Уравнение Кармана – Ховарта

В изотропной турбулентности уравнение Кармана-Ховарта (по Теодору фон Карману и Лесли Ховарт 1938), которое получено из уравнений Навье-Стокса , используется для описания эволюции безразмерной продольной автокорреляции .

Математическое описание

Рассмотрим двухточечный тензор корреляции скорости для однородной турбулентности

$R_{ij}(\mathbf {r} ,t)={\overline {u_{i}(\mathbf {x} ,t)u_{j}(\mathbf {x} +\mathbf {r} ,t)}}.$

Для изотропной турбулентности этот корреляционный тензор можно выразить через две скалярные функции, используя теорию инвариантов группы полного вращения, впервые выведенную Говардом П. Робертсоном в 1940 году:

$R_{ij}(\mathbf {r} ,t)=u'^{2}\left\{[f(r,t)-g(r,t)]{\frac {r_{i}r_{j}}{r^{2}}}+g(r,t)\delta _{ij}\right\},\quad f(r,t)={\frac {R_{11}}{u'^{2}}},\quad g(r,t)={\frac {R_{22}}{u'^{2}}}$

где $u'$ – среднеквадратическая турбулентная скорость и $u_{1},\ u_{2},\ u_{3}$ турбулентные скорости во всех трех направлениях. Здесь, $f(r)$ продольная корреляция и $g(r)$ — боковая корреляция скорости в двух разных точках. Из уравнения непрерывности имеем

${\frac {\partial R_{ij}}{\partial r_{j}}}=0\quad \Rightarrow \quad g(r,t)=f(r,t)+{\frac {r}{2}}{\frac {\partial }{\partial r}}f(r,t)$

Таким образом $f(r,t)$ однозначно определяет двухточечную корреляционную функцию. Теодор фон Карман и Лесли Ховарт вывели уравнение эволюции для $f(r,t)$ из уравнения Навье – Стокса как

${\frac {\partial }{\partial t}}(u'^{2}f)-{\frac {u'^{3}}{r^{4}}}{\frac {\partial }{\partial r}}(r^{4}h)={\frac {2\nu u'^{2}}{r^{4}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{4}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)$

где $h(r,t)$ однозначно определяет тензор тройной корреляции

$S_{ij}={}{\frac {\partial }{\partial r_{k}}}\left({\overline {u_{i}(\mathbf {x} ,t)u_{k}(\mathbf {x} ,t)u_{j}(\mathbf {x} +\mathbf {r} ,t)}}-{\overline {u_{i}(\mathbf {x} ,t)u_{k}(\mathbf {x} +\mathbf {r} ,t)u_{j}(\mathbf {x} +\mathbf {r} ,t)}}\right).$

Инвариант Лойцианского

Л. Г. Лойцианский получил интегральный инвариант затухания турбулентности, взяв четвертый момент уравнения Кармана – Ховарта в 1939 году: то есть

${\frac {\partial }{\partial t}}\left(u'^{2}\int _{0}^{\infty }r^{4}f\ dr\right)=\left[2\nu u'^{2}r^{4}{\frac {\partial f}{\partial r}}+u'^{3}r^{4}h\right]_{0}^{\infty }.$

Если $f(r)$ распадается быстрее, чем $r^{-3}$ как $r\rightarrow \infty$ а также в этом пределе, если предположить, что $r^{4}h$ исчезает, у нас есть количество,

$\Lambda =u'^{2}\int _{0}^{\infty }r^{4}f\ dr=\mathrm {constant}$

который является инвариантным. Лев Ландау и Евгений Лифшиц показали, что этот инвариант эквивалентен сохранению углового момента . Однако Ян Праудман и У. Х. Рид показали, что этот инвариант выполняется не всегда, поскольку $\lim _{r\rightarrow \infty }(r^{4}h)$ вообще не равна нулю, по крайней мере, в начальный период затухания. В 1967 году Филип Саффман показал, что этот интеграл зависит от начальных условий и при определенных условиях интеграл может расходиться.

Распад турбулентности

Для течений с преобладанием вязкости во время затухания турбулентности уравнение Кармана – Ховарта сводится к уравнению теплопроводности, если пренебречь тензором тройной корреляции, т. е.

${\frac {\partial }{\partial t}}(u'^{2}f)={\frac {2\nu u'^{2}}{r^{4}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{4}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right).$

При подходящих граничных условиях решение приведенного выше уравнения имеет вид

$f(r,t)=e^{-r^{2}/8\nu t},\quad u'^{2}=\mathrm {const.} \times (\nu t)^{-5/2}$

так что,

$R_{ij}(r,t)\sim (\nu t)^{-5/2}e^{-r^{2}/8\nu t}.$

См. также

• Уравнение Кармана-Ховарта-Монина ( анизотропное обобщение Андреем Мониным соотношения Кармана-Ховарта)
• Уравнение Бэтчелора – Чандрасекара (однородная осесимметричная турбулентность)
• Уравнение Коррсина (соотношение Кармана – Ховарта для скалярного уравнения переноса)
• Инвариант Чандрасекара (инвариант флуктуаций плотности в изотропной однородной турбулентности)