Гиперэластичная модель Йео

Прогноз модели Йео в сравнении с экспериментальными данными для натурального каучука. Параметры модели и экспериментальные данные с сайта PolymerFEM.com.

Модель Йео материала гиперупругого представляет собой феноменологическую модель деформации почти несжимаемых , нелинейных упругих материалов, таких как резина . Модель основана на наблюдении Рональда Ривлина о том, что упругие свойства резины можно описать с помощью функции плотности энергии деформации , которая представляет собой степенной ряд в инвариантах деформации. $I_{1},I_{2},I_{3}$ тензоров деформации Коши-Грина . Модель Йео для несжимаемой резины является функцией только $I_{1}$. Для сжимаемых резин зависимость от $I_{3}$ добавляется. Поскольку используется полиномиальная форма функции плотности энергии деформации, а все три инварианта левого тензора деформации Коши-Грина — нет, модель Йео также называется приведенной полиномиальной моделью .

Модель Йео для несжимаемых резин

Функция плотности энергии деформации

Первоначальная модель, предложенная Йео, имела кубическую форму, состоящую всего из $I_{1}$ зависимость и применима к чисто несжимаемым материалам. Плотность энергии деформации для этой модели записывается как

$W=\sum _{i=1}^{3}C_{i}~(I_{1}-3)^{i}$

где $C_{i}$ являются материальными константами. Количество $2C_{1}$ можно интерпретировать как начальный модуль сдвига .

Сегодня используется несколько более обобщенная версия модели Йео. Эта модель включает в себя $n$ условиях и записывается как

$W=\sum _{i=1}^{n}C_{i}~(I_{1}-3)^{i}~.$

Когда $n=1$ модель Йео сводится к модели неогука для несжимаемых материалов.

Для обеспечения совместимости с линейной эластичностью модель Йео должна удовлетворять условию

$2{\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}(3)=\mu ~~(i\neq j)$

где $\mu$ – модуль сдвига материала. Теперь, в $I_{1}=3(\lambda _{i}=\lambda _{j}=1)$,

${\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}=C_{1}$

Следовательно, условие согласованности модели Йео:

$2C_{1}=\mu \,$

Соотношения напряжение-деформация

Напряжение Коши для несжимаемой модели Йео определяется выражением

${\boldsymbol {\sigma }}=-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+2~{\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}~{\boldsymbol {B}}~;~~{\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}=\sum _{i=1}^{n}i~C_{i}~(I_{1}-3)^{i-1}~.$

Одноосное расширение

Для одноосного растяжения в $\mathbf {n} _{1}$-направлении, основные растяжения $\lambda _{1}=\lambda ,~\lambda _{2}=\lambda _{3}$. Из несжимаемости $\lambda _{1}~\lambda _{2}~\lambda _{3}=1$. Следовательно $\lambda _{2}^{2}=\lambda _{3}^{2}=1/\lambda$. Поэтому,

$I_{1}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}=\lambda ^{2}+{\cfrac {2}{\lambda }}~.$

Тогда левый тензор деформации Коши-Грина можно выразить как

${\boldsymbol {B}}=\lambda ^{2}~\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+{\cfrac {1}{\lambda }}~(\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3})~.$

Если направления главных растяжений ориентированы координатными базисными векторами, мы имеем

$\sigma _{11}=-p+2~\lambda ^{2}~{\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}~;~~\sigma _{22}=-p+{\cfrac {2}{\lambda }}~{\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}=\sigma _{33}~.$

С $\sigma _{22}=\sigma _{33}=0$, у нас есть

$p={\cfrac {2}{\lambda }}~{\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}~.$

Поэтому,

$\sigma _{11}=2~\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda }}\right)~{\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}~.$

напряжение Инженерное ​ $\lambda -1\,$. Инженерное напряжение – это

$T_{11}=\sigma _{11}/\lambda =2~\left(\lambda -{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}\right)~{\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}~.$

Равноосное расширение

Для равноосного растяжения в $\mathbf {n} _{1}$ и $\mathbf {n} _{2}$ направлениях, основными участками являются $\lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda \,$. Из несжимаемости $\lambda _{1}~\lambda _{2}~\lambda _{3}=1$. Следовательно $\lambda _{3}=1/\lambda ^{2}\,$. Поэтому,

