Функция плотности энергии деформации

Функция плотности энергии деформации или функция плотности запасенной энергии представляет собой скалярную функцию , которая связывает плотность энергии деформации материала с градиентом деформации .

W={\hat {W}}({\boldsymbol {C}})={\hat {W}}({\boldsymbol {F}}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}})={\bar {W}}({\boldsymbol {F}})={\bar {W}}({\boldsymbol {B}}^{1/2}\cdot {\boldsymbol {R}})={\tilde {W}}({\boldsymbol {B}},{\boldsymbol {R}})

Эквивалентно,

W={\hat {W}}({\boldsymbol {C}})={\hat {W}}({\boldsymbol {R}}^{T}\cdot {\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {R}})={\tilde {W}}({\boldsymbol {B}},{\boldsymbol {R}})

где ${\boldsymbol {F}}$ – (двухточечный) тензор градиента деформации , ${\boldsymbol {C}}$ – правый тензор деформации Коши–Грина , ${\boldsymbol {B}}$ – левый тензор деформации Коши–Грина , ^[1]^[2]и ${\boldsymbol {R}}$ - тензор вращения полярного разложения ${\boldsymbol {F}}$ .

Для анизотропного материала функция плотности энергии деформации ${\hat {W}}({\boldsymbol {C}})$ неявно зависит от опорных векторов или тензоров (например, начальной ориентации волокон в композите), которые характеризуют внутреннюю текстуру материала. Пространственное представление, ${\tilde {W}}({\boldsymbol {B}},{\boldsymbol {R}})$ кроме того, должно явно зависеть от тензора вращения полюсов ${\boldsymbol {R}}$ чтобы предоставить достаточную информацию для преобразования эталонных векторов текстур или тензоров в пространственную конфигурацию.

Для изотропного материала рассмотрение принципа индифферентности материальной системы координат приводит к выводу, что функция плотности энергии деформации зависит только от инвариантов ${\boldsymbol {C}}$ (или, что то же самое, инварианты ${\boldsymbol {B}}$ поскольку оба имеют одинаковые собственные значения). Другими словами, функция плотности энергии деформации может быть однозначно выражена через главные растяжения или через инварианты левого тензора деформации Коши – Грина или правого тензора деформации Коши – Грина , и мы имеем:

Для изотропных материалов

W={\hat {W}}(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3})={\tilde {W}}(I_{1},I_{2},I_{3})={\bar {W}}({\bar {I}}_{1},{\bar {I}}_{2},J)=U(I_{1}^{c},I_{2}^{c},I_{3}^{c})

с

{\begin{aligned}{\bar {I}}_{1}&=J^{-2/3}~I_{1}~;~~I_{1}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}~;~~J=\det({\boldsymbol {F}})\\{\bar {I}}_{2}&=J^{-4/3}~I_{2}~;~~I_{2}=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}+\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}+\lambda _{3}^{2}\lambda _{1}^{2}\end{aligned}}

Для линейных изотропных материалов, испытывающих небольшие деформации, функция плотности энергии деформации специализируется на

W={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sigma _{ij}\epsilon _{ij}={\frac {1}{2}}(\sigma _{x}\epsilon _{x}+\sigma _{y}\epsilon _{y}+\sigma _{z}\epsilon _{z}+2\sigma _{xy}\epsilon _{xy}+2\sigma _{yz}\epsilon _{yz}+2\sigma _{xz}\epsilon _{xz})

^[3]

Функция плотности энергии деформации используется для определения гиперупругого материала , постулируя, что напряжение в материале можно получить, взяв производную от $W$ относительно напряжения . Для изотропного гиперупругого материала функция связывает энергию, запасенную в упругом материале , и, следовательно, соотношение напряжение-деформация только с тремя компонентами деформации (удлинения), таким образом игнорируя историю деформации, рассеяние тепла, релаксацию напряжений и т. д.

Для изотермических упругих процессов функция плотности энергии деформации связана с конкретной свободной энергии Гельмгольца функцией $\psi$ , ^[4]

W=\rho _{0}\psi \;.

Для изэнтропических упругих процессов функция плотности энергии деформации связана с функцией внутренней энергии $u$ ,

W=\rho _{0}u\;.

Примеры

Некоторые примеры гиперупругих материальных уравнений : ^[5]

См. также

Ссылки

^ Бауэр, Аллан (2009). Прикладная механика твердого тела . ЦРК Пресс. ISBN 978-1-4398-0247-2 . Проверено 23 января 2010 г.
^ Огден, RW (1998). Нелинейные упругие деформации . Дувр. ISBN 978-0-486-69648-5 .
^ Садд, Мартин Х. (2009). Теория упругости, ее приложения и численные расчеты . Эльзевир. ISBN 978-0-12-374446-3 .
^ Риггерс, П. (2008). Нелинейные методы конечных элементов . Спрингер-Верлаг. ISBN 978-3-540-71000-4 .
^ Мюр, АХ (2005). Моделирование деформационного поведения резины. Химия и технология резины, 78 (3), 391–425. [1]

[Bower-1] Бауэр, Аллан (2009). Прикладная механика твердого тела . ЦРК Пресс. ISBN 978-1-4398-0247-2 . Проверено 23 января 2010 г.

[Ogden-2] Огден, RW (1998). Нелинейные упругие деформации . Дувр. ISBN 978-0-486-69648-5 .

[Sadd-3] Садд, Мартин Х. (2009). Теория упругости, ее приложения и численные расчеты . Эльзевир. ISBN 978-0-12-374446-3 .

[Wriggers-4] Риггерс, П. (2008). Нелинейные методы конечных элементов . Спрингер-Верлаг. ISBN 978-3-540-71000-4 .

[5] Мюр, АХ (2005). Моделирование деформационного поведения резины. Химия и технология резины, 78 (3), 391–425. [1]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]