Слабая пара

В математике , в теории интегрируемых систем , пара Лакса — это пара нестационарных матриц или операторов , удовлетворяющих соответствующему дифференциальному уравнению , называемому уравнением Лакса . Пары Лакса были введены Питером Лаксом для обсуждения солитонов в непрерывных средах . Преобразование обратного рассеяния использует уравнения Лакса для решения таких систем.

Определение

Пара Лакса — это пара матриц или операторов. $L(t),P(t)$ зависящий от времени, действующий в фиксированном гильбертовом пространстве и удовлетворяющий уравнению Лакса :

${\frac {dL}{dt}}=[P,L],$

где $[P,L]=PL-LP$является коммутатором . Часто, как в примере ниже, $P$ зависит от $L$ заданным образом, так что это нелинейное уравнение для $L$ как функция $t$.

Изоспектральное свойство

Затем можно показать, что собственные значения и, в более общем смысле, не зависят спектр L от t . Матрицы/операторы L называются изоспектральными , поскольку $t$ варьируется.

Основное наблюдение состоит в том, что матрицы $L(t)$ все похожи в силу

$L(t)=U(t,s)L(s)U(t,s)^{-1},$

где $U(t,s)$ является решением задачи Коши

${\frac {d}{dt}}U(t,s)=P(t)U(t,s),\quad U(s,s)=I,$

где I обозначает единичную матрицу. Обратите внимание, что если P ( t ) кососопряжён , U ( t , s ) будет унитарным .

Другими словами, чтобы решить проблему собственных значений Lψ = λψ в момент времени t , можно решить ту же проблему в момент 0, где L , как правило, лучше известен, и распространить решение с помощью следующих формул:

$\lambda (t)=\lambda (0)$ (без изменения спектра),

${\frac {\partial \psi }{\partial t}}=P\psi .$

Через главные инварианты

См. Также: Инварианты тензоров.

Результат также можно показать с помощью инвариантов $\operatorname {tr} (L^{n})$ для любого $n$. Они удовлетворяют

$${\frac {d}{dt}}\operatorname {tr} (L^{n})=0$$

благодаря уравнению Лакса и поскольку характеристический полином можно записать через эти следы, спектр сохраняется потоком.

Связь с методом обратного рассеяния

Указанное свойство лежит в основе метода обратной задачи рассеяния. В этом методе L и P действуют в функциональном пространстве (таким образом, ψ = ψ ( t , x )) и зависят от неизвестной функции u ( t , x ), которую необходимо определить. Обычно предполагается, что u (0, x ) известна и что P не зависит от u в области рассеяния, где $\|x\|\to \infty .$ Тогда метод принимает следующий вид:

1. Вычислить спектр $L(0)$, давая $\lambda$ и $\psi (0,x).$
2. В области рассеяния, где $P$ известно, распространяйте $\psi$ вовремя, используя ${\frac {\partial \psi }{\partial t}}(t,x)=P\psi (t,x)$ с начальным состоянием $\psi (0,x).$
3. Зная $\psi$ в области рассеяния вычислить $L(t)$ и/или $u(t,x).$

Спектральная кривая

Если матрица Лакса дополнительно зависит от комплексного параметра $z$ (как и в случае, скажем, синус-Гордона ), уравнение

$$\det {\big (}wI-L(z){\big )}=0$$

определяет алгебраическую кривую в $\mathbb {C} ^{2}$ с координатами $w,z.$По своему изоспектральному свойству эта кривая сохраняется при сдвиге во времени. Это спектральная кривая . Такие кривые появляются в теории систем Хитчина .

Представление нулевой кривизны

Любое УЧП, допускающее представление пары Лакса, также допускает представление нулевой кривизны. Фактически, представление нулевой кривизны является более общим, и для других интегрируемых УЧП, таких как уравнение синус-Гордон , пара Лакса относится к матрицам, которые удовлетворяют уравнению нулевой кривизны, а не уравнению Лакса. Более того, представление нулевой кривизны демонстрирует связь между интегрируемыми системами и геометрией, кульминацией чего является программа Уорда по формулированию известных интегрируемых систем как решений антиавтодуальных уравнений Янга – Миллса (ASDYM).

нулевой

Уравнения нулевой кривизны описываются парой матриц-функций $A_{x}(x,t),A_{t}(x,t),$где нижние индексы обозначают индексы координат, а не производные. Часто $(x,t)$ зависимость осуществляется через одну скалярную функцию $\varphi (x,t)$и его производные. Тогда уравнение нулевой кривизны имеет вид

$$\partial _{t}A_{x}-\partial _{x}A_{t}+[A_{x},A_{t}]=0.$$

Он назван так потому, что соответствует обращению в нуль тензора кривизны , который в данном случае равен $F_{\mu \nu }=[\partial _{\mu }-A_{\mu },\partial _{\nu }-A_{\nu }]=-\partial _{\mu }A_{\nu }+\partial _{\nu }A_{\mu }+[A_{\mu },A_{\nu }]$. Оно отличается от общепринятого выражения некоторыми знаками минус, которые в конечном счете не имеют значения.

