Нео-Гуково твердое тело

неогуковское твердое тело — это модель гиперупругого материала , подобная закону Гука , которую можно использовать для прогнозирования нелинейного поведения напряжения и деформации материалов, подвергающихся большим деформациям . Модель была предложена Рональдом Ривлином в 1948 году с использованием инвариантов, хотя Муни уже описал версию в растянутой форме в 1940 году, а Уолл отметил эквивалентность сдвига модели Гука в 1942 году.

В отличие от линейных упругих материалов кривая растяжения неогуковского материала не является линейной . Вместо этого взаимосвязь между приложенным напряжением и деформацией изначально линейна, но в определенной точке кривая напряжения-деформации выходит на плато. Модель нео-Гука не учитывает диссипативное выделение энергии в виде тепла при деформации материала, и предполагается идеальная эластичность на всех стадиях деформации. Помимо использования для моделирования физических материалов, стабильность и сильно нелинейное поведение при сжатии сделали неогуковские материалы популярным выбором для вымышленных подходов к средам, таких как третий метод контакта со средой .

Модель нео-Гука основана на статистической термодинамике сшитых полимерных цепей и пригодна для пластмасс и резиноподобных веществ. Сшитые полимеры будут действовать по принципу неогука, поскольку первоначально полимерные цепи могут перемещаться относительно друг друга при приложении напряжения. Однако в определенный момент полимерные цепи будут растянуты до максимальной точки, которую позволят ковалентные поперечные связи, и это приведет к резкому увеличению модуля упругости материала. Модель материала Нео-Гука не предсказывает такого увеличения модуля при больших деформациях и обычно точна только для деформаций менее 20%. Модель также неадекватна для двухосных напряженных состояний и была заменена моделью Муни-Ривлина .

Функция плотности энергии деформации несжимаемого вид неогуковского материала в трехмерном описании имеет

$W=C_{1}(I_{1}-3)$

где $C_{1}$ является материальной константой, а $I_{1}$ — первый инвариант ( след ) правого тензора деформации Коши-Грина , т. е.

$I_{1}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}$

где $\lambda _{i}$ являются основными участками .

Для сжимаемого неогуковского материала функция плотности энергии деформации определяется выражением

$W=C_{1}~(I_{1}-3-2\ln J)+D_{1}~(J-1)^{2}~;~~J=\det({\boldsymbol {F}})=\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}$

где $D_{1}$ является материальной константой и ${\boldsymbol {F}}$ – градиент деформации . Можно показать, что в 2D функция плотности энергии деформации равна

$W=C_{1}~(I_{1}-2-2\ln J)+D_{1}~(J-1)^{2}$

Существует несколько альтернативных формулировок для сжимаемых неогуковских материалов, например

$W=C_{1}~({\bar {I}}_{1}-3)+\left({\frac {C_{1}}{6}}+{\frac {D_{1}}{4}}\right)\!\left(J^{2}+{\frac {1}{J^{2}}}-2\right)$

где ${\bar {I}}_{1}=J^{-2/3}I_{1}$ является инвариантом изохорной части первым ${\bar {\boldsymbol {C}}}=(\det {\boldsymbol {C}})^{-1/3}{\boldsymbol {C}}=J^{-2/3}{\boldsymbol {C}}$ правого тензора деформации Коши–Грина .

Для обеспечения соответствия линейной эластичности,

$C_{1}={\frac {\mu }{2}}~;~~D_{1}={\frac {{\lambda }_{L}}{2}}$

где ${\lambda }_{L}$ – первый параметр Ламе и $\mu$ – модуль сдвига или второй параметр Ламе . Альтернативные определения $C_{1}$ и $D_{1}$ иногда используются, особенно в коммерческом программном обеспечении для анализа методом конечных элементов, таком как Abaqus .

