Инварианты тензоров

В математике , в области полилинейной алгебры и теории представлений главные инварианты второго ранга тензора $\mathbf {A}$ – коэффициенты характеристического полинома

$\ p(\lambda )=\det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )$,

где $\mathbf {I}$ является оператором идентификации и $\lambda _{i}\in \mathbb {C}$ многочлена представляют собственные значения .

В более широком смысле, любая скалярная функция. $f(\mathbf {A} )$ является инвариантом $\mathbf {A}$ тогда и только тогда, когда $f(\mathbf {Q} \mathbf {A} \mathbf {Q} ^{T})=f(\mathbf {A} )$ для всех ортогональных $\mathbf {Q}$. Это означает, что формула, выражающая инвариант через компоненты, $A_{ij}$, даст одинаковый результат для всех декартовых оснований. Например, хотя отдельные диагональные компоненты $\mathbf {A}$ изменится с изменением базиса, сумма диагональных составляющих не изменится.

Свойства

Главные инварианты не изменяются при вращении системы координат (они объективны или, в более современной терминологии, удовлетворяют принципу безразличия материальной системы отсчета ), и любая функция главных инвариантов также является объективной.

Вычисление инвариантов тензоров второго ранга

В большинстве инженерных приложений ищутся главные инварианты тензоров второго ранга размерности три, например, для правого тензора деформации Коши-Грина. $\mathbf {C}$ который имеет собственные значения $\lambda _{1}^{2}$, $\lambda _{2}^{2}$, и $\lambda _{3}^{2}$. Где $\lambda _{1}$, $\lambda _{2}$, и $\lambda _{3}$ являются главными растяжениями, т.е. собственными значениями $\mathbf {U} ={\sqrt {\mathbf {C} }}$.

Главные инварианты

Для таких тензоров главные инварианты задаются формулами:

${\begin{aligned}I_{1}&=\mathrm {tr} (\mathbf {A} )=A_{11}+A_{22}+A_{33}=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}\\I_{2}&={\frac {1}{2}}\left((\mathrm {tr} (\mathbf {A} ))^{2}-\mathrm {tr} \left(\mathbf {A} ^{2}\right)\right)=A_{11}A_{22}+A_{22}A_{33}+A_{11}A_{33}-A_{12}A_{21}-A_{23}A_{32}-A_{13}A_{31}=\lambda _{1}\lambda _{2}+\lambda _{1}\lambda _{3}+\lambda _{2}\lambda _{3}\\I_{3}&=\det(\mathbf {A} )=-A_{13}A_{22}A_{31}+A_{12}A_{23}A_{31}+A_{13}A_{21}A_{32}-A_{11}A_{23}A_{32}-A_{12}A_{21}A_{33}+A_{11}A_{22}A_{33}=\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}\end{aligned}}$

Для симметричных тензоров эти определения сводятся к минимуму.

Соответствие между главными инвариантами и характеристическим полиномом тензора в сочетании с теоремой Кэли – Гамильтона показывает, что

$\ \mathbf {A} ^{3}-I_{1}\mathbf {A} ^{2}+I_{2}\mathbf {A} -I_{3}\mathbf {I} =0$

где $\mathbf {I}$ – тождественный тензор второго порядка.

Основные инварианты

Помимо перечисленных выше главных инвариантов, можно ввести также понятие главных инвариантов.

${\begin{aligned}J_{1}&=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=I_{1}\\J_{2}&=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}=I_{1}^{2}-2I_{2}\\J_{3}&=\lambda _{1}^{3}+\lambda _{2}^{3}+\lambda _{3}^{3}=I_{1}^{3}-3I_{1}I_{2}+3I_{3}\end{aligned}}$

которые являются функциями главных инвариантов, указанных выше. Это коэффициенты характеристического многочлена девиатора $\mathbf {A} -(\mathrm {tr} (\mathbf {A} )/3)\mathbf {I}$, такой, что он бесследен. Разделение тензора на компоненту, кратную единичной, и бесследовую компоненту является стандартным в гидродинамике, где первую называют изотропной, обеспечивающей измененное давление, а вторую - девиаторной, обеспечивающей сдвиговые эффекты.