Слабая пара с нулевой кривизной

Для собственного решения оператора Лакса $L$, надо

$$L\psi =\lambda \psi ,\psi _{t}+A\psi =0.$$

Если мы вместо этого будем применять их вместе с независимостью времени от $\lambda$вместо этого уравнение Лакса возникает как уравнение непротиворечивости переопределенной системы.

Пара Лакс $(L,P)$ может использоваться для определения компонентов соединения $(A_{x},A_{t})$. Когда УЧП допускает представление нулевой кривизны, но не представление уравнения Лакса, компоненты связи $(A_{x},A_{t})$ называются парой Лакса, а связь - связью Лакса.

Примеры

Кортевега –

Уравнение Кортевега – де Фриза

$u_{t}=6uu_{x}-u_{xxx}$

можно переформулировать как уравнение Лакса

$L_{t}=[P,L]$

с

$L=-\partial _{x}^{2}+u$ ( оператор Штурма–Лиувилля ),

$P=-4\partial _{x}^{3}+6u\partial _{x}+3u_{x},$

где все производные действуют на все объекты справа. Этим объясняется бесконечное число первых интегралов уравнения КдФ.

Kovalevskaya top

В предыдущем примере использовалось бесконечномерное гильбертово пространство. Возможны также примеры с конечномерными гильбертовыми пространствами. К ним относятся волчок Ковалевской и обобщение на включение электрического поля. ${\vec {h}}$.

${\begin{aligned}L&={\begin{pmatrix}g_{1}+h_{2}&g_{2}+h_{1}&g_{3}&h_{3}\\g_{2}+h_{1}&-g_{1}+h_{2}&h_{3}&-g_{3}\\g_{3}&h_{3}&-g_{1}-h_{2}&g_{2}-h_{1}\\h_{3}&-g_{3}&g_{2}-h_{1}&g_{1}+h_{2}\\\end{pmatrix}}\lambda ^{-1}\\&+{\begin{pmatrix}0&0&-l_{2}&-l_{1}\\0&0&l_{1}&-l_{2}\\l_{2}&-l_{1}&-2\lambda &-2l_{3}\\l_{1}&l_{2}&2l_{3}&2\lambda \\\end{pmatrix}},\\P&={\frac {-1}{2}}{\begin{pmatrix}0&-2l_{3}&l_{2}&l_{1}\\2l_{3}&0&-l_{1}&l_{2}\\-l_{2}&l_{1}&2\lambda &2l_{3}+\gamma \\-l_{1}&-l_{2}&-2l_{3}&-2\lambda \\\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Изображение Гейзенберга

В картине квантовой механики Гейзенберга наблюдаемая A без условию явной зависимости от времени удовлетворяет t

${\frac {d}{dt}}A(t)={\frac {i}{\hbar }}[H,A(t)],$

где H — , гамильтониан а ħ — приведенная постоянная Планка . Таким образом, помимо множителя, наблюдаемые (без явной зависимости от времени) в этой картине образуют пары Лакса вместе с гамильтонианом. затем Картина Шрёдингера интерпретируется как альтернативное выражение в терминах изоспектральной эволюции этих наблюдаемых.

Дальнейшие примеры

Другие примеры систем уравнений, которые можно сформулировать как пару Лакса, включают:

• Уравнение Бенджамина–Оно
• Одномерное кубическое нелинейное уравнение Шрёдингера
• Система Дэйви – Стюартсона
• Интегрируемые системы с контактными парами Лакса
• Уравнение Кадомцева–Петвиашвили.
• Уравнение Кортевега – де Фриза
• Иерархия КдВ
• уравнение Марченко
• Модифицированное уравнение Кортевега – де Фриза.
• Уравнение Синус-Гордон
• Все решетки
• Вершины Лагранжа, Эйлера и Ковалевской
• Belinski–Zakharov transform , in general relativity.

Последнее примечательно тем, что из него следует, что и метрику Шварцшильда , и метрику Керра можно понимать как солитоны.

Ссылки

• Лакс, П. (1968), «Интегралы нелинейных уравнений эволюции и уединенные волны», Communications on Pure and Applied Mathematics , 21 (5): 467–490, doi : 10.1002/cpa.3160210503 , архив
• П. Лакс и Р.С. Филлипс, Теория рассеяния для автоморфных функций [1] , (1976) Princeton University Press.