Напряжение Коши через тензоры деформаций

Сжимаемый неогуковский материал

Для сжимаемого Огдена неогуковского материала напряжение Коши определяется выражением

${\boldsymbol {\sigma }}=J^{-1}{\boldsymbol {P}}{\boldsymbol {F}}^{T}=J^{-1}{\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {F}}}}{\boldsymbol {F}}^{T}=J^{-1}\left(2C_{1}({\boldsymbol {F}}-{\boldsymbol {F}}^{-T})+2D_{1}(J-1)J{\boldsymbol {F}}^{-T}\right){\boldsymbol {F}}^{T}$

где ${\boldsymbol {P}}$ – первое напряжение Пиолы-Кирхгофа. Упрощая правую часть, приходим к

${\boldsymbol {\sigma }}=2C_{1}J^{-1}\left({\boldsymbol {F}}{\boldsymbol {F}}^{T}-{\boldsymbol {I}}\right)+2D_{1}(J-1){\boldsymbol {I}}=2C_{1}J^{-1}\left({\boldsymbol {B}}-{\boldsymbol {I}}\right)+2D_{1}(J-1){\boldsymbol {I}}$

которое для бесконечно малых деформаций равно

$\approx 4C_{1}{\boldsymbol {\varepsilon }}+2D_{1}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }}){\boldsymbol {I}}$

Сравнение с законом Гука показывает, что $C_{1}={\tfrac {\mu }{2}}$ и $D_{1}={\tfrac {\lambda _{L}}{2}}$.

Для сжимаемого Ривлина неогуковского материала напряжение Коши определяется выражением

$J~{\boldsymbol {\sigma }}=-p~{\boldsymbol {I}}+2C_{1}\operatorname {dev} ({\bar {\boldsymbol {B}}})=-p~{\boldsymbol {I}}+{\frac {2C_{1}}{J^{2/3}}}\operatorname {dev} ({\boldsymbol {B}})$

где ${\boldsymbol {B}}$ – левый тензор деформации Коши–Грина,

$p:=-2D_{1}~J(J-1)~;~\operatorname {dev} ({\bar {\boldsymbol {B}}})={\bar {\boldsymbol {B}}}-{\tfrac {1}{3}}{\bar {I}}_{1}{\boldsymbol {I}}~;~~{\bar {\boldsymbol {B}}}=J^{-2/3}{\boldsymbol {B}}~.$

Для бесконечно малых деформаций ( ${\boldsymbol {\varepsilon }}$)

$J\approx 1+\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})~;~~{\boldsymbol {B}}\approx {\boldsymbol {I}}+2{\boldsymbol {\varepsilon }}$

а напряжение Коши можно выразить как

${\boldsymbol {\sigma }}\approx 4C_{1}\left({\boldsymbol {\varepsilon }}-{\tfrac {1}{3}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }}){\boldsymbol {I}}\right)+2D_{1}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }}){\boldsymbol {I}}$

Сравнение с законом Гука показывает, что $\mu =2C_{1}$ и $\kappa =2D_{1}$.

показывать Доказательство:

