Слабая пара
В математике , в теории интегрируемых систем , пара Лакса — это пара нестационарных матриц или операторов , удовлетворяющих соответствующему дифференциальному уравнению , называемому уравнением Лакса . Пары Лакса были введены Питером Лаксом для обсуждения солитонов в непрерывных средах . Преобразование обратного рассеяния использует уравнения Лакса для решения таких систем.
Определение [ править ]
Пара Лакса — это пара матриц или операторов. зависящий от времени, действующий в фиксированном гильбертовом пространстве и удовлетворяющий уравнению Лакса :
где является коммутатором . Часто, как в примере ниже, зависит от заданным образом, так что это нелинейное уравнение для как функция .
Изоспектральное свойство [ править ]
Затем можно показать, что собственные значения и, в более общем смысле, не зависят спектр L от t . Матрицы/операторы L называются изоспектральными , поскольку варьируется.
Основное наблюдение состоит в том, что матрицы все похожи в силу
где является решением задачи Коши
где I обозначает единичную матрицу. Обратите внимание, что если P ( t ) кососопряжён , U ( t , s ) будет унитарным .
Другими словами, чтобы решить проблему собственных значений Lψ = λψ в момент времени t , можно решить ту же проблему в момент 0, где L , как правило, лучше известен, и распространить решение с помощью следующих формул:
- (без изменения спектра),
Через главные инварианты [ править ]
Результат также можно показать с помощью инвариантов для любого . Они удовлетворяют
Связь с методом обратного рассеяния [ править ]
Указанное свойство лежит в основе метода обратной задачи рассеяния. В этом методе L и P действуют в функциональном пространстве (таким образом, ψ = ψ ( t , x )) и зависят от неизвестной функции u ( t , x ), которую необходимо определить. Обычно предполагается, что u (0, x ) известна и что P не зависит от u в области рассеяния, где Тогда метод принимает следующий вид:
- Вычислить спектр , давая и
- В области рассеяния, где известно, распространяйте вовремя, используя с начальным состоянием
- Зная в области рассеяния вычислить и/или
Спектральная кривая [ править ]
Если матрица Лакса дополнительно зависит от комплексного параметра (как и в случае, скажем, синус-Гордона ), уравнение
Представление нулевой кривизны [ править ]
Любое УЧП, допускающее представление пары Лакса, также допускает представление нулевой кривизны. [3] Фактически, представление нулевой кривизны является более общим, и для других интегрируемых УЧП, таких как уравнение синус-Гордон , пара Лакса относится к матрицам, которые удовлетворяют уравнению нулевой кривизны, а не уравнению Лакса. Более того, представление нулевой кривизны демонстрирует связь между интегрируемыми системами и геометрией, кульминацией чего является программа Уорда по формулированию известных интегрируемых систем как решений антиавтодуальных уравнений Янга – Миллса (ASDYM).
нулевой Уравнение кривизны
Уравнения нулевой кривизны описываются парой матриц-функций где нижние индексы обозначают индексы координат, а не производные. Часто зависимость осуществляется через одну скалярную функцию и его производные. Тогда уравнение нулевой кривизны имеет вид
Слабая пара с нулевой кривизной [ править ]
Для собственного решения оператора Лакса , надо
Пара Лакс может использоваться для определения компонентов соединения . Когда УЧП допускает представление нулевой кривизны, но не представление уравнения Лакса, компоненты связи называются парой Лакса, а связь - связью Лакса.
Примеры [ править ]
Кортевега – Уравнение Фриза де
Уравнение Кортевега – де Фриза
можно переформулировать как уравнение Лакса
с
где все производные действуют на все объекты справа. Этим объясняется бесконечное число первых интегралов уравнения КдФ.
Kovalevskaya top [ edit ]
В предыдущем примере использовалось бесконечномерное гильбертово пространство. Возможны также примеры с конечномерными гильбертовыми пространствами. К ним относятся волчок Ковалевской и обобщение на включение электрического поля. . [4]
Изображение Гейзенберга [ править ]
В картине квантовой механики Гейзенберга наблюдаемая A без условию явной зависимости от времени удовлетворяет t
где H — , гамильтониан а ħ — приведенная постоянная Планка . Таким образом, помимо множителя, наблюдаемые (без явной зависимости от времени) в этой картине образуют пары Лакса вместе с гамильтонианом. затем Картина Шрёдингера интерпретируется как альтернативное выражение в терминах изоспектральной эволюции этих наблюдаемых.
Дальнейшие примеры [ править ]
Другие примеры систем уравнений, которые можно сформулировать как пару Лакса, включают:
- Уравнение Бенджамина–Оно
- Одномерное кубическое нелинейное уравнение Шрёдингера
- Система Дэйви – Стюартсона
- Интегрируемые системы с контактными парами Лакса [5]
- Уравнение Кадомцева–Петвиашвили.
- Уравнение Кортевега – де Фриза
- Иерархия КдВ
- уравнение Марченко
- Модифицированное уравнение Кортевега – де Фриза.
- Уравнение Синус-Гордон
- Все решетки
- Вершины Лагранжа, Эйлера и Ковалевской
- Belinski–Zakharov transform , in general relativity.
Последнее примечательно тем, что из него следует, что и метрику Шварцшильда , и метрику Керра можно понимать как солитоны.
Ссылки [ править ]
- ^ Хитчин, Нью-Джерси (1999). Интегрируемые системы: твисторы, группы петель и римановы поверхности . Оксфорд: Кларендон Пресс. ISBN 0198504217 .
- ^ Хитчин, Нью-Джерси (1999). Интегрируемые системы: твисторы, группы петель и римановы поверхности . Оксфорд: Кларендон Пресс. ISBN 9780198504214 .
- ^ Дунайский, Мацей (2010). Солитоны, инстантоны и твисторы . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. стр. 54–56. ISBN 978-0-19-857063-9 .
- ^ Бобенко А.И.; Рейман, АГ; Семенов-Тян-Шанский, М.А. (1989). «Волчок Ковалевской 99 лет спустя: пара Лакса, обобщения и явные решения» . Связь в математической физике . 122 (2): 321–354. Бибкод : 1989CMaPh.122..321B . дои : 10.1007/BF01257419 . ISSN 0010-3616 . S2CID 121752578 .
- ^ А. Сергеев, Новые интегрируемые (3+1)-мерные системы и контактная геометрия, Письмо. Математика. Физ. 108 (2018), вып. 2, 359–376, arXiv : 1401.2122 . два : 10.1007/s11005-017-1013-4
- Лакс, П. (1968), «Интегралы нелинейных уравнений эволюции и уединенные волны», Communications on Pure and Applied Mathematics , 21 (5): 467–490, doi : 10.1002/cpa.3160210503 , архив
- П. Лакс и Р.С. Филлипс, Теория рассеяния для автоморфных функций [1] , (1976) Princeton University Press.