также

• Квантовые уравнения КЗ

Ссылки

• Байк, Джинхо; Дейфт, Перси; Йоханссон, Курт (июнь 1999 г.), «О распределении длины самой длинной возрастающей подпоследовательности случайных перестановок» (PDF) , J. Amer. Математика. Соц. , 12 (4): 1119–78, doi : 10.1090/S0894-0347-99-00307-0 , S2CID   11355968
• Книжник, В.Г. ; Замолодчиков, А.Б. (1984), "Современная алгебра и модель Весса – Зумино в двумерном измерении", Nucl. Физ. Б , 247 (1): 83–103, Бибкод : 1984НуФБ.247...83К , номер документа : 10.1016/0550-3213(84)90374-2
• Цучия, А.; Кани, Ю. (1988), Вершинные операторы в конформной теории поля на P(1) и представления монодромии группы кос , Adv. Стад. Чистая математика., вып. 16, стр. 297–372 (Ошибка в томе 19, стр. 675–682.)
• Борчердс, Ричард (1986), «Вершинные алгебры, алгебры Каца – Муди и монстр», Proc. Натл. акад. наук. США , 83 (10): 3068–3071, Bibcode : 1986PNAS...83.3068B , doi : 10.1073/pnas.83.10.3068 , PMC   323452 , PMID   16593694
• Френкель, Игорь ; Леповски, Джеймс ; Мерман, Арне (1988), Алгебры вершинных операторов и монстр , Чистая и прикладная математика, том. 134, Академик Пресс, ISBN  0-12-267065-5
• Годдард, Питер (1989), «Мероморфная конформная теория поля» , Кац, Виктор Г. (редактор), Бесконечномерные алгебры и группы Ли , Расширенная серия по математической физике, том. 7, World Scientific, стр. 556–587, ISBN.  978-981-4663-17-5
• Кац, Виктор (1997), Вершинные алгебры для начинающих , Серия университетских лекций, том. 10, Американское математическое общество, ISBN.  0-8218-0643-2
• Этингоф, Павел Иванович ; Френкель, Игорь ; Кириллов, Александр А. (1998), Лекции по теории представлений и уравнениям Книжника – Замолодчикова , Математические обзоры и монографии, вып. 58, Американское математическое общество, ISBN.  0821804960
• Френкель, Эдвард; Бен-Цви, Дэвид (2001), Вершинные алгебры и алгебраические кривые , Математические обзоры и монографии, том. 88, Американское математическое общество, ISBN.  0-8218-2894-0
• Коно, Тошитаке (2002), Конформная теория поля и топология , Перевод математических монографий, том. 210, Американское математическое общество, ISBN.  978-0821821305