The Cauchy stress in a compressible hyperelastic material is given by ${\boldsymbol {\sigma }}={\cfrac {2}{J}}\left[{\cfrac {1}{J^{2/3}}}\left({\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+{\bar {I}}_{1}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right){\boldsymbol {B}}-{\cfrac {1}{J^{4/3}}}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]+\left[{\cfrac {\partial {W}}{\partial J}}-{\cfrac {2}{3J}}\left({\bar {I}}_{1}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+2~{\bar {I}}_{2}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right)\right]~{\boldsymbol {I}}$ For a compressible Rivlin neo-Hookean material, ${\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{1}}}=C_{1}~;~~{\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}=0~;~~{\cfrac {\partial {W}}{\partial J}}=2D_{1}(J-1)$ while, for a compressible Ogden neo-Hookean material, ${\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{1}}}=C_{1}~;~~{\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}=0~;~~{\cfrac {\partial {W}}{\partial J}}=2D_{1}(J-1)-{\cfrac {2C_{1}}{J}}$ Therefore, the Cauchy stress in a compressible Rivlin neo-Hookean material is given by ${\boldsymbol {\sigma }}={\cfrac {2}{J}}\left[{\cfrac {1}{J^{2/3}}}~C_{1}~{\boldsymbol {B}}\right]+\left[2D_{1}(J-1)-{\cfrac {2}{3J}}~C_{1}{\bar {I}}_{1}\right]{\boldsymbol {I}}$ while that for the corresponding Ogden material is ${\boldsymbol {\sigma }}={\cfrac {2}{J}}\left[{\cfrac {1}{J^{2/3}}}~C_{1}~{\boldsymbol {B}}\right]+\left[2D_{1}(J-1)-{\cfrac {2C_{1}}{J}}-{\cfrac {2}{3J}}~C_{1}{\bar {I}}_{1}\right]{\boldsymbol {I}}$ If the isochoric part of the left Cauchy-Green deformation tensor is defined as ${\bar {\boldsymbol {B}}}=J^{-2/3}{\boldsymbol {B}}$, then we can write the Rivlin neo-Heooken stress as ${\boldsymbol {\sigma }}={\cfrac {2C_{1}}{J}}\left[{\bar {\boldsymbol {B}}}-{\tfrac {1}{3}}{\bar {I}}_{1}{\boldsymbol {I}}\right]+2D_{1}(J-1){\boldsymbol {I}}={\cfrac {2C_{1}}{J}}\operatorname {dev} ({\bar {\boldsymbol {B}}})+2D_{1}(J-1){\boldsymbol {I}}$ and the Ogden neo-Hookean stress as ${\boldsymbol {\sigma }}={\cfrac {2C_{1}}{J}}\left[{\bar {\boldsymbol {B}}}-{\tfrac {1}{3}}{\bar {I}}_{1}{\boldsymbol {I}}-{\boldsymbol {I}}\right]+2D_{1}(J-1){\boldsymbol {I}}={\cfrac {2C_{1}}{J}}\left[\operatorname {dev} ({\bar {\boldsymbol {B}}})-{\boldsymbol {I}}\right]+2D_{1}(J-1){\boldsymbol {I}}$ The quantities $p:=-2D_{1}~J(J-1)~;~~p^{*}=-2D_{1}~J(J-1)+2C_{1}$ have the form of pressures and are usually treated as such. The Rivlin neo-Hookean stress can then be expressed in the form ${\boldsymbol {\tau }}=J~{\boldsymbol {\sigma }}=-p{\boldsymbol {I}}+2C_{1}\operatorname {dev} ({\bar {\boldsymbol {B}}})$ while the Ogden neo-Hookean stress has the form ${\boldsymbol {\tau }}=-p^{*}{\boldsymbol {I}}+2C_{1}\operatorname {dev} ({\bar {\boldsymbol {B}}})$

Несжимаемый неогуковский материал

Для несжимаемого неогуковского материала с $J=1$

${\boldsymbol {\sigma }}=-p~{\boldsymbol {I}}+2C_{1}{\boldsymbol {B}}$

где $p$ это неопределенное давление.

Напряжение Коши с точки зрения главных растяжений

Сжимаемый неогуковский материал

Для сжимаемого неогуковского гиперупругого материала главные компоненты напряжения Коши определяются выражением

$\sigma _{i}=2C_{1}J^{-5/3}\left[\lambda _{i}^{2}-{\cfrac {I_{1}}{3}}\right]+2D_{1}(J-1)~;~~i=1,2,3$

Следовательно, разности главных напряжений равны

$\sigma _{11}-\sigma _{33}={\cfrac {2C_{1}}{J^{5/3}}}(\lambda _{1}^{2}-\lambda _{3}^{2})~;~~\sigma _{22}-\sigma _{33}={\cfrac {2C_{1}}{J^{5/3}}}(\lambda _{2}^{2}-\lambda _{3}^{2})$

показывать Доказательство:

For a compressible hyperelastic material, the principal components of the Cauchy stress are given by $\sigma _{i}={\cfrac {\lambda _{i}}{\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}}}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{i}}}~;~~i=1,2,3$ The strain energy density function for a compressible neo Hookean material is $W=C_{1}({\bar {I}}_{1}-3)+D_{1}(J-1)^{2}=C_{1}\left[J^{-2/3}(\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2})-3\right]+D_{1}(J-1)^{2}$ Therefore, $\lambda _{i}{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{i}}}=C_{1}\left[-{\frac {2}{3}}J^{-5/3}\lambda _{i}{\frac {\partial J}{\partial \lambda _{i}}}(\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2})+2J^{-2/3}\lambda _{i}^{2}\right]+2D_{1}(J-1)\lambda _{i}{\frac {\partial J}{\partial \lambda _{i}}}$ Since $J=\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}$ we have $\lambda _{i}{\frac {\partial J}{\partial \lambda _{i}}}=\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}=J$ Hence, ${\begin{aligned}\lambda _{i}{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{i}}}&=C_{1}\left[-{\frac {2}{3}}J^{-2/3}(\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2})+2J^{-2/3}\lambda _{i}^{2}\right]+2D_{1}J(J-1)\\&=2C_{1}J^{-2/3}\left[-{\frac {1}{3}}(\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2})+\lambda _{i}^{2}\right]+2D_{1}J(J-1)\end{aligned}}$ The principal Cauchy stresses are therefore given by $\sigma _{i}=2C_{1}J^{-5/3}\left[\lambda _{i}^{2}-{\cfrac {I_{1}}{3}}\right]+2D_{1}(J-1)$