$I_{1}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}=2~\lambda ^{2}+{\cfrac {1}{\lambda ^{4}}}~.$

Тогда левый тензор деформации Коши-Грина можно выразить как

${\boldsymbol {B}}=\lambda ^{2}~\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+\lambda ^{2}~\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+{\cfrac {1}{\lambda ^{4}}}~\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3}~.$

Если направления главных растяжений ориентированы координатными базисными векторами, мы имеем

$\sigma _{11}=-p+2~\lambda ^{2}~{\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}=\sigma _{22}~;~~\sigma _{33}=-p+{\cfrac {2}{\lambda ^{4}}}~{\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}~.$

С $\sigma _{33}=0$, у нас есть

$p={\cfrac {2}{\lambda ^{4}}}~{\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}~.$

Поэтому,

$\sigma _{11}=2~\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda ^{4}}}\right)~{\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}=\sigma _{22}~.$

напряжение Инженерное ​ $\lambda -1\,$. Инженерное напряжение – это

$T_{11}={\cfrac {\sigma _{11}}{\lambda }}=2~\left(\lambda -{\cfrac {1}{\lambda ^{5}}}\right)~{\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}=T_{22}~.$

Плоское расширение

Испытания на плоское растяжение проводятся на тонких образцах, которые не могут деформироваться в одном направлении. Для плоского расширения в $\mathbf {n} _{1}$ направления с $\mathbf {n} _{3}$ направление ограничено, основные растяжения $\lambda _{1}=\lambda ,~\lambda _{3}=1$. Из несжимаемости $\lambda _{1}~\lambda _{2}~\lambda _{3}=1$. Следовательно $\lambda _{2}=1/\lambda \,$. Поэтому,

$I_{1}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}=\lambda ^{2}+{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}+1~.$

Тогда левый тензор деформации Коши-Грина можно выразить как

${\boldsymbol {B}}=\lambda ^{2}~\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}~\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3}~.$

Если направления главных растяжений ориентированы координатными базисными векторами, мы имеем

$\sigma _{11}=-p+2~\lambda ^{2}~{\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}~;~~\sigma _{22}=-p+{\cfrac {2}{\lambda ^{2}}}~{\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}~;~~\sigma _{33}=-p+2~{\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}~.$

С $\sigma _{22}=0$, у нас есть

$p={\cfrac {2}{\lambda ^{2}}}~{\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}~.$

Поэтому,

$\sigma _{11}=2~\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}\right)~{\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}~;~~\sigma _{22}=0~;~~\sigma _{33}=2~\left(1-{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}\right)~{\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}~.$

напряжение Инженерное ​ $\lambda -1\,$. Инженерное напряжение – это

$T_{11}={\cfrac {\sigma _{11}}{\lambda }}=2~\left(\lambda -{\cfrac {1}{\lambda ^{3}}}\right)~{\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}~.$

Модель Yeoh для сжимаемых резин

Версия модели Yeoh, включающая $I_{3}=J^{2}$ зависимость используется для сжимаемых резин. Функция плотности энергии деформации для этой модели записывается как

$W=\sum _{i=1}^{n}C_{i0}~({\bar {I}}_{1}-3)^{i}+\sum _{k=1}^{n}C_{k1}~(J-1)^{2k}$

где ${\bar {I}}_{1}=J^{-2/3}~I_{1}$, и $C_{i0},C_{k1}$ являются материальными константами. Количество $C_{10}$ интерпретируется как половина начального модуля сдвига, а $C_{11}$ интерпретируется как половина исходного модуля объемного сжатия.

Когда $n=1$ модель сжимаемого Йео сводится к модели нео-Хука для несжимаемых материалов.

История

Модель названа в честь Уна Хок Йео. Йео закончил докторантуру под руководством Грэма Лейка в Лондонском университете . Йео занимал исследовательские должности в Freudenberg-NOK , MRPRA (Англия), Малайзийском научно-исследовательском институте каучука (Малайзия), Университете Акрона , GenCorp Research и Lord Corporation . Йео выиграл в 2004 году премию Мелвина Муни за выдающиеся технологии от резинового подразделения ACS .

См. также

• Гиперэластичный материал
• Функция плотности энергии деформации
• Муни-Ривлин твердый
• Теория конечной деформации
• Стрессовые меры