Иерархия КдВ

В математике иерархия КдВ представляет собой бесконечную последовательность уравнений в частных производных , которая содержит уравнение Кортевега – де Фриза .

Подробности

Позволять $T$ быть оператором перевода, определенным для вещественнозначных функций как $T(g)(x)=g(x+1)$ . Позволять ${\mathcal {C}}$ быть множеством всех аналитических функций , которые удовлетворяют $T(g)(x)=g(x)$ , т.е. периодические функции периода 1. Для каждого $g\in {\mathcal {C}}$ , определите оператор $L_{g}(\psi )(x)=\psi ''(x)+g(x)\psi (x)$ в пространстве гладких функций на $\mathbb {R}$ . Определим спектр Блоха ${\mathcal {B}}_{g}$ быть набором $(\lambda ,\alpha )\in \mathbb {C} \times \mathbb {C} ^{*}$ такая, что существует ненулевая функция $\psi$ с $L_{g}(\psi )=\lambda \psi$ и $T(\psi )=\alpha \psi$ . Иерархия КдВ представляет собой последовательность нелинейных дифференциальных операторов. $D_{i}:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}$ такой, что для любого $i$ у нас есть аналитическая функция $g(x,t)$ и мы определяем $g_{t}(x)$ быть $g(x,t)$ и $D_{i}(g_{t})={\frac {d}{dt}}g_{t}$ ,затем ${\mathcal {B}}_{g}$ не зависит от $t$ .

Иерархия КдВ естественным образом возникает как утверждение принципа Гюйгенса для даламбериана . ^[1]^[2]

Явные уравнения для первых трех членов иерархии

Первые три уравнения в частных производных иерархии КдФ: ${\begin{aligned}u_{t_{0}}&=u_{x}\\u_{t_{1}}&=6uu_{x}-u_{xxx}\\u_{t_{2}}&=10uu_{xxx}-20u_{x}u_{xx}-30u^{2}u_{x}-u_{xxxxx}.\end{aligned}}$ где каждое уравнение рассматривается как УЧП для $u=u(x,t_{n})$ для соответствующего $n$ . ^[3]

Первое уравнение определяет $t_{0}=x$ и $t_{1}=t$ как в исходном уравнении КдВ. Эти уравнения возникают как уравнения движения из (счетного) бесконечного набора независимых констант движения. $I_{n}[u]$ выбрав их, в свою очередь, в качестве гамильтониана системы. Для $n>1$ , уравнения называются высшими уравнениями КдФ , а переменные $t_{n}$ более высокие времена .

Приложение к периодическим решениям КдВ

Кноидальное волновое решение уравнения Кортевега – Де Фриза в терминах квадрата эллиптической функции Якоби cn (и со значением параметра m = 0,9 ).

Высшие KdV можно рассматривать как систему переопределенных УЧП для $u=u(t_{0}=x,t_{1}=t,t_{2},t_{3},\cdots ).$ Тогда решения, независимые от более высоких времен выше некоторого фиксированного $n$ и с периодическими граничными условиями называются конечнозонными решениями. Таким решениям оказываются соответствующие компактные римановы поверхности , которые классифицируются по роду $g$ . Например, $g=0$ дает постоянное решение, а $g=1$ соответствует кноидальным волновым решениям.

Для $g>1$ , риманова поверхность является гиперэллиптической кривой и решение дается через тэта-функцию . ^[4] Фактически все решения уравнения КдВ с периодическими начальными данными возникают из этой конструкции (Манаков, Новиков, Питаевский и др., 1984 ).

См. также

Ссылки

^ Чалуб, Фабио АСС; Зубелли, Хорхе П. (2006). «Принцип Гюйгенса для гиперболических операторов и интегрируемых иерархий». Физика D: Нелинейные явления . 213 (2): 231–245. Бибкод : 2006PhyD..213..231C . дои : 10.1016/j.physd.2005.11.008 .
^ Берест Юрий Ю.; Луценко, Игорь М. (1997). «Принцип Гюйгенса в пространствах Минковского и солитонные решения уравнения Кортевега-де Фриза». Связь в математической физике . 190 (1): 113–132. arXiv : Solv-int/9704012 . Бибкод : 1997CMaPh.190..113B . дои : 10.1007/s002200050235 . S2CID 14271642 .
^ Дунайский, Мацей (2010). Солитоны, инстантоны и твисторы . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. стр. 56–57. ISBN 9780198570639 .
^ Manakov, S.; Novikov, S.; Pitaevskii, L.; Zakharov, V. E. (1984). Theory of solitons : the inverse scattering method . New York. ISBN 978-0-306-10977-5 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

Источники

Гестеши, Фриц; Холден, Хельге (2003), Солитонные уравнения и их алгебро-геометрические решения. Том. Я , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 79, Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-75307-4 , г-н : 1992536

Внешние ссылки

Иерархия KdV в Dispersive PDE Wiki.

[1] Чалуб, Фабио АСС; Зубелли, Хорхе П. (2006). «Принцип Гюйгенса для гиперболических операторов и интегрируемых иерархий». Физика D: Нелинейные явления . 213 (2): 231–245. Бибкод : 2006PhyD..213..231C . дои : 10.1016/j.physd.2005.11.008 .

[2] Берест Юрий Ю.; Луценко, Игорь М. (1997). «Принцип Гюйгенса в пространствах Минковского и солитонные решения уравнения Кортевега-де Фриза». Связь в математической физике . 190 (1): 113–132. arXiv : Solv-int/9704012 . Бибкод : 1997CMaPh.190..113B . дои : 10.1007/s002200050235 . S2CID 14271642 .

[dunajski-3] Дунайский, Мацей (2010). Солитоны, инстантоны и твисторы . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. стр. 56–57. ISBN 9780198570639 .

[mnpz-4] Manakov, S.; Novikov, S.; Pitaevskii, L.; Zakharov, V. E. (1984). Theory of solitons : the inverse scattering method . New York. ISBN 978-0-306-10977-5 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[1]

[2]

[3]

[4]