Несжимаемый неогуковский материал

С точки зрения главных растяжений разность напряжений Коши для несжимаемого гиперупругого материала определяется выражением

$\sigma _{11}-\sigma _{33}=\lambda _{1}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{1}}}-\lambda _{3}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{3}}}~;~~\sigma _{22}-\sigma _{33}=\lambda _{2}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{2}}}-\lambda _{3}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{3}}}$

Для несжимаемого неогуковского материала

$W=C_{1}(\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}-3)~;~~\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}=1$

Поэтому,

${\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{1}}}=2C_{1}\lambda _{1}~;~~{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{2}}}=2C_{1}\lambda _{2}~;~~{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{3}}}=2C_{1}\lambda _{3}$

что дает

$\sigma _{11}-\sigma _{33}=2(\lambda _{1}^{2}-\lambda _{3}^{2})C_{1}~;~~\sigma _{22}-\sigma _{33}=2(\lambda _{2}^{2}-\lambda _{3}^{2})C_{1}$

Одноосное расширение

Сжимаемый неогуковский материал

Истинное напряжение как функция одноосного растяжения, предсказанное сжимаемым неогуковским материалом для различных значений $C_{1},D_{1}$. Свойства материала соответствуют натуральному каучуку .

Для сжимаемого материала, подвергающегося одноосному растяжению, основные растяжения равны

$\lambda _{1}=\lambda ~;~~\lambda _{2}=\lambda _{3}={\sqrt {\tfrac {J}{\lambda }}}~;~~I_{1}=\lambda ^{2}+{\tfrac {2J}{\lambda }}$

Следовательно, истинные напряжения (Коши) для сжимаемого неогуковского материала определяются выражением

${\begin{aligned}\sigma _{11}&={\cfrac {4C_{1}}{3J^{5/3}}}\left(\lambda ^{2}-{\tfrac {J}{\lambda }}\right)+2D_{1}(J-1)\\\sigma _{22}&=\sigma _{33}={\cfrac {2C_{1}}{3J^{5/3}}}\left({\tfrac {J}{\lambda }}-\lambda ^{2}\right)+2D_{1}(J-1)\end{aligned}}$

Различия в напряжениях определяются выражением

$\sigma _{11}-\sigma _{33}={\cfrac {2C_{1}}{J^{5/3}}}\left(\lambda ^{2}-{\tfrac {J}{\lambda }}\right)~;~~\sigma _{22}-\sigma _{33}=0$

Если материал неограничен, мы имеем $\sigma _{22}=\sigma _{33}=0$. Затем

$\sigma _{11}={\cfrac {2C_{1}}{J^{5/3}}}\left(\lambda ^{2}-{\tfrac {J}{\lambda }}\right)$

Приравнивая два выражения для $\sigma _{11}$ дает отношение к $J$ как функция $\lambda$, то есть,

${\cfrac {4C_{1}}{3J^{5/3}}}\left(\lambda ^{2}-{\tfrac {J}{\lambda }}\right)+2D_{1}(J-1)={\cfrac {2C_{1}}{J^{5/3}}}\left(\lambda ^{2}-{\tfrac {J}{\lambda }}\right)$

или

$D_{1}J^{8/3}-D_{1}J^{5/3}+{\tfrac {C_{1}}{3\lambda }}J-{\tfrac {C_{1}\lambda ^{2}}{3}}=0$

Приведенное выше уравнение можно решить численно с использованием Ньютона – Рафсона итеративной процедуры поиска корня .