Смешанные инварианты

Кроме того, также могут быть определены смешанные инварианты между парами тензоров второго ранга.

Вычисление инвариантов тензоров второго порядка высшей размерности

Их можно извлечь путем вычисления характеристического полинома непосредственного , с использованием алгоритма Фаддеева-Леверье , например .

Вычисление инвариантов тензоров высших порядков

Также могут быть определены инварианты тензоров третьего, четвертого и более высокого порядка.

приложения

Скалярная функция $f$ которая полностью зависит от главных инвариантов тензора, является объективной, т. е. независимой от поворотов системы координат. Это свойство обычно используется при формулировании выражений в замкнутой форме для плотности энергии деформации или свободной энергии Гельмгольца нелинейного материала, обладающего изотропной симметрией.

Этот метод был впервые использован в изотропной турбулентности Говардом П. Робертсоном в 1940 году, когда он смог вывести уравнение Кармана-Ховарта из принципа инвариантности. Джордж Бэтчелор и Субраманьян Чандрасекар использовали эту технику и разработали расширенный подход к осесимметричной турбулентности.

несимметричных

Настоящий тензор $\mathbf {A}$ в 3D (т.е. с компонентной матрицей 3х3) имеет до шести независимых инвариантов, три из которых являются инвариантами ее симметричной части и три характеризуют ориентацию аксиального вектора кососимметричной части относительно главных направлений симметричная часть. Например, если декартовы компоненты $\mathbf {A}$ являются

$[A]={\begin{bmatrix}931&5480&-717\\-5120&1650&1090\\1533&-610&1169\end{bmatrix}},$

первым шагом будет оценка аксиального вектора $\mathbf {w}$ связанный с кососимметричной частью. В частности, аксиальный вектор имеет компоненты

${\begin{aligned}w_{1}&={\frac {A_{32}-A_{23}}{2}}=-850\\w_{2}&={\frac {A_{13}-A_{31}}{2}}=-1125\\w_{3}&={\frac {A_{21}-A_{12}}{2}}=-5300\end{aligned}}$

Следующий шаг находит главные значения симметричной части $\mathbf {A}$. Хотя собственные значения вещественного несимметричного тензора могут быть комплексными, собственные значения его симметричной части всегда будут действительными и, следовательно, могут быть упорядочены от большего к меньшему. Соответствующим ортонормированным главным базисным направлениям можно присвоить смыслы, чтобы гарантировать, что аксиальный вектор $\mathbf {w}$ точки в первом октанте. Что касается этой особой основы, то компоненты $\mathbf {A}$ являются

$[A']={\begin{bmatrix}1875&-2500&3125\\2500&1250&-3750\\-3125&3750&625\end{bmatrix}},$

Первые три инварианта $\mathbf {A}$ являются диагональными компонентами этой матрицы: $a_{1}=A'_{11}=1875,a_{2}=A'_{22}=1250,a_{3}=A'_{33}=625$ (равных упорядоченным главным значениям симметричной части тензора). Остальные три инварианта являются компонентами аксиального вектора в этом базисе: $w'_{1}=A'_{32}=3750,w'_{2}=A'_{13}=3125,w'_{3}=A'_{21}=2500$. Примечание: величина аксиального вектора, ${\sqrt {\mathbf {w} \cdot \mathbf {w} }}$, является единственным инвариантом косой части $\mathbf {A}$, тогда как эти отдельные три инварианта характеризуют (в некотором смысле) «выравнивание» между симметричной и косой частями $\mathbf {A}$. является мифом Кстати, то, что тензор положительно определен, если его собственные значения положительны, . Вместо этого он положительно определен тогда и только тогда, когда собственные значения его симметричной части положительны.

См. также

• Симметричный полином
• Элементарный симметричный полином
• Личности Ньютона
• Инвариантная теория