Несжимаемый неогуковский материал

Сравнение экспериментальных результатов (точки) и прогнозов для закона Гука (1), твердого тела нео-Гука (2) и твердотельных моделей Муни-Ривлина (3)

При одноосном растяжении $\lambda _{1}=\lambda \,$ и $\lambda _{2}=\lambda _{3}=1/{\sqrt {\lambda }}$. Поэтому,

$\sigma _{11}-\sigma _{33}=2C_{1}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda }}\right)~;~~\sigma _{22}-\sigma _{33}=0$

Предполагая отсутствие сцепления по бокам, $\sigma _{22}=\sigma _{33}=0$, поэтому мы можем написать

$\sigma _{11}=2C_{1}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda }}\right)=2C_{1}\left({\frac {3\varepsilon _{11}+3\varepsilon _{11}^{2}+\varepsilon _{11}^{3}}{1+\varepsilon _{11}}}\right)$

где $\varepsilon _{11}=\lambda -1$ это инженерное напряжение . Это уравнение часто записывают в альтернативных обозначениях как

$T_{11}=2C_{1}\left(\alpha ^{2}-{\cfrac {1}{\alpha }}\right)$

Приведенное выше уравнение предназначено для истинного напряжения (отношения силы растяжения к деформированному поперечному сечению). Для инженерного напряжения уравнение имеет вид:

$\sigma _{11}^{\mathrm {eng} }=2C_{1}\left(\lambda -{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}\right)$

При небольших деформациях $\varepsilon \ll 1$ у нас будет:

$\sigma _{11}=6C_{1}\varepsilon =3\mu \varepsilon$

Таким образом, эквивалентный модуль Юнга неогуковского твердого тела в одноосном растяжении равен $3\mu$, что соответствует линейной эластичности ( $E=2\mu (1+\nu )$ с $\nu =0.5$ несжимаемость).

Равноосное расширение

Сжимаемый неогуковский материал

Истинное напряжение как функция двухосного растяжения, предсказанное сжимаемым неогуковским материалом для различных значений $C_{1},D_{1}$. Свойства материала соответствуют натуральному каучуку .

В случае равноосного растяжения

$\lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda ~;~~\lambda _{3}={\tfrac {J}{\lambda ^{2}}}~;~~I_{1}=2\lambda ^{2}+{\tfrac {J^{2}}{\lambda ^{4}}}$

Поэтому,

${\begin{aligned}\sigma _{11}&=2C_{1}\left[{\cfrac {\lambda ^{2}}{J^{5/3}}}-{\cfrac {1}{3J}}\left(2\lambda ^{2}+{\cfrac {J^{2}}{\lambda ^{4}}}\right)\right]+2D_{1}(J-1)\\&=\sigma _{22}\\\sigma _{33}&=2C_{1}\left[{\cfrac {J^{1/3}}{\lambda ^{4}}}-{\cfrac {1}{3J}}\left(2\lambda ^{2}+{\cfrac {J^{2}}{\lambda ^{4}}}\right)\right]+2D_{1}(J-1)\end{aligned}}$

Различия в стрессах

$\sigma _{11}-\sigma _{22}=0~;~~\sigma _{11}-\sigma _{33}={\cfrac {2C_{1}}{J^{5/3}}}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {J^{2}}{\lambda ^{4}}}\right)$

Если материал находится в состоянии плоского напряжения, то $\sigma _{33}=0$ и у нас есть

$\sigma _{11}=\sigma _{22}={\cfrac {2C_{1}}{J^{5/3}}}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {J^{2}}{\lambda ^{4}}}\right)$

У нас также есть отношения между $J$ и $\lambda$:

$2C_{1}\left[{\cfrac {\lambda ^{2}}{J^{5/3}}}-{\cfrac {1}{3J}}\left(2\lambda ^{2}+{\cfrac {J^{2}}{\lambda ^{4}}}\right)\right]+2D_{1}(J-1)={\cfrac {2C_{1}}{J^{5/3}}}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {J^{2}}{\lambda ^{4}}}\right)$

или,

$\left(2D_{1}-{\cfrac {C_{1}}{\lambda ^{4}}}\right)J^{2}+{\cfrac {3C_{1}}{\lambda ^{4}}}J^{4/3}-3D_{1}J-2C_{1}\lambda ^{2}=0$

Это уравнение можно решить для $J$ используя метод Ньютона.

Несжимаемый неогуковский материал

Для несжимаемого материала $J=1$ а разности главных напряжений Коши принимают вид

$\sigma _{11}-\sigma _{22}=0~;~~\sigma _{11}-\sigma _{33}=2C_{1}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda ^{4}}}\right)$

В условиях плоского напряжения имеем

$\sigma _{11}=2C_{1}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda ^{4}}}\right)$

Чистое расширение

В случае чистой дилатации

$\lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda _{3}=\lambda ~:~~J=\lambda ^{3}~;~~I_{1}=3\lambda ^{2}$

Следовательно, главные напряжения Коши для сжимаемого неогуковского материала определяются выражением

$\sigma _{i}=2C_{1}\left({\cfrac {1}{\lambda ^{3}}}-{\cfrac {1}{\lambda }}\right)+2D_{1}(\lambda ^{3}-1)$

Если материал несжимаем, то $\lambda ^{3}=1$ а главные напряжения могут быть произвольными.

На рисунках ниже показано, что для достижения большого трехосного растяжения или сжатия необходимы чрезвычайно высокие напряжения. Аналогичным образом, относительно небольшие состояния трехосного растяжения могут вызвать развитие очень высоких напряжений в резиноподобном материале. Величина напряжения весьма чувствительна к объемному модулю, но не к модулю сдвига.

Истинное напряжение как функция равнотрехосного растяжения, предсказанное сжимаемым неогуковским материалом для различных значений $C_{1},D_{1}$. Свойства материала соответствуют натуральному каучуку .

Истинное напряжение как функция J, предсказанное с помощью сжимаемого неогуковского материала для различных значений $C_{1},D_{1}$. Свойства материала соответствуют натуральному каучуку .

Простой сдвиг

Для случая простого сдвига градиент деформации в компонентах относительно эталонного базиса имеет вид

${\boldsymbol {F}}={\begin{bmatrix}1&\gamma &0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$

где $\gamma$ – сдвиговая деформация. Следовательно, левый тензор деформации Коши-Грина равен

${\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}={\begin{bmatrix}1+\gamma ^{2}&\gamma &0\\\gamma &1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$

Сжимаемый неогуковский материал

В этом случае $J=\det({\boldsymbol {F}})=1$. Следовательно, ${\boldsymbol {\sigma }}=2C_{1}\operatorname {dev} ({\boldsymbol {B}})$. Сейчас,

$\operatorname {dev} ({\boldsymbol {B}})={\boldsymbol {B}}-{\tfrac {1}{3}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {B}}){\boldsymbol {I}}={\boldsymbol {B}}-{\tfrac {1}{3}}(3+\gamma ^{2}){\boldsymbol {I}}={\begin{bmatrix}{\tfrac {2}{3}}\gamma ^{2}&\gamma &0\\\gamma &-{\tfrac {1}{3}}\gamma ^{2}&0\\0&0&-{\tfrac {1}{3}}\gamma ^{2}\end{bmatrix}}$

Следовательно, напряжение Коши определяется выражением

${\boldsymbol {\sigma }}={\begin{bmatrix}{\tfrac {4C_{1}}{3}}\gamma ^{2}&2C_{1}\gamma &0\\2C_{1}\gamma &-{\tfrac {2C_{1}}{3}}\gamma ^{2}&0\\0&0&-{\tfrac {2C_{1}}{3}}\gamma ^{2}\end{bmatrix}}$

Несжимаемый неогуковский материал

Используя соотношение для напряжения Коши для несжимаемого неогуковского материала, получаем

${\boldsymbol {\sigma }}=-p~{\boldsymbol {I}}+2C_{1}{\boldsymbol {B}}={\begin{bmatrix}2C_{1}(1+\gamma ^{2})-p&2C_{1}\gamma &0\\2C_{1}\gamma &2C_{1}-p&0\\0&0&2C_{1}-p\end{bmatrix}}$

Таким образом, неогуковское тело демонстрирует линейную зависимость касательных напряжений от сдвиговой деформации и квадратичную зависимость разности нормальных напряжений от сдвиговой деформации. Выражения для напряжения Коши для сжимаемого и несжимаемого неогуковского материала при простом сдвиге представляют одну и ту же величину и позволяют определить неизвестное давление. $p$.

См. также

• Гиперэластичный материал
• Функция плотности энергии деформации
• Муни-Ривлин твердый
• Теория конечной деформации
• Стрессовые меры